Саймон Сингх

Симпсоны и их математические секреты

Simon Singh

THE SIMPSONS

AND THEIR

MATHEMATICAL SECRETS

Научный редактор Александр Минько

Издано с разрешения Conville & Walsh Ltd. и литературного агентства Synopsis

Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс».

© Simon Singh, 2013

© Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2016

* * *

Аните и Хари

η + ψ = ε

Глава 0

Вся правда о Симпсонах

«Симпсоны», пожалуй, самое успешное телевизионное шоу за всю историю. Как и следовало ожидать, его всемирная популярность и неизменная притягательность побудили ученых (которым свойственно чрезмерно все анализировать) заняться поиском подтекста мультсериала и задать в связи с этим ряд глубоких вопросов. В чем скрытый смысл высказываний Гомера о пончиках и пиве Duff? Символизируют ли ссоры между Бартом и Лизой нечто большее, чем просто перебранки между братом и сестрой? Используют ли авторы «Симпсонов» обитателей Спрингфилда для изучения политических или социальных противоречий?

Одна группа интеллектуалов написала книгу, в которой утверждает, что мультсериал «Симпсоны», по сути, предлагает вниманию зрителей еженедельную лекцию по философии. Авторы книги The Simpsons and Philosophy[1] указывают на наличие явной связи между различными эпизодами сериала и вопросами, поднятыми в свое время такими величайшими мыслителями, как Аристотель, Сартр и Кант. В книге есть главы «Моральная мотивация Мардж», «Нравственный мир семьи Симпсонов в свете учения Канта» и «Так говорит Барт: Ницше и добродетели порока».

В свою очередь в книге The Psychology of The Simpsons («Психология «Симпсонов»») говорится, что самое знаменитое семейство Спрингфилда помогает нам глубже понять человеческий разум. В этом сборнике эссе примеры из различных эпизодов сериала используются для изучения таких вопросов, как алкогольная и наркотическая зависимость, лоботомия и эволюционная психология.

Напротив, Марк Пински в своей книге The Gospel According to The Simpsons («Евангелие от Симпсонов») оставляет в стороне вопросы философии и психологии и фокусируется на духовной значимости «Симпсонов», что несколько неожиданно, потому что многие герои мультсериала настроены критически по отношению к религиозным догматам. Постоянные зрители «Симпсонов» знают, что Гомер неизменно сопротивляется вынужденной необходимости ходить в церковь каждое воскресенье, как показано в эпизоде «Еретик Гомер» (Homer the Heretic, сезон 4, эпизод 3; 1992 год): «Зачем нужно ходить в один и тот же дом каждое воскресенье, ведь Бог повсюду?.. А что если мы выбрали не ту религию? Тогда каждую неделю мы гневим Бога еще больше». Тем не менее Пински утверждает, что приключения Симпсонов зачастую иллюстрируют важность христианских ценностей. Причем многие священники разделяют эту точку зрения и даже читали проповеди, посвященные моральным дилеммам, которые встают перед членами семьи Симпсонов.

Даже президент Джордж Буш-старший заявил, что раскрыл истинный смысл «Симпсонов». Он считал, что цель мультсериала – показать самые худшие социальные ценности. В 1992 году, выступая на национальном съезде Республиканской партии, Буш произнес фразу, ставшую ключевым элементом его предвыборной кампании: «Мы стремимся укреплять институт американской семьи, чтобы это были все же семьи Уолтонов, а не Симпсонов».

Через несколько дней последовала реакция авторов сериала. Следующий эпизод вышел в эфир как повтор серии «Совершенно безумный папа» (Stark Raving Dad, сезон 3, эпизод 1; 1991 год), но с одним отличием – дополнительной сценой в начале, в которой Симпсоны смотрят выступление президента Буша. Гомер так поражен, что даже не может говорить, а Барт бросает президенту вызов: «Эй, мы точно такие же, как Уолтоны. Мы тоже молимся о конце Депрессии».

Однако все эти философы, психологи, теологи и политики упустили основной подтекст самого культового мультсериала. Дело в том, что многие сценаристы «Симпсонов» увлекаются числами, и их сокровенное желание – по каплям внедрять математику в подсознание зрителей. Другими словами, на протяжении более чем двух десятков лет нас хитростью заставляют смотреть анимированное введение в абсолютно разные области математики, от математического анализа до геометрии, от числа π до теории игр, от бесконечно малых до бесконечно больших величин.

Присутствующий в «Симпсонах» уровень математики иллюстрирует третья часть эпизода «Маленький домик ужасов на дереве 6» (Treehouse of Horror VI, сезон 7, эпизод 6; 1995 год) под названием «Трехмерный Гомер». В одном только этом фрагменте упоминается самое элегантное математическое уравнение, а также приведена шутка, которую поймет лишь тот, кто знает о последней теореме Ферма, и задача на миллион долларов. И все это включено в историю, в которой исследуются сложные аспекты многомерной геометрии.

Сценарий фрагмента «Трехмерный Гомер» написал Дэвид Коэн, обладатель степени бакалавра по физике и степени магистра компьютерных наук. Это весьма серьезный уровень образования, особенно для работника телеиндустрии, однако многие коллеги Коэна из команды сценаристов мультсериала имеют не менее выдающиеся познания в области математических дисциплин. На самом деле некоторые из них даже доктора наук и занимали должности старших научных сотрудников в университетах и промышленных компаниях. Мы еще встретимся с Коэном и его коллегами в этой книге, а пока ознакомьтесь со списком степеней пяти авторов сериала «Симпсоны», к которым больше всего применимо определение «нерд»:

Дж. Стюарт Бернс – бакалавр математики, Гарвардский университет; магистр математики, Калифорнийский университет в Беркли.

Дэвид Коэн – бакалавр физики, Гарвардский университет; магистр компьютерных наук, Калифорнийский университет в Беркли.

Эл Джин – бакалавр математики, Гарвардский университет.

Кен Килер – бакалавр прикладной математики, Гарвардский университет; доктор прикладной математики, Гарвардский университет.

Джефф Уэстбрук – бакалавр физики, Гарвардский университет; магистр компьютерных наук, Принстонский университет.

В 1999 году некоторые из этих сценаристов участвовали в создании родственного мультсериала под названием «Футурама», в котором действие происходит через тысячу лет. Неудивительно, что фантастический сценарий позволил им еще глубже исследовать ряд математических тем, поэтому последние главы книги посвящены математике «Футурамы». К числу таких тем относится поистине новаторская и уникальная теорема, выведенная исключительно в целях комедийного сюжета.

Прежде чем отправиться в путь к головокружительным высотам, я попытаюсь доказать, что нерды[2] и гики[3] сделали «Футураму» потрясающим телевизионным инструментом распространения знаний о математике в массовой культуре. В этом мультсериале упоминаются многие теоремы и гипотезы, а уравнения встречаются почти во всех эпизодах. Однако я не буду здесь описывать каждый экспонат Симпсоновского музея математики, поскольку это означало бы необходимость включить в книгу более сотни отдельных примеров, а вместо этого сфокусируюсь в каждой главе на небольшом количестве разнообразных идей, от величайших открытий за всю историю математики до самых трудных, так до сих пор и не решенных, задач. В каждом из этих случаев вы увидите, как авторы мультсериала использовали персонажей для изучения мира цифр.

Гомер познакомит нас с теоремой Страшилы, надев очки Генри Киссинджера; Лиза покажет, что анализ статистических данных помогает бейсбольным командам добиться победы; профессор Фринк объяснит умопомрачительные следствия его «фринкаэдра», а остальные обитатели Спрингфилда расскажут о самых разных вещах, от простых чисел Мерсенна до гуголплекса.

Добро пожаловать в мир книги «Симпсоны и их математические секреты»!

Будьте там – или вы не с нами[4].

Глава 1

Барт – гений

В 1985 году культового художника-мультипликатора Мэтта Грейнинга пригласили на встречу с Джеймсом Бруксом, легендарным режиссером, продюсером и сценаристом, приложившим руку к созданию таких классических телесериалов, как «Шоу Мэри Тайлер Мур», «Лу Грант» и «Такси». За пару лет до этого Джеймс Брукс получил три «Оскара» как продюсер, режиссер и сценарист художественного фильма Terms of Endearment («Язык нежности»).

Брукс хотел обсудить с Грейнингом его участие в создании «Шоу Трейси Ульман», оказавшегося впоследствии одним из первых весьма удачных проектов недавно сформированной телевизионной сети Fox. Каждый эпизод шоу представлял собой серию комедийных скетчей с участием британской певицы Трейси Ульман, и продюсерам нужны были короткометражные анимационные фильмы, которые бы связывали эти скетчи между собой. Сначала они выбрали для таких заставок анимационную версию комикса Грейнинга Life in Hell («Жизнь в аду»), главным героем которого был депрессивный кролик Бинки.

Сидя в приемной в ожидании встречи с Бруксом, Грейнинг размышлял над предложением, которое вот-вот должен был получить. Безусловно, это стало бы для него звездным часом, но интуиция подсказывала Грейнингу, что предложение следует отклонить, поскольку комикс «Жизнь в аду» в свое время дал старт его карьере и помог пережить трудные времена. Грейнингу казалось, что продавать Бинки телекомпании Fox – предательство по отношению к кролику. Но с другой стороны, ему выпадал такой огромной шанс, как же он мог его упустить? И тут, прямо под дверью кабинета Брукса, Грейнинга осенило: единственный способ разрешить дилемму – создать новых персонажей вместо Бинки. Легенда гласит, что он придумал всю концепцию «Симпсонов» за считанные минуты.

Бруксу понравилась идея, и Грейнинг приступил к делу, создав десятки короткометражных мультфильмов длительностью одна-две минуты с участием членов семьи Симпсонов. Эти короткометражки были разбросаны по всем трем сезонам «Шоу Трейси Ульман». Такие эпизодические вкрапления в шоу могли означать как начало, так и конец «Симпсонов», однако съемочная группа стала замечать нечто странное.

Трейси Ульман для создания своих персонажей часто использовала необычный грим и макияж. Но при этом возникали определенные проблемы, ведь эпизоды шоу снимались перед живой аудиторией. Чтобы как-то развлечь публику, пока Ульман готовилась к следующей сцене, кто-то предложил объединять по несколько эпизодов с участием Симпсонов и показывать их в это время. А поскольку короткометражки уже транслировались, это была всего лишь обновленная подача старого материала. Однако ко всеобщему удивлению, мультфильмы нравились зрителям не меньше, чем сами скетчи.

Грейнинг и Брукс задались вопросом, а не сделать ли похождения Гомера, Мардж и их отпрысков темой полнометражного мультфильма, и вскоре вместе со сценаристом Сэмом Саймоном приступили к работе над специальным рождественским выпуском. Интуиция их не подвела. Эпизод под названием «Симпсоны готовят на открытом огне» (Simpsons Roasting on an Open Fire) вышел в эфир 17 декабря 1989 года и имел огромный успех как среди зрителей, так и среди критиков.

Через месяц после показа специального выпуска вышел эпизод «Барт – гений» (Bart the Genius, сезон 1, эпизод 2; 1990 год). Это был первый настоящий эпизод «Симпсонов», поскольку именно он положил начало знаменитому сериалу и именно в нем впервые прозвучала печально известная фраза Барта «Съешь мои шорты». Но самое примечательное, что эпизод «Барт – гений» содержал значительную дозу математики и во многих отношениях задал тон мультсериалу на два ближайших десятилетия. А так как в «Симпсонах» часто упоминаются числа и делаются ссылки на геометрию, сериал занял особое место в сердцах математиков.

Оглядываясь назад, можно сказать, что математическая подоплека «Симпсонов» была очевидной с самого начала. В первой же сцене эпизода «Барт – гений», в которой Мэгги строит башню из кубиков с буквами, зрители бегло знакомятся с самым знаменитым уравнением за всю историю науки. Водрузив шестой кубик на верхушку башни, Мэгги смотрит на столбик из шести букв. Навсегда обреченная оставаться годовалым ребенком, Мэгги чешет голову, сосет пустышку и восхищается своим творением: EMCSQU. Будучи неспособной поставить знак равенства и не имея кубиков с цифрами, Мэгги тем не менее фактически представляет знаменитую формулу Эйнштейна E = mc².

Кто-то может заявить, что математика, используемая ради славы науки, в каком-то смысле второсортна, однако по мере развития сюжета эпизода «Барт – гений» этих пуристов ждут и другие сюрпризы.

Пока Мэгги строит формулу E = mc² из кубиков, Гомер, Мардж и Лиза играют с Бартом в скребл. Барт торжествующе расставляет на доске буквы KWYJIBO. Такого слова нет в словаре, поэтому Гомер ставит под сомнение победу Барта, но тот в отместку определяет kwyjibo так: «большая глупая лысая американская обезьяна без подбородка»…

Во время перепалки в ходе игры в скребл Лиза напоминает Барту о завтрашнем школьном тесте на одаренность. И действие переносится в начальную школу Спрингфилда, где Барт сдает тест. Первый вопрос, на который ему предстоит ответить, – это классическая (и, откровенно говоря, довольно скучная) математическая задача о двух поездах, отправляющихся из Санта-Фе и Феникса с разной скоростью, разным количеством пассажиров, которые то садятся в поезд, то выходят из него в случайном, на первый взгляд запутанном порядке. Барт оказывается в тупике и решает украсть лист с ответами у Мартина Принса, умника из его класса.

План Барта срабатывает, причем настолько хорошо, что Барта вызывают в кабинет директора Скиннера на встречу с доктором Прайором, школьным психологом. Обман Барта выливается в результат, согласно которому IQ мальчика составляет 216 баллов, и доктор Прайор решает, что нашел ребенка-вундеркинда. Предположение доктора подтверждается, когда он спрашивает Барта, не считает ли тот уроки скучными и разочаровывающими. Барт дает ожидаемый ответ, но по совсем другим причинам.

Доктор Прайор уговаривает Гомера и Мардж записать сына в школу для одаренных детей, что вполне предсказуемо превращает жизнь Барта в кошмар. Во время первого же обеденного перерыва одноклассники Барта хвастают своим интеллектом, предлагая ему всевозможные сделки, сформулированные в математических и научных терминах. Один ученик делает такое предложение: «Послушай, Барт, я поменяюсь с тобой весом шара с восьмой луны Юпитера из моего завтрака на вес пера второй луны Нептуна из твоего завтрака».

Пока Барт пытается понять, что такое луны Нептуна и шары Юпитера, другой ученик делает еще одно, не менее запутанное предложение: «А я поменяю тысячу пиколитров своего молока на четверть пинты твоего». Еще одна бессмысленная головоломка, предназначенная исключительно для того, чтобы унизить новичка.

На следующий день настроение Барта портится еще больше, когда он узнает, что первый урок – математика. Учительница предлагает ученикам задачу, и именно в этот момент мы сталкиваемся с первым примером явной математической шутки в «Симпсонах». Стоя у доски, учительница пишет уравнение и говорит: «Таким образом, y равняется r в кубе, и если вы правильно определите уровень изменения в этом графике, то, думаю, будете приятно удивлены».

Далее наступает короткая пауза, после которой все ученики (кроме одного) находят ответ и начинают смеяться. Пока одноклассники Барта смеются, учительница пытается ему помочь и пишет на доске пару подсказок. В конце концов она записывает полное решение задачи. Но Барт продолжает недоумевать, и тогда учительница поворачивается к нему и говорит: «Ты разве не понял, Барт? Производная dy равняется трем r квадрат dr на три, или r квадрат dr, или r dr r».

Объяснения учительницы отображены на представленном ниже схематическом рисунке. Однако я подозреваю, что даже при наличии этой визуальной подсказки вы можете пребывать в не меньшем замешательстве, чем Барт. Если это действительно так, советую обратить внимание на последнюю строку на доске (r dr r). В ней содержится не только ответ задачи, но и вся соль шутки. Здесь возникают два вопроса: почему строка r dr r такая смешная и почему она является решением математической задачи?

Когда в эпизоде «Барт – гений» учительница ставит задачу по матанализу, она использует нестандартную схему и непоследовательное представление символов, а также допускает ошибку. Тем не менее ей удается получить правильный ответ. На рисунке воспроизведено то, что писала учительница на доске, за одним исключением: здесь задача сформулирована более четко. Шесть строк, расположенных под окружностью, – это важные уравнения.

Класс смеется, потому что строка r dr r звучит как har-de-har-har – выражение, которое употребляется, чтобы продемонстрировать сарказм в ответ на плохую шутку. Фразу har-de-har-har популяризировал Джеки Глисон, сыгравший Ральфа Крэмдена в классическом ситкоме 1950-х The Honeymooners («Новобрачные»). А в 1960-х годах она получила еще большую известность, после того как анимационная студия Hanna-Barbera придумала персонажа по имени Hardy Har Har (Выносливый Хар Хар) – угрюмую гиену в плоской шляпе с полями, которая в компании со львом Липпи стала героем десятков мультфильмов.

Таким образом, фраза har-de-har-har – своего рода каламбур на тему r dr r, но почему она является решением математической задачи? Дело в том, что задача относится к пользующейся дурной славой области математики под названием «математический анализ» – дисциплины, вселяющей ужас в сердца многих подростков и вызывающей кошмарные воспоминания у людей постарше. Как объясняет учительница во время постановки задачи, цель математического анализа – «определить уровень изменения» одной величины, в данном случае y, по сравнению с изменениями другой величины, r.

Если вы помните правила матанализа[5], то вам будет нетрудно понять логику этой шутки и получить правильный ответ: r dr r. Если же вы относитесь к числу тех, кто приходит от матанализа в ужас или страдает от тяжелых воспоминаний, не волнуйтесь: сейчас еще не время начинать длинную лекцию о тонкостях этого предмета. Вместо этого нам предстоит найти ответ на более насущный вопрос: почему авторы «Симпсонов» включают сложные математические концепции в свой комедийный сериал?

В состав основной команды, работавшей над первым сезоном «Симпсонов», входило восемь умнейших комедийных сценаристов Лос-Анджелеса. Они стремились писать сценарии, в которых бы упоминались продвинутые концепции из всех областей человеческого знания, и матанализ относился к числу их главных приоритетов, поскольку два сценариста были страстными поклонниками математики. Именно эти два нерда придумали шутку с r dr r; и именно им следует отдать должное за то, что сериал «Симпсоны» стал орудием распространения математических шуток.

С одним из них, Майком Рейссом, я познакомился во время встречи со сценаристами «Симпсонов». Точно так же как Мэгги, он продемонстрировал свои математические способности еще будучи малышом, когда складывал кубики. Рейсс отчетливо помнит момент, когда понял, что кубики подчиняются бинарному закону в том смысле, что два самых маленьких кубика имеют такой же размер, как один средний; два средних кубика такого же размера, как один большой, а два больших кубика равны одному очень большому кубику.

Как только Рейсс научился читать, его интерес к математике перерос в любовь к головоломкам. Особенно его привлекали книги Мартина Гарднера, величайшего специалиста по математическим играм и развлечениям. Игривый подход Гарднера к математическим задачам нравился людям всех возрастов. Его друг однажды сказал: «Мартин Гарднер превратил тысячи детей в математиков, а тысячи математиков – в детей».

Сначала Рейсс прочитал книгу The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions («Неожиданное зависание и другие математические отклонения»), а затем начал тратить все свои карманные деньги на другие книги Гарднера. В возрасте восьми лет Рейсс написал Гарднеру письмо, в котором признался, что он его большой поклонник, а затем рассказал об одном интересном наблюдении, касающемся палиндромных квадратов, а именно, что эти числа содержат, как правило, нечетное количество цифр. Палиндромные квадраты целых чисел – это просто квадраты целых чисел, которые имеют такой же вид, если их записать в обратном порядке, например 121 (11²) или 5 221 225 (2285²). Восьмилетний мальчик оказался абсолютно прав, поскольку существует тридцать пять таких чисел меньше 100 миллиардов, и только в одном из них четное количество цифр – 698 896 (836²).

Рейсс неохотно признался мне, что его письмо Гарднеру также содержало один вопрос. Он спрашивал, является ли количество простых чисел конечным или бесконечным. Сейчас он несколько смущенно вспоминает об этом: «Я отлично помню то письмо и тот глупый, наивный вопрос».

Большинство людей посчитали бы, что Рейсс слишком строг к себе, восьмилетнему, потому что ответ далеко не так очевиден. Его вопрос основан на факте, что у каждого целого числа есть делители – числа, на которые оно делится без остатка. Простое число примечательно тем, что у него только два делителя – 1 и само число (так называемые тривиальные делители). Таким образом, 13 – это простое число, потому что у него нет нетривиальных делителей, а 14 – нет, поскольку его можно разделить на 2 и 7. Все числа являются либо простыми (например 101), либо их можно разделить на простые делители (например 102 = 2 × 3 × 17). Между числами 0–100 существует 25 простых чисел, между 100–200 – 21 простое число, а между 200–300 – всего 16 простых чисел, стало быть, количество простых чисел уменьшается. Тем не менее закончатся ли они со временем или их список бесконечен?

Гарднер с удовольствием рассказал Рейссу о доказательстве древнегреческого ученого Эвклида, который работал в Александрии около 300 года до нашей эры[6]. Эвклид был первым математиком, доказавшим существование бесконечного множества простых чисел. Как ни странно, он получил этот результат, выдвинув прямо противоположную гипотезу и применив к ней метод, известный как доказательство от противного. Один из способов объяснить подход Эвклида – начать со следующего смелого утверждения:

Предположим, что количество простых чисел конечно и все они собраны в список: p_1, p_2, p_3, … pn.

Мы можем изучить следствия, вытекающие из этого утверждения, перемножив все простые числа в этом списке и прибавив 1, что создает новое число: N = p_1 × p_2 × p_3 × … × pn + 1. Это новое число N является либо простым, либо нет, но в любом случае оно противоречит исходному утверждению Эвклида.

• Если N – простое число, тогда оно отсутствует в первоначальном списке. Таким образом, утверждение о том, что это полный список, ошибочно.

• Если N – не простое число, тогда оно должно иметь простые делители, которые должны быть новыми простыми числами, поскольку деление простых чисел в исходном списке на N даст в остатке 1. Стало быть, утверждение о том, что это полный список, тоже ошибочно.

Следовательно, исходное утверждение Эвклида ложно: его конечный список не содержит всех простых чисел. Более того, любая попытка опровергнуть это утверждение, включив в список новые простые числа, обречена на неудачу, так как приведенные выше аргументы можно снова использовать для доказательства того, что список по-прежнему неполный, а значит, должно существовать бесконечное количество простых чисел.

Шли годы, Рейсс стал весьма одаренным юным математиком и занял достойное место среди математиков штата Коннектикут. В то же время у него проявился особый талант к написанию комедий, и он даже получил определенное признание в этой области. Например, когда стоматолог Рейсса похвастался ему, что всегда отправляет в журнал New York Magazine остроумные, но безуспешные заявки на участие в еженедельном юмористическом конкурсе, молодой Майк признался, что тоже принимал участие в этом конкурсе и даже получил награду. «Я часто побеждал в детстве, – сказал Рейсс. – И даже не осознавал, что соревнуюсь с профессиональными писателями-юмористами. Впоследствии я выяснил, что сценаристы шоу “Сегодня вечером” тоже принимают участие в этом конкурсе, а я, мальчик десяти лет от роду, выиграл его».

Майк Рейсс (второй слева в последнем ряду) среди членов математического кружка средней школы восточного Бристоля. Помимо запечатленного на фотографии мистера Козиковски, который обучал членов кружка, у Рейсса было много других математических наставников. Например, учитель геометрии мистер Бергстром. В эпизоде под названием «Замена учителя Лизы» (Lisa’s Substitute, сезон 2, эпизод 19; 1991 год) Рейсс продемонстрировал свою благодарность этому человеку, назвав учителя Лизы мистером Бергстромом

Фотографию предоставил Майк Бэннон

Когда Рейссу предложили место в Гарвардском университете, ему пришлось решать, какой предмет выбрать в качестве профилирующего – математику или английский язык. В итоге желание Рейсса стать писателем затмило страсть к числам. Тем не менее его математический склад ума всегда ему помогал, и Рейсс никогда не забывал свою первую любовь.

Детство еще одного одаренного математика, участвовавшего в создании мультсериала «Симпсоны», было примерно таким же. Эл Джин родился в Детройте в 1961 году, через год после рождения Майка Рейсса. Он тоже любил головоломки Мартина Гарднера и тоже посещал математический кружок. В 1977 году на математическом конкурсе штата Мичиган, в котором принимали участие двадцать тысяч учеников, Джин занял третье место. Он даже посещал летние лагеря с интенсивным обучением при Технологическом университете Лоуренса и Чикагском университете. Такие лагеря организовывались в период холодной войны с целью воспитания математических умов, которые могли бы соперничать с советскими детьми, прошедшими комплекс элитных программ обучения математике. Благодаря столь интенсивной подготовке Джина зачислили на факультет математики Гарвардского университета, когда ему было всего 16 лет.

Во время учебы в Гарварде Джин разрывался между изучением математики и новым увлечением – написанием комедий. Впоследствии его взяли в юмористический журнал Harvard Lampoon, издававшийся на протяжении самого продолжительного периода. В итоге Джин начал меньше думать о математических доказательствах и больше – о шутках.

Рейсс также был одним из авторов журнала Harvard Lampoon, который прославился на всю Америку после того, как в 1969 году опубликовал пародию под названием Bored of the Rings[7] на ставшую классикой книгу Толкиена. Затем, в 1970-х годах, Джин принимал участие в создании театрального шоу «Лемминги», после чего работал в радиошоу под названием The National Lampoon Radio Hour («Радиочас журнала National Lampoon»). Рейсс и Джин подружились и стали партнерами по писательской работе в журнале Harvard Lampoon. Именно этот университетский опыт убедил их в необходимости искать вакансию телевизионных сценаристов после окончания университета.

Звездный час Майка Рейсса и Эла Джина настал в тот момент, когда их наняли как сценаристов в шоу «Сегодня вечером», где высоко оценили присущие им качества нердов. Ведущий шоу Джонни Карсон был не только астрономом-любителем, но и разоблачителем псевдонауки, время от времени жертвовавшим по 100 тысяч долларов в Образовательный фонд Джеймса Рэнди – организацию, деятельность которой связана с пропагандой рационального мышления. Когда Рейсс и Джин ушли из «Сегодня вечером» в шоу It’s Garry Shandling’s Show («Это шоу Гарри Шендлинга»), они узнали, что Шендлинг, прежде чем начать карьеру в сфере комедии, изучал электротехнику в Аризонском университете.

Когда Рейсс и Джин присоединились к команде сценаристов, работавших над первым сезоном «Симпсонов», у них возникло ощущение, что это идеальная возможность выразить свою любовь к математике. «Симпсоны» оказались не просто совершенно новым шоу; у них был абсолютно иной формат, а именно выходящий в прайм-тайм комедийный мультсериал, рассчитанный на зрителей всех возрастов. Обычные правила здесь не работали, что, по всей вероятности, и объясняет тот факт, что Рейссу и Джину разрешали (и даже поощряли) как можно чаще включать в эпизоды элементы поведения, свойственного нердам.

Рейсс и Джин были ключевыми членами команды авторов первого и второго сезонов «Симпсонов», что позволило им включить в эпизоды ссылки на ряд важных математических концепций. Тем не менее математическое сердце «Симпсонов» забилось еще быстрее начиная с третьего сезона, после того как этих двух выходцев из журнала Harvard Lampoon назначили на должности исполнительных продюсеров.

Это стало переломным моментом в истории мультсериала «Симпсоны». Теперь Джин и Рейсс могли не только включать в эпизоды собственные математические шутки, но и нанимать комедийных сценаристов с серьезной математической подготовкой. В последующие годы во время совещаний по редактированию сценариев «Симпсонов» периодически возникала атмосфера, больше напоминающая урок геометрии или семинар по теории чисел, а созданные в итоге эпизоды содержали больше математических аллюзий, чем любой другой сериал за всю историю телевидения.

Фотография членов математического кружка из выпускного альбома школы Роупера за 1977 год. На подписи под ней сказано, что Эл Джин – третий слева ученик во втором ряду, а также что он занял первое и третье место на конкурсе в штате Мичиган. Учителем, который оказал на Джина самое большое влияние, был покойный профессор Арнольд Росс, руководивший летней программой обучения Чикагского университета

Фотографию предоставил Эл Джин

Глава 2

Хотите ли вы знать число π?

Порой в «Симпсонах» упоминаются малоизвестные математические концепции, и с некоторыми из них мы действительно встретимся в следующей главе. Однако в остальных случаях шуточные ситуации, смоделированные Рейссом, Джином и их коллегами в эпизодах сериала, касаются хорошо знакомых многим зрителям математических концепций. Классический пример – число π, неоднократно появлявшееся в мультсериале за прошедших два десятилетия.

На всякий случай напоминаю, что π – это отношение длины окружности к ее диаметру. Для того чтобы составить представление о приблизительном значении числа π, можно нарисовать окружность, а затем отрезать кусок веревки длиной, равной ее диаметру. Если проложить этот кусок веревки по краю окружности, он поместится там немногим более трех раз – точнее говоря, 3,14 раза. Это и есть приблизительное значение числа π. Соотношение между числом π, длиной окружности и диаметром можно описать с помощью следующего уравнения:

длина окружности = π × диаметр

C = πd

Поскольку диаметр окружности в два раза больше радиуса, это уравнение можно записать в таком виде:

длина окружности= 2 × π × радиус

C = 2πr

Пожалуй, это и есть первый маленький шаг, который мы совершаем в детстве при переходе от простой арифметики к более сложным концепциям. Я до сих пор помню свою первую встречу с числом π, настолько она тогда меня потрясла. Математика больше не сводилась исключительно к умножению в столбик и простым дробям; теперь в ней появилось нечто таинственное, элегантное и универсальное: каждый круг в этом мире подчиняется уравнению с участием числа π, от колеса обозрения до фрисби, от лепешки до земного экватора.

Кроме того, помимо вычисления длины окружности, число π можно использовать для расчета площади, которая ограничена этой окружностью:

площадь = π × радиус²

A = πr²

В эпизоде «Человек-пирог» (Simple Simpson, сезон 15, эпизод 19; 2004 год) есть основанная на игре слов шутка, касающаяся приведенного выше уравнения. В этом эпизоде Гомер изображает супергероя по имени Человек-пирог, который наказывает злодеев, бросая им в лицо пирог. И первый его акт возмездия в данном качестве направлен на обидчика Лизы. Свидетелем сцены становится персонаж по имени Дредерик Тейтум, знаменитый бывший боксер из Спрингфилда, который заявляет: «Все мы знаем формулу πr², но сегодня мы говорим: “Пирог – это справедливость”. Я приветствую это».

И хотя шутку включил в сценарий Эл Джин, он неохотно приписывает себе эту заслугу (или, возможно, вину): «Да это же очень старая шутка. Я услышал ее много лет назад. Человек, которого следует поблагодарить за нее, – кто-то из 1820 года».

Джин явно преувеличивает, когда упоминает 1820 год, но слова Тейтума действительно представляют собой новую интерпретацию классической шутки, передаваемой из поколения математиков в поколение. Самая известная ее версия появилась в 1951 году в американском комедийном сериале The George Burns and Gracie Allen Show («Шоу Джорджа Бернса и Грейси Аллен»). В эпизоде под названием «Как девушка-подросток проводит уик-энд» Грейси приходит на помощь юной Эмили, которая жалуется на домашнее задание:

Эмили. Хотелось бы мне, чтобы геометрия была такой же легкой, как испанский язык.

Грейси. Так, может, я тебе помогу? Скажи мне что-нибудь на языке геометрии.

Эмили. Сказать что-нибудь на языке геометрии?

Грейси. Да, давай же.

Эмили. Ну хорошо. Ммм… πr².

Грейси. И этому учат сейчас в школе? πr²?

Эмили. Да.

Грейси. Эмили, пирог круглый. Печенье круглое. Крекеры квадратные.

В основе этой шутки лежит похожее звучание слова pie («пирог») и названия буквы π, что и служит поводом для каламбура. Следовательно, комики должны быть благодарны Уильяму Джонсу за введение символа π. Этот математик XVIII столетия, так же как и многие другие ученые, зарабатывал себе на жизнь уроками в лондонских кофейнях, посетители которых должны были заплатить за вход один пенни. Преподавая в этих так называемых грошовых университетах, Джонс параллельно работал над крупным научным трудом под названием A New Introduction to the Mathematics («Новое введение в математику»). Именно в этой книге он впервые использовал греческую букву π в контексте обсуждения геометрии круга. В итоге появилась почва для новых математических каламбуров. Джонс выбрал символ π, потому что это начальная буква греческого слова περιφερια (периферия), что означает «окружность».

* * *

За три года до появления шутки с числом π в эпизоде «Человек-пирог» авторы «Симпсонов» уже упоминали это число в серии «Пока, пока, зубрила» (Bye, Bye, Nerdie, сезон 12, эпизод 16; 2001 год). Но на этот раз вместо воскрешения старой шутки сценаристы создали совершенно новую, хотя и основанную на одном любопытном случае из истории числа π. Для того чтобы оценить ее по достоинству, сперва необходимо вспомнить значение числа π и то, как оно измерялось на протяжении столетий.

Я уже говорил, что π = 3,14 – всего лишь приближенное значение. Дело в том, что π – иррациональное число, то есть назвать его абсолютно точное значение невозможно, поскольку в нем бесконечное количество десятичных знаков, в которых отсутствует какая-либо закономерность. Тем не менее математики прошлого ставили перед собой задачу выйти за рамки существующей приближенной оценки 3,14 и поймать это ускользающее число, рассчитав его максимально точное значение.

Первую серьезную попытку это сделать предпринял Архимед в третьем столетии до нашей эры. Он понимал, что точность измерения π зависит от точности измерения длины окружности. Но это весьма сложная задача, так как окружность состоит из кривых малой кривизны, а не из прямых линий. Важным достижением Архимеда стало решение обойти проблему измерения кривых путем аппроксимации окружности прямыми линиями.

Возьмем окружность, диаметр которой (d) равен единице. Мы знаем, что C = πd, а значит, длина окружности (С) равна π. Затем нарисуем два квадрата, один за пределами окружности и один внутри нее.

Безусловно, настоящая окружность должна быть меньше периметра большего квадрата и больше периметра меньшего квадрата. Таким образом, измерив периметры двух квадратов, мы получим верхний и нижний пределы длины окружности.

Периметр большего квадрата измеряется легко, поскольку каждая его сторона имеет ту же длину, что и диаметр круга, который, как нам известно, равен единице. Следовательно, периметр большего квадрата составляет 4 × 1 = 4 единицы.

Периметр меньшего квадрата вычислить несколько труднее, но мы можем определить длину каждой его стороны с помощью теоремы Пифагора. Очень кстати, что диагональ квадрата и две его стороны образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза (H) которого не только совпадает с диагональю квадрата, но и имеет ту же длину, что и диаметр окружности, то есть единицу. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Если мы обозначим их символом S, то H² = S² + S². Если H = 1, то две другие стороны должны иметь длину 1/√2 единиц. Следовательно, периметр меньшего квадрата равен 4 × 1/√2 = 2,83 единицы.

Учитывая, что длина окружности должна быть меньше периметра большого круга и больше периметра малого, мы можем с уверенностью заявить, что она должна попадать в промежуток от 2,83 до 4,00.

Не забывайте: ранее мы утверждали, что длина окружности диаметром 1 единица равна π, поэтому значение π должно находиться между 2,83 и 4,00.

В этом и состояло великое открытие Архимеда.

Возможно, оно не произвело на вас особого впечатления, ведь мы уже знаем, что π равно примерно 3,14, так что нижний предел 2,83 и верхний – 4,00 не представляют для нас никакого интереса. Однако сила открытия Архимеда состояла в том, что его результат подлежал уточнению. Вместо того чтобы размещать окружность между большим и малым квадратами, Архимед разместил ее между большим и малым шестиугольниками. Если у вас есть десять свободных минут и вы уверенно оперируете числами, то можете попробовать сами доказать, что по результатам измерения периметра этих двух шестиугольников значение числа π должно быть больше 3,00 и меньше 3,464.

У шестиугольника больше сторон, чем у квадрата, что делает его более точным приближением к окружности. Это объясняет, почему шестиугольник позволяет вычислить более узкие пределы для значения π. Тем не менее и в этом случае имеет место значительная погрешность. Поэтому Архимед продолжал расчеты, применяя этот метод снова и снова и увеличивая количество сторон многоугольника, благодаря чему получал все более точное приближение к окружности.

В конечном итоге упорство привело Архимеда к тому, что он заключил окружность между двумя многоугольниками с 96 сторонами и рассчитал периметр обеих фигур. Это было впечатляющее достижение, особенно учитывая, что Архимед не имел современной алгебраической системы обозначений, ничего не знал об арифметических действиях с десятичными дробями и ему приходилось выполнять все эти громоздкие вычисления вручную. Однако работа стоила затраченных усилий, поскольку ему удалось заключить значение числа π между числами 3,141 и 3,143.

Через восемь столетий, в V веке нашей эры, китайский математик Цзу Чунчжи развил подход Архимеда на шаг дальше (или на 12 192 шага, если точнее), использовав два многоугольника с 12 288 сторонами для доказательства того, что значение числа π лежит между числами 3,1415926 и 3,1415927.

По всей вероятности, к этому моменту вы уже поняли, что определение значения числа π – непростая задача, работа над которой будет продолжаться вечно, а все потому, что π – иррациональное число. Но есть ли смысл в вычислении значения π с более высокой точностью? Мы вернемся к этому вопросу чуть позже, а пока вы уже узнали о числе π достаточно для того, чтобы перейти к контексту математической шутки из эпизода «Пока, пока, зубрила».

Сюжет этого эпизода сфокусирован на травле умников, которая по-прежнему остается глобальной проблемой, несмотря на мудрые слова американского педагога Чарльза Сайкса, написанные в 1995 году: «Будь вежлив с ботаниками. Не исключено, что однажды ты будешь работать на одного из них». Когда Лиза задается целью найти объяснение того, почему хулиганы так любят нападать на умников, ей приходит в голову мысль, что они издают запах, который отмечает их как жертв. Лиза убеждает нескольких школьных друзей из числа ботанов поработать на спортивных тренажерах до пота, а затем собирает его и анализирует. После длительных исследований ей наконец удается выделить феромон, который источает каждый «умник, ботаник и очкарик» и который, возможно, притягивает хулиганов. Лиза называет его «пойндекстрозой»[8], в честь вундеркинда Пойндекстера, персонажа мультсериала 1959 года Felix the Cat («Кот Феликс»).

Для того чтобы проверить свою гипотезу, Лиза наносит немного пойндекстрозы на пиджак грозного бывшего боксера Дредерика Тейтума, пришедшего в ее школу. Как и следовало ожидать, феромон притягивает школьного хулигана Нельсона Манца. И хотя Нельсон понимает, что нападать на бывшего боксера абсолютно бессмысленно, он не может сопротивляться воздействию пойндекстрозы и даже вытягивает у Тейтума трусы.

Взволнованная своим открытием, Лиза решает представить отчет о работе «Воздушные феромоны и агрессия хулиганов» на конференции «12-я ежегодная научная штука», которую ведет любимец обитателей Спрингфилда, рассеянный профессор Джон Нерделбаум Фринк-младший. Фринк пытается представить Лизу, но атмосфера на конференции настолько накалена, а ее участники так возбуждены, что ему трудно призвать их к порядку. В конце концов Фринк в отчаянии восклицает: «Ученые, ученые! Прошу, прошу порядка! К порядку, смотреть вперед, руки сложить, слушать внимательно. Число π равно трем!»

Шум внезапно прекращается. Идея профессора Фринка сработала, поскольку он совершенно правильно предположил, что заявление о точном значении числа π так поразит присутствующих в зале, что они потеряют дар речи. Как смеет кто бы то ни было заменять тройкой число 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513… после тысячелетних попыток определить его значение с невероятной точностью!

Эта сцена перекликается с лимериком, написанным историком, профессором колледжа Колорадо Харви Картером (1904–1994):

Tis a favorite project of mine,

A new value of pi to assign.

I would fix it at 3

For it’s simpler, you see,

Than 3 point 1 4 1 5 9.

(Люблю я это делать –

Искать новое значение «пи».

Я бы выбрал число 3.

Как видите, оно попроще,

Чем 3 запятая 1 4 1 5 9.)

Однако возмутительное заявление профессора Фринка основывалось не на странном лимерике Картера. Эл Джин рассказал о том, что он предложил фразу «Число π равно трем!», поскольку незадолго до этого прочитал об инциденте, имевшем место в штате Индиана в 1897 году, когда политики попытались закрепить официальное (и совершенно неправильное) значение π на законодательном уровне.

Законопроект о числе π (официальное название – «Законопроект № 246»), принятый в нижней палате штата Индиана, был детищем Эдвина Гудвина, врача из города Солитьюд, расположенного в юго-западной части штата. Гудвин обратился к законодательному собранию штата с предложением принять закон, в основу которого было положено его решение задачи, известной как «квадратура круга» (древняя задача, не имеющая решения, что было доказано в 1882 году). Сложные и противоречивые объяснения Гудвина содержали следующую строку, касающуюся диаметра круга:

…Четвертый важный факт состоит в том, что отношение диаметра к окружности равно пяти четвертым к четырем.

Отношение длины окружности к диаметру равно числу π, а значит, Гудвин, по сути, предлагал определять значение π по следующей формуле:

Гудвин заявил, что школы штата Индиана могут использовать его открытие бесплатно, но власти штата разделят с ним прибыль от роялти, взимаемого с других школ, которые захотят принять значение числа π равным 3,2. Поначалу специальный характер законопроекта озадачил политиков, которые передали его на рассмотрение из палаты представителей в финансовый комитет, затем в комитет по болотам и в конце концов в комитет по вопросам образования, где из-за неразберихи его приняли без возражений.

Далее законопроект должен был одобрить сенат штата. К счастью, некий профессор Уолдо, возглавлявший в то время факультет математики Университета Пердью в городе Уэст-Лафейетт, отправился в тот день в здание законодательного собрания для обсуждения финансирования Академии наук штата Индиана. По случайному стечению обстоятельств один из членов финансового комитета показал законопроект профессору и предложил познакомить его с доктором Гудвином. Однако Уолдо ответил, что в этом нет необходимости, поскольку он и без того знает немало чокнутых.

Профессор Уолдо сделал все для того, чтобы сенаторы поняли абсурдность законопроекта Гудвина и высмеяли его, и таки добился своего. В Indianapolis Journal была опубликована следующая цитата сенатора Оррина Хаббелла: «С таким же успехом сенат может принять закон о том, чтобы вода текла под гору, и законодательно устанавливать математические истины». В конечном итоге принятие законопроекта отложили на неопределенный срок.

Нелепое заявление профессора Фринка о том, что π равно 3, – искусное напоминание о том, что законопроект Гудвина до сих пор лежит где-то в ящике для бумаг в подвале здания законодательного собрания штата Индиана и ждет, когда какой-либо болван вернет его к жизни.

Глава 3

Последняя теорема Гомера

Время от времени Гомер Симпсон пытается демонстрировать свои изобретательские таланты. Например, в эпизоде «Мардж и тюрьма» (Pokey Mom, сезон 12, эпизод 10; 2001 год) он создает чудесный исправляющий спиноцилиндр доктора Гомера, который представляет собой побитый мусорный бак с вмятинами, «точно повторяющий контуры человеческого тела». Гомер позиционирует свое изобретение как метод лечения боли в спине, хотя никаких данных, подтверждающих его слова, нет. Хиропрактики Спрингфилда приходят в ярость из-за того, что Гомер переманивает их пациентов, и угрожают уничтожить его изобретение. Это позволит им снова монополизировать рынок лечения проблем с позвоночником и благополучно продвигать собственные фальшивые методы лечения.

Изобретательские подвиги Гомера достигают пика в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» (The Wizard of Evergreen Terrace, сезон 10, эпизод 2; 1998 год). Название эпизода – это отсылка к прозвищу Томаса Эдисона «Волшебник из Менло-Парка», которое ему дал один журналист после того, как тот открыл в Менло-Парке свою главную лабораторию. К моменту смерти в 1931 году Эдисон запатентовал на свое имя 1093 изобретения и стал легендой.

В эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» рассказывается о решимости Гомера идти по стопам Эдисона. Он сооружает различные устройства, от сигнализации, срабатывающей каждые три секунды, до ружья, которое делает макияж, выстреливая прямо в лицо. Именно в этот научно-исследовательский период мы видим, как Гомер, стоя у доски, записывает несколько математических уравнений. В этом нет ничего удивительного, потому что многие непрофессиональные изобретатели увлекались математикой, а многие математики любили изобретать.

Возьмем в качестве примера сэра Исаака Ньютона, который, кстати, сыграл самого себя в эпизоде под названием «Последнее искушение Гомера» (The Last Temptation of Homer, сезон 5, эпизод 9; 1993 год). Ньютон – один из отцов современной математики – был также и изобретателем. В частности, именно ему приписывают идею дверцы для кошек – с дыркой в нижней части двери, чтобы кошка могла заходить и выходить, когда захочет. Как ни странно, в двери было еще и отверстие поменьше – для котят! Неужели Ньютон действительно был настолько эксцентричным и рассеянным? Многие ставят под сомнение правдивость этой истории, но в 1827 году Джон Мартин Фредерик Райт сказал следующее: «Не знаю, правда это или ложь, но бесспорно одно: в двери до сих пор есть два заглушенных отверстия, размер которых вполне подходит для того, чтобы через них могли пройти кошка и котенок».

Фрагменты математических каракулей Гомера на доске в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» включил в сценарий Дэвид Коэн, который представлял новое поколение авторов сериала с математическими наклонностями и присоединился к команде «Симпсонов» в середине 1990-х. Так же как Эл Джин и Майк Рейсс, Коэн еще в раннем возрасте демонстрировал настоящий талант к математике. Дома он постоянно читал отцовский журнал Scientific American и разгадывал математические головоломки, которые печатались в ежемесячной колонке Мартина Гарднера. Кроме того, в средней школе Дуайта Морроу в городе Энглвуд Коэн был одним из капитанов команды математиков, выигравшей в 1984 году математический конкурс штата.

Фотография Дэвида Коэна в выпускном альбоме средней школы Дуайта Морроу 1984 года. В школе часто повторяли шутку о том, что все члены математического кружка были капитанами команды, чтобы каждый из них мог написать об этом в заявлении о приеме в колледж

Фотографию предоставил Дэвид Коэн

Вместе со школьными друзьями Дэвидом Шиминовичем и Дэвидом Борденом Коэн организовал группу программистов под названием Glitchmasters («Мастера компьютерных глюков»), и они разработали собственный язык программирования FLEET, предназначенный для высокоскоростной графики и игр на компьютере Apple II Plus. Параллельно Коэн увлекался комиксами и написанием комедий. Он связывал начало своей профессиональной карьеры с комиксами, которые нарисовал во время учебы в средней школе и продал сестре за пенни.

Даже отправившись изучать физику в Гарвард, Коэн сохранил интерес к писательскому труду и печатался в журнале Harvard Lampoon (впоследствии став его президентом). Со временем, как и в случае с Элом Джином, страсть Коэна к комедии и писательству превзошла любовь к математике и физике. В итоге он отказался от научной карьеры, предпочтя написание сценариев к сериалу «Симпсоны». Однако время от времени Коэн возвращается к своим корням, тайком включая математику в эпизоды мультфильма. Хороший тому пример – символы и диаграммы, изображенные Гомером на доске в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи».

Но Коэн, помимо математики, хотел включить в эпизод научные уравнения, поэтому связался со своим школьным другом Дэвидом Шиминовичем, который не бросил академическую стезю и стал астрономом Колумбийского университета.

Первое уравнение на доске – в значительной степени работа Шиминовича, и оно позволяет составить прогноз массы M(H^0) бозона Хиггса, элементарной частицы, гипотеза о существовании которой впервые была выдвинута в 1964 году. Уравнение представляет собой забавное сочетание различных фундаментальных параметров, а именно постоянной Планка, гравитационной постоянной и скорости света. Если вы найдете их в справочниках и подставите в уравнение[9], то масса бозона Хиггса будет равна 775 гигаэлектронвольт (ГэВ), что гораздо больше значения 125 ГэВ, полученного в 2012 году, когда бозон Хиггса был открыт. Тем не менее значение 775 ГэВ являлось неплохой догадкой, особенно если учесть, что Гомер – непрофессиональный изобретатель и делал свои расчеты за четырнадцать лет до того, как специалистам Европейского центра ядерных исследований (CERN) удалось отследить эту неуловимую частицу.

Второе уравнение… придется на какое-то время отложить. Это самая интригующая с математической точки зрения строка, поэтому стоит немного подождать, чтобы проанализировать ее более тщательно.

Третье уравнение касается плотности Вселенной, которая определяют ее судьбу. Если Ω(t_0) будет больше 1, как сначала написал Гомер, то Вселенная в конце концов взорвется под собственным весом. Для того чтобы продемонстрировать это космическое событие на местном уровне, в подвале Гомера – вскоре после того как зрители видят это уравнение – происходит небольшой взрыв.

Затем Гомер меняет знак неравенства, превращая уравнение Ω(t_0) > 1 в Ω(t_0) < 1. С космологической точки зрения новое уравнение подразумевает, что Вселенная будет расширяться вечно, порождая нечто сродни бесконечного космического взрыва. Сюжет отображает и это явление, и как только Гомер меняет знак неравенства, в подвале происходит мощный взрыв.

Четвертая строка на доске представляет собой последовательность четырех математических рисунков, показывающих, как пончик превращается в сферу. Эта строка относится к области математики под названием «топология». Для того чтобы понять суть рисунков, необходимо знать, что согласно правилам топологии квадрат и круг идентичны. Их считают гомеоморфными, или топологическими близнецами, поскольку квадрат, нарисованный на резиновом листе, можно растянуть и превратить в круг. На самом деле топологию иногда называют «геометрией на резиновом листе».

Топологов не интересуют углы и расстояния: очевидно, что в процессе растягивания резинового листа они меняются. Но их волнуют более фундаментальные свойства. Например, фундаментальное свойство буквы А – что она, по сути, представляет собой петлю с двумя ножками. Буква R – тоже петля с двумя ножками. Следовательно, буквы A и R гомеоморфны, так как букву A, нарисованную на резиновом листе, можно преобразовать в букву R посредством соответствующего растягивания

Однако никакое растягивание не поможет превратить букву A в букву H ввиду того, что эти буквы принципиально отличаются друг от друга: A состоит из одной петли и двух ножек, а H вообще не имеет петель. Единственный способ превратить букву A в H – разрезать резиновый лист у верхушки A, что разомкнет петлю. Однако в топологии разрезание запрещено.

Принципы геометрии на резиновом листе можно расширить на три измерения, что объясняет остроту, будто тополог – это тот, кто не видит разницы между пончиком и кофейной чашкой. Другими словами, у кофейной чашки одно отверстие, образованное ручкой, и у пончика одно отверстие, прямо посередине. Следовательно, кофейную чашку, сделанную из эластичной глины, можно растянуть и скрутить в форме пончика. Это и делает их гомеоморфными.

Напротив, пончик невозможно превратить в сферу, поскольку в ней нет отверстий, и никакое растягивание, сжатие и скручивание не помогут удалить дыру, которая является неотъемлемой частью пончика. В действительности тот факт, что пончик отличается от сферы в топологическом смысле, – доказанная математическая теорема. Тем не менее каракули Гомера на доске говорят о том, что ему будто бы удалось совершить невозможное, так как рисунки отображают успешную трансформацию пончика в сферу. Но как?

Хотя в топологии разрезание запрещено, Гомер решил, что откусывание вполне приемлемо. В конце концов, исходный объект – пончик, так кто же удержится от соблазна немного от него откусить? Если откусить от пончика несколько кусочков, он будет похож на банан, который можно превратить в сферу посредством стандартного растягивания, сжатия и скручивания. По всей вероятности, профессиональные топологи пришли бы в ужас от того, что их любимая теорема превратилась в пепел, но согласно личным правилам топологии Гомера, пончик и сфера идентичны. Возможно, корректнее было бы назвать их не гомеоморфными, а гомероморфными.

* * *

Вторая строка на доске Гомера, пожалуй, самая интересная, поскольку она содержит такое равенство:

3987¹² + 4365¹² = 4472¹²

На первый взгляд уравнение выглядит безобидным, если только вы не знаете кое-что из истории математики, – иначе вы с отвращением разобьете в щепки свою логарифмическую линейку. Похоже, Гомеру удалось совершить невозможное – найти решение знаменитой загадки последней теоремы Ферма!

Пьер Ферма предложил эту теорему в 1637 году. Несмотря на то что Ферма был любителем, решавшим задачи исключительно в свободное время, он является одним из величайших математиков в истории. Ферма работал в уединении в своем доме на юге Франции, и его единственным математическим компаньоном была книга под названием Arithmetica[10], написанная Диофантом Александрийским в третьем веке нашей эры. Читая этот древнегреческий текст, Ферма обратил внимание на раздел со следующим уравнением:

x² + y² = z²

Хотя это уравнение имеет непосредственное отношение к теореме Пифагора, Диофанта не интересовали треугольники и длины их сторон. Вместо этого он поставил перед читателями задачу решить его в целых числах. Ферма уже был знаком с методами поиска таких решений, кроме того, он знал, что у этого уравнения их бесконечное множество. К числу этих решений, которые называют «пифагоровыми тройками», относятся следующие:

3² + 4² = 5²

5² + 12² = 13²

133² + 156² = 205²

Поскольку загадка Диофанта показалась Ферма скучной, он решил проанализировать ее другой вариант и найти целые решения такого уравнения:

x³ + y³ = z³

Несмотря на все усилия, Ферма удалось найти только тривиальные решения с участием нуля, такие как 0³ + 7³ = 7³. При попытке отыскать более содержательные решения самым лучшим, что он смог предложить, было уравнение, отличающееся от искомого всего на единицу: 6³ + 8³ = 9³ − 1.

Более того, при дальнейшем увеличении степени, в которую возводятся x, y и z, попытки найти целые решения каждый раз заканчивались ничем. Ферма пришел к выводу, что целочисленных решений для любого из следующих уравнений нет:

x³ + y³ = z³

x^4 + y^4 = z^4

x^5 + y^5 = z^5

x^6 + y^6 = z^6

xn + yn = zn, где n > 2

Однако в конце концов Ферма совершил прорыв. Он не нашел множества чисел, которые стали бы решением одного из этих уравнений, но зато сформулировал доказательство того, что такого решения не существует, и в связи с этим набросал на полях «Арифметики» пару интригующих предложений на латыни. Начав с утверждения о том, что целочисленных решений любого из бесконечного множества упомянутых выше уравнений нет, затем он уверенно прибавил: «Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet» («Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него»).

Пьер Ферма нашел доказательство, но не удосужился его записать. Пожалуй, это самая удручающая запись за всю историю математики, особенно учитывая тот факт, что Ферма унес свой секрет в могилу.

Впоследствии сын Ферма Клемент-Самуэль обнаружил отцовский экземпляр «Арифметики» и обратил внимание на эту интригующую заметку на полях. Кроме того, он нашел в книге еще много ценных записей, ведь Ферма имел привычку, заявив об очередном доказательстве, редко записывать его. Клемент-Самуэль решил опубликовать новую редакцию «Арифметики» со всеми заметками своего отца, сделанными на полях первого издания, и она вышла в 1670 году. Это оживило математическое сообщество, пробудив у его представителей острое желание найти отсутствующие доказательства, связанные с каждым заявлением Ферма. И, надо сказать, постепенно они подтвердили правоту Ферма во всех случаях, кроме одного. Никто не смог доказать, что уравнение xn + yn = zn (n > 2) не имеет решений. В итоге его назвали «последняя теорема Ферма», поскольку оно было единственным, остающимся недоказанным.

Шли десятилетия, а теорема Ферма так и оставалась загадкой, над решением которой бились многие математики, считая это делом чести. Например, немецкий промышленник Пауль Вольфскель, умерший в 1908 году, завещал 100 000 марок (в наше время эта сумма эквивалентна 1 миллиону долларов) в качестве вознаграждения тому, кто все же расколет этот крепкий орешек. По некоторым свидетельствам, Вольфскель не выносил свою жену и других членов семьи, поэтому его завещание должно было унизить их и воздать должное математике – предмету, который он обожал. Другие утверждают, что премия стала способом выражения благодарности Ферма за то, что в период, когда Вольфскель был на грани самоубийства, увлеченность этой теоремой наполнила его жизнь смыслом.

Какими бы ни были мотивы, премия Вольфскеля привлекла к теореме всеобщее внимание, и со временем она даже стала частью массовой культуры. В рассказе The Devil and Simon Flagg («Саймон Флэгг и дьявол»), написанном Артуром Порджесом в 1954 году, титульный герой заключает с дьяволом фаустовский договор. Единственная надежда Саймона Флэгга на спасение души – задать дьяволу вопрос, на который тот не сможет ответить, поэтому он предлагает доказать последнюю теорему Ферма. Признав свое поражение, дьявол говорит: «Вы знаете, даже лучшие математики других планет – а они намного опередили вас – не добились решения. Эх, один малый на Сатурне, чем-то напоминающий гриб на ходулях, решает в уме дифференциальные уравнения в частных производных. Но тут и он спасовал»[11].

Последняя теорема Ферма упоминается также в романах (таких как The Girl Who Played with Fire[12]), художественных фильмах (например, Bedazzled[13] с участием Брендана Фрейзера и Элизабет Херли) и спектаклях («Аркадия» Тома Стоппарда). Пожалуй, самый известный пример – ее появление в 1989 году в сериале «Звездный путь: следующее поколение», когда в эпизоде «Отель “Рояль”» капитан Жан-Люк Пикар говорит о теореме Ферма как о «загадке, которую мы можем никогда не разгадать». Однако он ошибался, а его сведения устарели, потому что действие эпизода происходит в XXIV веке, а теорему в 1995 году доказал Эндрю Уайлс из Принстонского университета[14].

Уайлс мечтал решить теорему Ферма с десяти лет. Он был одержим этой идеей на протяжении трех десятилетий, а последние семь лет работал в обстановке полной секретности и в конце концов предоставил доказательство того, что уравнение xn + yn = zn (n > 2) не имеет решений. Когда его опубликовали, оказалось, что оно занимает 130 страниц плотного математического текста. Это интересно отчасти потому, что иллюстрирует огромный масштаб достижения Уайлса, а еще потому, что его логические рассуждения слишком сложны, чтобы ими можно было оперировать в XVII столетии. В действительности Уайлс использовал столько современных инструментов и методик, что его доказательство теоремы Ферма не может быть тем подходом, который имел в виду сам Ферма.

Именно этот момент упоминался в 2010 году в телесериале BBC «Доктор Кто». В эпизоде «Одиннадцатый час» Мэтт Смит дебютирует в качестве регенерированного одиннадцатого Доктора, который должен доказать свою компетентность группе гениев, чтобы убедить их в необходимости принять его совет и спасти мир. Увидев, что эксперты уже готовы ему отказать, Доктору Кто говорит: «Да, я знаю, вы должны меня отключить, но прежде взгляните на это. Теорема Ферма. Доказательство. Я имею в виду – настоящее. Его никогда еще не видели». Другими словами, Доктор неявно признает факт существования доказательства Уайлса, но совершенно обоснованно не принимает его в качестве доказательства Пьера Ферма, которое считает «настоящим». Возможно, Доктор вернулся в XVII век и получил его у самого Ферма.

Итак, давайте подытожим. В XVII столетии Пьер Ферма утверждает, что у уравнения xn + yn = zn (n > 2) нет решения в целых числах. В 1995 году Эндрю Уайлс находит этому доказательство и подтверждает заявление Ферма. В 2010 году Доктор Кто раскрывает настоящее доказательство Ферма. Все сходятся во мнении, что данное уравнение не имеет решений.

Таким образом, в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» Гомер как будто бросает вызов величайшим умам четырех столетий. Ферма, Уайлс и даже Доктор Кто считают, что уравнение Ферма нерешаемо, но Гомер все же пишет на доске следующее:

3987¹² + 4365¹² = 4472¹²

Вы можете проверить это уравнение сами с помощью калькулятора. Возведите число 3987 в двенадцатую степень. Прибавьте 4365 в двенадцатой степени. Возьмите корень двенадцатой степени из результата – и получите число 4472.

Во всяком случае именно такое число выдаст калькулятор, экран которого рассчитан только на десять разрядов. Однако если у вас есть более точный калькулятор, отображающий двенадцать или более цифр, то вы увидите иной ответ. Фактическое значение третьего члена уравнения ближе к следующему значению:

3987¹² + 4365¹² = 4472,0000000070576171875¹²

Так что же происходит? Уравнение Гомера – это так называемое самое близкое решение уравнения Ферма. То есть числа 3987, 4365 и 4472 очень близки к тому, чтобы удовлетворять уравнению Ферма, причем настолько близки, что погрешность практически незаметна. Тем не менее в математике решение либо есть, либо его нет. Самое близкое решение – это, по большому счету, вообще не решение, а значит, последняя теорема Ферма так и остается неопровергнутой.

Дэвид Коэн включил эту математическую шутку в сценарий в расчете на тех зрителей, которые оказались достаточно внимательными, чтобы заметить уравнение, и достаточно осведомленными, чтобы понять связь с теоремой Ферма. Доказательство Уайлса было опубликовано за три года до выхода этого эпизода в эфир в 1998 году, так что Коэн прекрасно знал, что теорему Ферма удалось одолеть. В каком-то смысле он даже имел к этому отношение, поскольку во время учебы в Калифорнийском университете в Беркли посещал лекции Кена Рибета, а именно Рибет предоставил Уайлсу важнейший инструмент для доказательства теоремы Ферма.

Безусловно, Коэну было известно, что теорема Ферма не имеет решений, но он хотел отдать дань уважения Пьеру де Ферма и Эндрю Уайлсу, отыскав настолько близкое к правильному решение, что оно проходило тест на простом калькуляторе. Для того чтобы найти это псевдорешение, Коэн написал компьютерную программу, которая анализировала значения x, y и z до тех пор, пока не отыскала максимально точное решение из возможных. В конце концов Коэн остановился на уравнении 3987¹² + 4365¹² = 4472¹², так как погрешность была мизерной: левая часть уравнения всего на 0,000000002 процента больше правой части.

Как только эпизод вышел в эфир, Коэн начал просматривать интернет-форумы в поисках информации о том, заметил ли кто-нибудь его шутку. И со временем нашел сообщение, в котором было сказано: «Я знаю, что это, по всей видимости, опровергает теорему Ферма, но я проверил эти цифры на калькуляторе, и они оказались правильными. Что, черт возьми, здесь происходит?»

Коэн был рад, что начинающих математиков во всем мире заинтриговал этот математический парадокс: «Я был просто счастлив, поскольку стремился получить решение, достаточно точное, чтобы калькуляторы сказали людям, что это уравнение работает».

Дэвид Коэн очень гордится своей доской в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи». В действительности все интересные фрагменты, которые он включил в «Симпсонов» за эти годы, доставляют ему огромное удовлетворение: «Я получаю от этого настоящее удовольствие. Работая на телевидении, вполне можно не испытывать гордости за то, что вы делаете, потому что это способствует моральному разложению общества. Поэтому когда мы получаем возможность повысить уровень дискуссии (в частности, прославить математику), это компенсирует те дни, когда я пишу примитивные шутки».

Глава 4

Загадка математического юмора

Как и следовало ожидать, многие авторы «Симпсонов» из числа математиков очень любят головоломки. Естественно, эта любовь нашла свое отражение в различных эпизодах мультсериала.

Например, самая известная в мире головоломка кубик Рубика появляется в эпизоде «Гомер угадал» (Homer Defined, сезон 3, эпизод 5; 1991 год). Действие в нем происходит в 1980 году, когда кубик Рубика впервые вывезли за пределы Венгрии, а молодой Гомер проходит тренинг по вопросам ядерной безопасности. Вместо того чтобы внимательно слушать рекомендации инструктора по поводу того, что делать в случае расплавления ядерных топливных элементов реактора, он сосредоточился на новом кубике и перебирает некоторые из 43 252 003 274 489 856 000 вариантов, для того чтобы найти решение.

Кубик Рубика присутствует также в эпизодах «Ураган Нэдди» (Hurricane Neddy, сезон 8, эпизод 8; 1996 год) и «ГОМР» (HOMR, сезон 12, эпизод 9; 2001 год). А в эпизоде «Толстяк Донни» (Donnie Fatso, сезон 22, эпизод 9; 2010 год) Мо Сизлак даже использует его в качестве угрозы. Будучи владельцем бара «У Мо» и одновременно барменом, Мо постоянно становится мишенью для розыгрышей Барта, который звонит в бар и просит позвать к телефону людей с вымышленными и неприличными именами. Это вынуждает Мо громко, на весь бар, озвучивать эти имена, из-за чего у него получается примерно следующее: «Кто-нибудь видел мою большую задницу?» («Has anyone seen Maya Normousbutt?» звучит как «Has anyone seen my enormous butt?») или «Эй, парни, мне нужен мужик, чтобы целовать и обнимать!» («Hey, I’m looking for Amanda Hugginkiss» звучит как «Hey, I’m looking for a man to hugg and kiss»). Эпизод «Толстяк Донни» еще примечателен тем, что один звонок Мо оказался не розыгрышем и его сделал не Барт. Мо позвонил Энтони Д’Амико, глава пользующегося дурной славой мафиозного клана Д’Амико. Жирный Тони (так его прозвали друзья и враги) просто хотел узнать, есть ли в баре его русский друг Юрий Натор. Но Мо, решив, что это очередной розыгрыш Барта, совершает ошибку и угрожает звонящему: «Эй ты, чокнутый, я порублю тебя на кусочки и сделаю из тебя кубик Рубика, который никогда не смогу собрать!»

Более древняя головоломка появляется в эпизоде «Вперед, Мэгги, вперед» (Gone Maggie Gone, сезон 20, эпизод 13; 2009 год), который отчасти является пародией на роман Дэна Брауна «Код да Винчи»[15]. Действие эпизода начинается с солнечного затмения, а заканчивается открытием драгоценного камня Святой Терезы Авильской и разворачивается вокруг идеи о том, что Мэгги – это новый мессия. С точки зрения любителя головоломок самая интересная сцена эпизода связана с Гомером, который оказывается на берегу реки со своей дочкой Мэгги, собакой по имени Маленький Помощник Санты и большой банкой с капсулами яда. Гомеру крайне необходимо перебраться через реку. У него есть лодка, но она очень хрупкая и может перевезти только Гомера и еще что-то одно за один раз. Безусловно, Гомер не может оставить Мэгги на берегу вместе с ядом, поскольку ребенок может случайно проглотить капсулу. Не может он оставить с Мэгги и Маленького Помощника Санты, потому что тот может укусить ребенка. Следовательно, задача Гомера – найти такую последовательность действий, которая бы позволила ему благополучно перевезти всех и все на другой берег.

Когда Гомер начинает размышлять над тем, как выйти из сложившегося положения, кадр меняется и проблема излагается в стиле средневековой рукописи, сопровождаемой словами: «Задача первая: как дурак с тремя ношами переправится через реку?» Это отсылка к средневековому манускрипту на латыни под названием Propositiones ad Acuendos Juvenes («Задачи для развития юного ума»), в котором содержится первое упоминание о такой задаче. Этот манускрипт – замечательный сборник из более чем пятидесяти математических головоломок, составленный Алкуином Йоркским, самым образованным, по мнению многих, человеком в Европе VIII столетия.

Алкуин размещает в своем сборнике задачу, аналогичную дилемме, вставшей перед Гомером, но формулирует ее с точки зрения человека, который перевозит волка, козу и капусту и должен сделать так, чтобы волк не съел козу, а коза не съела капусту. По сути, волк – это эквивалент Маленького Помощника Санты, коза играет ту же роль, что и Мэгги, а капуста занимает место яда.

Гомер решает сделать так: сначала переправиться на другой берег с Мэгги, оставить ее там и вернуться за ядом, затем снова переправиться на другой берег, оставить там яд и опять вернуться обратно, прихватив с собой Мэгги, так как ее нельзя оставлять возле яда. После этого перевезти Маленького Помощника Санты, а Мэгги пока оставить на первом берегу, а затем возвратиться и за ней. В итоге он справляется с задачей: благополучно перевозит всех и все через реку.

К сожалению, Гомеру не удалось полностью реализовать свой план, поскольку когда в конце первого этапа он оставил Мэгги у крыльца монастыря, ее тут же забрала монахиня. Этого Алкуин предусмотреть в своей исходной схеме решения задачи не мог.

В одном из предыдущих эпизодов сериала под названием «Лиза Симпсон» (Lisa the Simpson, сезон 9, эпизод 17; 1998 год) головоломка играет еще более важную роль, поскольку лежит в основе всей его сюжетной линии. История начинается со школьной столовой, где Лиза сидит напротив Мартина Принса – пожалуй, самого одаренного юного математика Спрингфилда. В действительности Мартин воспринимает жизнь сквозь призму математики, как показано в эпизоде «Барт получает двойку» (Bart Gets an F, сезон 2, эпизод 1; 1990 год), в котором Барт временно дружит с Мартином и дает ему совет: «С этого момента ты будешь сидеть сзади, и не только в автобусе. Также в школе и в церкви… Чтобы никто не видел, чем ты занимаешься». После этого Мартин перефразирует слова Барта в математических терминах: «Вероятность озорства находится в обратно пропорциональной зависимости от близости к облеченным властью!» Он даже набрасывает уравнение, описывающее мудрое изречение Барта, где M означает вероятность озорства, а PA – близость к человеку, наделенному властью.

В школьной столовой Мартин проявляет интерес к обеду Лизы, который представляет собой не обычную еду из столовой, а обед в вакуумной упаковке с рисунками на космическую тематику. Когда Лиза поднимает пакет и объясняет, что «такую пищу ест Джон Гленн, если он не в космосе», Мартин замечает на тыльной стороне пакета головоломку. Задача состоит в том, чтобы найти следующий символ в такой последовательности:

Мартин мгновенно решает головоломку, но Лиза оказывается в тупике. Она все больше и больше расстраивается по мере того, как сидящие вокруг нее ученики, в том числе Барт, заявляют, что готовы назвать следующий символ в последовательности. Создается впечатление, что все могут решить головоломку… кроме Лизы. В итоге девочка всю оставшуюся часть эпизода ставит под сомнение свои умственные способности и научную судьбу. К счастью, вам не придется испытывать таких эмоциональных потрясений. Я предлагаю вам минутку поразмышлять над головоломкой, а затем взглянуть на ответ, представленный ниже.

Головоломка на пакете Лизы заслуживает особого внимания, потому что она помогла укрепить математическую основу мультсериала и сыграла важную роль в привлечении нового математика в команду его авторов. Джей Стюарт Бернс изучал математику в Гарварде, после чего поступил в Калифорнийский университет в Беркли, чтобы получить степень доктора наук. Темой докторской диссертации Бернса должна была стать алгебраическая теория чисел или топология, но он отказался от этой идеи и получил степень магистра вместо степени доктора наук. Причиной преждевременного ухода Бернса из Беркли стало предложение о работе от продюсеров комедийного телесериала Unhappily Ever After («Несчастливы вместе»). Бернс всегда втайне мечтал о карьере сценариста телевизионных комедий, и это был его звездный час. Вскоре Бернс подружился с Дэвидом Коэном, и тот пригласил его в офис «Симпсонов» на вычитку сценария одного из эпизодов, которым как раз и оказался эпизод «Лиза Симпсон». По мере раскрытия сюжета, в том числе сцены с головоломкой, у Бернса формировалось ощущение, что именно здесь его место – рядом с Коэном и другими авторами «Симпсонов» из числа математиков. Когда Бернс работал в сериале «Несчастливы вместе», его считали гиком с дипломом магистра. Напротив, когда он присоединился к команде «Симпсонов», его магистерская степень перестала быть исключением. И навешенный на него ярлык ботаника сменила слава специалиста по тонкому юмору.

Хотя Дэвид Коэн не может вспомнить, кто именно предложил головоломку из эпизода «Лиза Симпсон», но первые наброски сделал он. Эта головоломка почти в таком же виде, как в эпизоде, отображена в нижней строке страницы с рисунками. Для того чтобы решить задачу, необходимо обратить внимание на то, что правая и левая половины каждого символа представляют собой зеркальное отображение друг друга. Правая часть первого символа – это цифра 1, а левая – ее зеркальное отображение. Правая часть второго символа – цифра 2, а левая – ее отображение. То же самое касается третьего, четвертого и пятого символов, а значит, шестым символом должна быть цифра 6 вместе со своим зеркальным отображением.

Верхняя строка говорит о том, что Коэн планировал использовать последовательность цифр 3, 6 и 9, но отбросил эту идею, вероятно, потому, что четвертый элемент последовательности (12) состоял бы из двух цифр. Средняя строка, в которой показана последовательность цифр 1, 4, 2 и 7, тоже не нашла поддержки, так как не совсем понятно, каким был бы ее пятый элемент, а сам Коэн уже не помнит, что он имел в виду.

Фотографию предоставил Дэвид Коэн

Рассказав мне историю о том, как его взяли в команду «Симпсонов», Бернс провел параллели между головоломками и шутками, заявив, что у них много общего. И головоломка, и шутка представляют собой тщательно продуманную схему; в обоих случаях происходит неожиданный поворот и есть кульминация. В действительности и головоломки, и шутки заставляют вас размышлять и улыбаться в тот момент, когда вы понимаете, в чем дело. Возможно, именно этим отчасти объясняется тот факт, что математики оказались столь ценными членами команды сценаристов мультсериала «Симпсоны» и привнесли в его создание не только любовь к математике, но и новый подход к работе. Бернс и раньше замечал, что его коллеги-нематематики, как правило, предлагают полностью сформированные остроты, созданные в момент вдохновения, тогда как математики из команды «Симпсонов» склонны предлагать спонтанные идеи для шуток, а затем обсуждать их до тех пор, пока не будет найден требуемый вариант.

На такой групповой подход математики полагаются и при создании сюжетных линий. По словам Джеффа Уэстбрука, коллеги Бернса по «Симпсонам» и еще одного экс-математика, подобное стремление к сотрудничеству берет начало в их предыдущей карьере: «Я был теоретиком в области компьютерных наук, а это означало, что мы с коллегами вместе доказывали множество математических теорем. Когда я пришел сюда, то с удивлением обнаружил, что примерно то же самое происходит и в комнате сценаристов, поскольку мы так же сидим и выдвигаем свои идеи. Во всем этом присутствует некая общая творческая нить, помогающая решить задачу. В одном случае это математическая теорема, в другом – поворот сюжета. Нам необходимо разбить сюжет на составляющие и проанализировать его развитие. О чем вообще идет речь в этой истории?»

Взяв себе на заметку сказанное Уэстбруком, я начал спрашивать других авторов «Симпсонов», почему, по их мнению, многие сценаристы с математическими наклонностями нашли в сериале свой дом. Как объяснил Дэвид Коэн, потому что они более уверенно и комфортно себя чувствуют в ходе исследования чего-то неизведанного, вооружившись только интуицией: «Процесс доказательства чего-то сродни процессу написания сценария для комедии, поскольку в обоих случаях вы не можете быть уверены, что достигнете конечной цели. Когда вы пытаетесь придумать шутку из ничего (при этом она должна отражать определенную тему или рассказывать определенную историю), нет никаких гарантий, что таковая вообще существует, к тому же будет смешной и поможет вам реализовать задуманное. Точно так же, когда вы пытаетесь доказать что-то в математике, велика вероятность, что это просто недоказуемо. Безусловно, достаточно велика вероятность и того, что нет доказательства, доступного человеческому пониманию. В обоих случаях (поиска шутки и доказательства теоремы) интуиция подсказывает вам, стоят ли ваши усилия потраченного времени».

Коэн добавил, что математическая подготовка помогает обрести ту интеллектуальную выносливость, которая так необходима для написания сценария эпизода «Симпсонов»: «Кажется, что все это легко и весело, а нам порой приходится долго биться головой о стену. Мы пытаемся рассказать сложную историю за короткий промежуток времени; при этом возникает множество логических проблем, требующих решения. Это большая головоломка. Трудно убедить кого-либо в том, что создание сериала сопряжено с болью и страданиями, ведь конечный продукт получается весьма динамичным и беззаботным. Любой момент процесса написания сценария может быть безумно увлекательным и одновременно изматывающим».

Для того чтобы узнать еще одну точку зрения, я поговорил с Мэттом Селманом, который, прежде чем присоединиться к команде авторов «Симпсонов», изучал английский язык и историю. Он позиционирует себя как человека с минимальными математическими знаниями. Когда я его спросил, почему «Симпсоны» столь привлекательны для любителей математики, он согласился с утверждением Коэна, что сценарий – это та же головоломка, а сложные эпизоды – настоящий «сжигатель мозга». Кроме того, по мнению Селмана, сценаристам-математикам свойственна одна особая черта: «Все комедийные сценаристы считают, что они – великие знатоки человеческих душ, и как никто другой понимают их чувствительность, сентиментальность и остальные «-альности». Если вы хотите выставить математиков в невыгодном свете, можете сказать, что они холодны и бессердечны и не умеют создавать замечательные зарисовки о том, что значит любить и терять, но я с этим не согласен. Тем не менее разница все же есть. Думаю, математический склад ума больше всего пригоден для написания шуток, потому что в основе математики лежит логика. Чем логичнее вы рассуждаете, тем интереснее вам искажать и трансформировать эту логику. Мне кажется, что человек с логическим складом ума находит настоящий юмор в отсутствии логики».

Майк Рейсс, который работал над созданием самого первого эпизода «Симпсонов», согласен: «Существует слишком много ошибочных теорий в отношении юмора. Вы когда-либо слышали, что пишет о юморе Фрейд? Так вот, он совершенно неправ. Но я понимаю, что многие шутки основаны на ложной логике. Приведу пример. Утка заходит в аптеку и говорит: “Будьте добры, дайте мне гигиеническую губную помаду”. Аптекарь спрашивает: “Вы будете платить наличными?” Утка отвечает: “Нет, запишите помаду на мой клюв”[16]. Так вот, если бы комедия была построена на абсурдности, то смешно было бы уже то, что утка заходит в аптеку. Но дело не в абсурдности, а в обманчивой логике – именно она сводит воедино все разрозненные элементы этой истории».

Хотя авторы «Симпсонов» называют разные причины того, почему математический склад ума так подходит для написания комедий, без ответа остается один важный вопрос: почему все эти математики работают в сериале «Симпсоны», а не, скажем, 30 Rock («Студия 30», или «30 потрясений») или Modern Family («Американская семейка»)?

Эл Джин считает, что между математикой и другими точными науками примерно такая же разница, как между игровым кино и анимацией: «Думаю, игровые телевизионные фильмы похожи на экспериментальную науку, поскольку актеры играют свои роли так, как хотят, и вам приходится приспосабливаться к их видению. Напротив, анимация больше напоминает чистую математику, потому что вы держите под контролем все нюансы сценария, развития сюжета и т. д. Мы действительно можем контролировать абсолютно все. Анимация – это вселенная математики».

* * *

Математика лежит в основе некоторых любимых шуток Майка Рейсса: «Я люблю такие шутки. Я буквально смакую их. Вот сейчас вспомнил одну замечательную шутку, услышанную еще в детстве. Она о парнях, которые купили целый грузовик арбузов по доллару за штуку, а затем начали ездить по городу и продавать их по доллару за штуку. В конце дня они поняли, что так ничего и не заработали, и один из них сказал: “Надо было брать грузовик повместительнее”»[17].

Небольшой рассказ Рейсса – часть давней традиции математических шуток, которые бывают самыми разными, от тривиальных в одну строку до замысловатых историй. Такие шутки многим могут показаться довольно странными, и они действительно не входят в тот репертуар, с которым обычно выступают эстрадные комики. Но тем не менее они представляют собой достаточно большую часть математической культуры.

Я впервые познакомился с утонченной математической шуткой еще в подростковом возрасте, когда читал книгу Иэна Стюарта Concepts of Modern Mathematics («Концепции современной математики»[18]). Вот эта шутка:

Астроном, физик и математик проводили отпуск в Шотландии. Любуясь пейзажем из окна поезда, они увидели посреди поля черную овцу. «Как интересно, – заметил астроном, – в Шотландии все овцы черные!» На что физик ответил: «Нет, нет. Некоторые шотландские овцы черные!» Математик долго смотрел с мольбой в небеса, а затем произнес: «В Шотландии есть минимум одно поле, содержащее минимум одну овцу, минимум один бок которой черный».

На протяжении следующих семнадцати лет я хранил эту историю где-то в дальних уголках своей памяти, а затем включил в свою первую книгу, в которой шла речь о теореме Ферма и ее доказательстве. Эта шутка была идеальной иллюстрацией строгой природы математики. На самом деле мне так понравилась история о черной овце, что я часто рассказывал ее во время лекций, после которых слушатели нередко подходили ко мне и делились своими байками о числе π, бесконечности, абелевых группах и лемме Цорна.

Мне стало интересно, что еще вызывает смех у моих коллег-технарей, и я попросил их прислать мне по электронной почте свои любимые математические шутки. На протяжении десяти лет я получал неизменный поток комедийных историй в стиле ботаников, от унылых каламбуров до забавных анекдотов. Одна из моих любимых историй – об отце кибернетики, математике Норберте Винере. Впервые ее записал историк математики Говард Ивс (1911–2004):

Когда Винер с семьей переехал в новый дом, расположенный в нескольких кварталах от старого, его жена, зная о рассеянности мужа, дала ему памятку, в которой рассказывалось, как добраться до этого дома. Но когда в конце дня Винер собрался домой, он не смог вспомнить, ни где лежит инструкция, ни где находится новый дом. В итоге он отправился к своему старому дому. Там он увидел маленькую девочку и спросил ее: «Девочка, а ты случайно не знаешь, куда переехали Винеры?» «Да, папочка, знаю, – последовал ответ, – мама сказала, что ты наверняка будешь здесь, и послала меня показать тебе дорогу домой».

Впрочем, анекдоты об известных математиках, а также шутки, в основе которых лежат стереотипные характеристики математиков, позволяют получить весьма ограниченное представление о природе этой науки. Кроме того, они могут стать однообразными и скучными, как показано в следующей известной пародии:

Инженер, физик и математик оказались в анекдоте, причем очень похожем на те, которые вы, без сомнения, уже слышали. После некоторых наблюдений и приближенных вычислений инженер осознает сложившуюся ситуацию и начинает смеяться. Через несколько минут физик тоже все понимает и радостно хихикает, потому что теперь у него достаточно экспериментальных данных, чтобы опубликовать работу. Все это приводит математика в недоумение, поскольку он сразу заметил, что стал объектом анекдота и на основании подобных анекдотов быстро пришел к выводу, что и в этом присутствует юмор, но считает, что этот анекдот слишком тривиален, чтобы быть значимым, не говоря уже о том, чтобы быть смешным.

Тем не менее существует немало шуток, юмор в которых основан на реальном языке и инструментах математики. Например, есть одна известная шутка, которая, по всей видимости, родилась во время экзамена с участием озорного студента по имени Питер Уайт из Нориджа (Англия). Вопрос в экзаменационном билете состоял в том, чтобы раскрыть скобки в выражении (a + b)n. Если вы никогда не сталкивались с подобным заданием, тогда вам необходимо знать только то, что оно касается бинома Ньютона, а правильный ответ должен гласить, что r-й член разложения в ряд имеет коэффициент n!/[(r − 1)!(n − r + 1)!]. Это сугубо специальный ответ, но Питер совершенно по-другому истолковал вопрос (англ. expand имеет несколько значений, в том числе раскрыть и расширить. Прим. перев.), что вдохновило его на такое решение:

Впечатляющая трактовка Питера заставила меня задуматься. Создание математической остроты требует понимания математики, а для того чтобы оценить эту шутку, необходим аналогичный уровень знаний. Следовательно, математические шутки – это проверка ваших знаний математики.

Взяв себе это на заметку, я собрал лучшие математические шутки мира, классифицировал их по степени сложности и разделил на пять экзаменационных билетов, которые распределил по всей книге. Продолжая исследовать присутствующий в «Симпсонах» математический юмор, вы столкнетесь со все более сложными экзаменационными билетами. Ваша задача – прочитать шутки и отметить, какие из них вызвали у вас смех (или стон). Это позволит вам оценить уровень своих математических знаний и чувства юмора.

Вы можете перевернуть свой экзаменационный билет… прямо сейчас!

Удачи!

ЭКЗАМЕН ПО АРИФМЕТИКЛЕ И ГЕОМЕТИХИХИ

Состоящий из пяти частей тест на чувство юмора и математические знания

Экзамен разделен на пять отдельных частей.

Первый раздел – это простейший тест на наличие чувства юмора и математических знаний, состоящий из восьми простых шуток[19].

Уровень сложности следующих разделов повышается.

Выставьте себе оценку исходя из количества случаев, когда шутка вызывает у вас смех (или стон).

Если вы набрали более 50 процентов баллов, значит, вы успешно сдали соответствующую часть экзамена.

ЭКЗАМЕН I

ЭКЗАМЕН НА УРОВНЕ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Шутка 1

Вопрос: Что число 0 сказало числу 8?

Ответ: Красивый пояс!

2 балла

Шутка 2

Вопрос: Почему 5 съело 6?

Ответ: Потому что 7 съело 9. (Англ. seven, eight, nine созвучно с seven ate nine.)

2 балла

Шутка 3

– Тук-тук.

– Кто там?

– Выпуклый многогранник.

– Выпуклый кто?

– Выпуклый, который идет в тюрьму!

(Англ. prison созвучно с prism, т. е. с призмой.)

3 балла

Шутка 4

– Тук-тук.

– Кто там?

– Призма.

– Призма какая?

– Та, в которую идет выпуклый многогранник!

3 балла

Шутка 5

Учитель: «Чему равно семь Q плюс три Q?»

Ученик: «Десять Q». (Англ. ten Q, созвучно с thank you, т. е. «спасибо».)

Учитель: «Пожалуйста».

3 балла

Шутка 6

Вождь племени чероки имел три жены, каждая из которых была беременна. Первая скво родила мальчика, и вождь пришел в такой восторг, что построил ей вигвам из шкуры буйвола. Через несколько дней родила вторая жена, и тоже мальчика. Вождь был очень счастлив и построил ей вигвам из шкуры антилопы. Через несколько дней родила и третья жена, но вождь сохранил подробности в тайне.

Он построил для третьей жены вигвам из шкуры бегемота и поставил перед членами своего племени задачу: определить детали рождения этого ребенка. Тот, кто правильно решит задачу, получит приз. Несколько человек попытались разгадать секрет, но безуспешно. В конце концов один молодой и храбрый воин вышел вперед и заявил, что третья жена родила близнецов. «Верно! – воскликнул вождь. – Но как ты догадался?»

«Все просто, – ответил воин. – Стоимость жены бегемота равна сыновьям жен двух других шкур». (Англ. squaw («жена») созвучно со словом square – «квадрат». Эта шутка на английском языке фонетически очень похожа на формулировку теоремы Пифагора.)

В других версиях шутки 6 другая концовка. Тот, кто улыбнется, прочитав обе концовки, получит дополнительные баллы.

4 балла

Шутка 7

«Доля музы с повышенным давлением равна сумме долей двух других невест». (Англ. hypertense muse («муза с повышенным давлением») созвучно со словом «гипотенуза».)

2 балла

Шутка 8

«Оруженосец с высоко подвешенным котелком и арканом равен сумме оруженосцев двух других сторон». (Англ. high pot and noose («высоко подвешенный котелок и аркан») созвучно со словом «гипотенуза»; англ. squire («оруженосец») созвучно со словом square – «квадрат».))

2 балла

Всего – 20 баллов

Глава 5

Теория шести рукопожатий

Во время приезда в Лос-Анджелес в октябре 2012 года мне посчастливилось попасть на вычитку следующего эпизода «Симпсонов» – «Четыре сожаления и одни похороны» (Four Regrettings and a Funeral, сезон 25, эпизод 3). Обычно во время такой вычитки актеры, которые озвучивают персонажей, полностью прочитывают сценарий с тем, чтобы устранить все проблемы и утвердить его окончательный вариант, прежде чем передавать художникам-мультипликаторам. Мне было очень странно видеть, как Ярдли Смит читает текст голосом маленькой Лизы. Такой же когнитивный диссонанс я испытал, услышав, как столь знакомые за многие годы просмотра «Симпсонов» интонации и тембр голоса Гомера, Мардж и Мо Сизлака звучат в исполнении Дэна Кастелланеты, Джули Кавнер и Хэнка Азариа.

В эпизоде «Четыре сожаления и одни похороны» есть много чего интересного, но, к сожалению, нет математических ссылок. Тем не менее в тот же день мне дали предварительный сценарий еще одного, следующего эпизода под названием «Сага о Карле» (The Saga of Carl, сезон 24, эпизод 21), в котором была целая сцена, посвященная математической вероятности.

Действие эпизода «Сага о Карле» начинается с того, что Мардж оттаскивает членов своей семьи от телевизора и везет всех в Научный музей Спрингфилда, где они смотрят видео об отце теории вероятности Блезе Паскале (1623–1662), а также экспериментальную демонстрацию теории вероятности с помощью так называемой доски Гальтона, представляющей собой ящик с прозрачной передней стенкой и штырями, забитыми в заднюю стенку. Через отверстие в его верхней части скатываются шарики, которые сталкиваются со штырьками и в случайном порядке отскакивают либо направо, либо налево, после чего сталкиваются со штырьками следующего ряда, и опять же отскакивают от них в случайном порядке. В итоге шарики собираются на дне ящика, разделенном на отсеки по количеству штырьков в нижнем ряду. При этом шарики падают в разные отсеки так, что образованные ими столбики соответствуют кривой одновершинного распределения.

Доска Гальтона названа по имени английского изобретателя, ученого-энциклопедиста Фрэнсиса Гальтона (1822–1911). Шары подаются в отверстие в верхней части ящика, отскакивают от штырьков и падают на дно, где образуют так называемое биномиальное распределение. Одна из версий этого классического эксперимента с теорией вероятности присутствует в эпизоде «Сага о Карле»

Имея на руках только сценарий, я не мог знать, как именно доску Гальтона планировали представить на экране. Единственное, в чем я был уверен, так это в том, что одновершинное распределение будет математически точным, поскольку один из сценаристов объяснил мне, что эта тема обсуждалась на совещании по поводу внесения изменений в сценарий. По словам Джеффа Уэстбрука, между ним и несколькими математиками из команды сценаристов сериала разгорелся спор о том, каким именно уравнением было бы корректно описывать распределение шариков, тогда как остальные члены команды молчали, в изумлении уставившись на них. «Мы активно обсуждали, какое распределение здесь имеет место, гауссовское или пуассоновское, – вспоминал Уэстбрук. – В конце концов я решил, что все зависит от того, как моделировать сам эксперимент. При этом остальные, похоже, откровенно скучали и закатывали глаза».

Уэстбрук изучал физику в Гарварде, а затем получил диплом доктора наук в области теории вычислительных систем в Принстонском университете. Его руководителем был Роберт Тарьян, всемирно известный ученый, лауреат премии Тьюринга 1986 года – аналога Нобелевской премии в сфере информационных технологий. После получения степени доктора наук Уэстбрук пять лет работал адъюнкт-профессором Йельского университета, после чего перешел в AT&T Bell Laboratories. Однако помимо статистики и геометрии Уэстбрук очень любил каламбуры и эксцентричные комедии, поэтому со временем ушел из научно-исследовательской среды и направился на запад, в Лос-Анджелес.

Мама Уэстбрука, всегда мечтавшая, чтобы ее сын стал ученым, поначалу называла такой шаг «абсолютным преступлением». Уэстбрук считает, что его отец-математик думал так же, но был слишком воспитан, чтобы это озвучить. Коллеги тоже не поддержали его. Уэстбрук до сих пор помнит последние слова своего босса из AT&T Bell Laboratories: «Я понимаю, почему вы это делаете. Надеюсь, вы не добьетесь успеха, потому что я хотел бы, чтобы вы вернулись и работали здесь».

Когда я узнал об уровне образования Уэстбрука, мне стало интересно, является ли он самым квалифицированным математиком среди сценаристов «Симпсонов». Безусловно, он высоко поднялся по академической лестнице, но, может, другие сценаристы написали больше научных работ или сотрудничали с большим числом математиков? В поисках критерия математического совершенства я понял, что один из способов определить рейтинг сводится к применению метода, основанного на теории шести рукопожатий.

В ее основе лежит идея о том, что каждый человек в мире отделен от любого другого человека максимум шестью уровнями общих знакомых. Например, я наверняка знаю кого-то, кто знает еще кого-то, кто знает еще кого-то, кто знает еще кого-то, кто знает кого-то, кто знает вас. Это самая общая и наиболее известная версия теории шести рукопожатий, но ее можно применить и к конкретным сообществам, например математическому. Следовательно, теория шести рукопожатий может помочь вычислить того, кто имеет широкие связи в мире математики, а значит, может обладать самым высоким уровнем математической подготовки. Хотя это не идеальный показатель, он позволяет получить довольно интересную информацию.

Математическая версия теории шести рукопожатий – это шесть рукопожатий до Пала Эрдеша, или просто число Эрдеша (по имени математика Пала Эрдеша, 1913–1996). Задача – найти связь между тем или иным математиком и Эрдешем, а затем составить рейтинг математиков, расположив их по уровню связей (от самых сильных до самых слабых) с Эрдешем. Но почему именно Эрдеш считается центром математической вселенной?

Ответ прост: это самый плодовитый математик ХХ столетия. На его счету 1525 научных публикаций, 511 из которых написаны в соавторстве с другими математиками. Столь поразительный результат стал возможен благодаря эксцентричному образу жизни Эрдеша, постоянно переезжающего из одного университетского городка в другой, где он сотрудничал с местными математиками и писал научные работы с каждым из них. На протяжении всей жизни Эрдеш умудрялся уместить все свое имущество в один чемодан, что было очень удобно для математика, кочующего в поисках самых интересных задач и самого плодотворного сотрудничества. Для того чтобы максимизировать свою математическую результативность, Эрдеш подпитывал мозг кофе и амфетаминами и часто повторял фразу, сказанную его коллегой Альфредом Реньи: «Математик – это автомат по переработке кофе в теоремы».

В концепции шести шагов до Пала Эрдеша связи формируются в процессе соавторства, как правило, при написании научных работ по математике. У любого соавтора самого Эрдеша число Эрдеша равно 1. У математиков, которые писали свои работы в соавторстве с соавтором Эрдеша, число Эрдеша равно 2 и т. д. Та или иная цепочка может связать Эрдеша практически со всеми математиками мира, независимо от области их исследований.

Возьмем в качестве примера Грейс Хоппер (1906–1991). Она разработала первый компилятор для языка программирования, способствовала созданию языка программирования COBOL, популяризировала термин «баг» для описания дефекта в программе, после того как в Гарвардском университете нашли мотылька в компьютере Mark II. Хоппер занималась математикой во время работы в промышленных компаниях и службы в Военно-морских силах США. В действительности «удивительную Грейс» повысили в итоге до звания контр-адмирала; а эсминец ВМФ США Hopper был назван в ее честь. В общем, Хоппер придерживалась практичного, технологического, промышленного и военного подхода к математике, который полностью отличался от свойственной Эрдешу пуристской приверженности к числам, и все же у Хоппер число Эрдеша – всего 4. Это объясняется тем, что она публиковала свои работы в соавторстве с Ойстином Оре, под руководством которого защитила докторскую диссертацию. Среди студентов Оре был выдающийся специалист по теории групп Маршалл Холл, соавтор авторитетного британского математика Харольда Давенпорта, который, в свою очередь, публиковал работы в соавторстве с Эрдешем.

Итак, каков же рейтинг Джеффа Уэстбрука с точки зрения числа Эрдеша? Он начал печатать научные статьи во время работы над докторской диссертацией по специальности «Теория вычислительных систем» в Принстонском университете, а в 1989 году защитил дикторскую диссертацию по теме «Алгоритмы и структуры данных для динамических алгоритмов поиска на графах» под руководством Роберта Тарьяна, а также писал с ним в соавторстве научные статьи. Тарьян, в свою очередь, публиковал работы в соавторстве с Марией Кло, которая сотрудничала с Палом Эрдешем. Это обеспечивает Уэстбруку заслуживающее уважения число Эрдеша, равное трем.

Тем не менее это не делает его явным победителем среди сценаристов «Симпсонов». Дэвид Коэн опубликовал работу в соавторстве с Мануэлем Блюмом, еще одним обладателем премии Тьюринга, который был соавтором Нога Алона из Тель-Авивского университета, издавшего несколько работ в соавторстве с Эрдешем. Следовательно, Коэн тоже может претендовать на число Эрдеша, равное трем.

Для того чтобы все же не ставить знак равенства между Коэном и Уэстбруком, я решил исследовать еще одну грань успешного сценариста «Симпсонов», а именно – прочную связь с сердцем голливудской индустрии развлечений. Один из способов определить уровень иерархии, на котором находится тот или иной человек в Голливуде, сводится к применению версии теории шести рукопожатий, известной как шесть рукопожатий до Кевина Бэйкона. Задача состоит в том, чтобы найти так называемое число Бэйкона того или иного человека, связав его с Кевином Бэйконом через актеров, вместе с которыми они оба снимались. Например, у Сильвестра Сталлоне число Бэйкона равно 2, поскольку он снимался в фильме Your Studio and You («Твоя студия и ты», 1995 год) вместе с Деми Мур, а Деми Мур играла в фильме A Few Good Men («Несколько хороших парней», 1992 год) вместе с Кевином Бэйконом.

Так у кого же из членов команды сценаристов сериала «Симпсоны» самое малое число Бэйкона, а значит, и самые большие успехи в Голливуде? Эта честь принадлежит замечательному Джеффу Уэстбруку. Он добился успеха как актер в морском приключенческом фильме Master and Commander: The Far Side of the World («Хозяин морей: На краю земли», 2003 год). Режиссер искал опытного моряка англо-ирландского происхождения для подбора корабельной команды, и Уэстбрук предложил свою помощь, поскольку страстно увлекался мореплаванием и соответствовал этническим требованиям. В итоге он получил в фильме второстепенную роль, а главную играл Рассел Кроу. В данном случае этот факт важен, так как Кроу снимался в фильме The Quick and the Dead («Быстрый и мертвый», 1995 год) вместе с Гэри Синизом, а тот, в свою очередь, играл одну из главных ролей в киноленте Apollo 13 («Аполлон-13», 1995 год), в которой также снимался Кевин Бэйкон. Следовательно, число Бэйкона у Уэстбрука равно 3, что ставит его на второе место после Сталлоне. Короче говоря, у Уэстбрука весьма впечатляющий послужной список в Голливуде.

Таким образом, у Уэстбрука и число Бэйкона, и число Эрдеша равно 3. Их можно объединить в так называемое число Эрдеша-Бэйкона, и оно будет равно 6. Это говорит о наличии у Уэстбрука широких связей как в мире киноиндустрии, так и в мире математики. Хотя мы еще не обсуждали чисел Эрдеша-Бэйкона других сценаристов «Симпсонов», могу вас заверить, что ни у одного из них нет такого показателя. Другими словами, из всей команды голливудских нердов Уэстбрук – самый крутой киношник и самый крутой нерд[20].

* * *

Я впервые узнал о числе Эрдеша-Бэйкона от Дейва Байера, математика из Колумбийского университета. Он был консультантом фильма A Beautiful Mind («Игры разума», 2001 год), снятого по известному роману Сильвии Назар о Джоне Нэше, лауреате Нобелевской премии по экономике 1994 года. В обязанности Байера входила проверка уравнений, которые появлялись на экране; еще он выступал в качестве дублера Рассела Кроу, изображая руку Нэша в сценах у доски. Кроме того, Байер получил роль второго плана в конце картины, в эпизоде, где принстонские профессора математики отдают Нэшу свои ручки в знак признания его великих открытий. Байер с гордостью рассказывал: «В моей сцене, известной как “церемония с ручками”, я говорю: “Поздравляю, профессор”. Я третий профессор, положивший ручку перед Расселом Кроу». Таким образом, Байер участвовал в съемках фильма «Игра разума», так же как и Рэнс Ховард. В свою очередь, Рэнс Ховард играл в фильме «Аполлон-13» вместе с Кевином Бэйконом, а это значит, что у Байера число Бэйкона равно 2.

Дэйв Байер – уважаемый математик, поэтому нет ничего удивительного в том, что у него число Эрдеша равно 2, а число Эрдеша-Бэйкона – 4. Когда в 2001 году фильм «Игры разума» вышел на экраны, у Байера было самое низкое в мире число Эрдеша-Бэйкона. Совсем недавно математик Иллинойского университета Брюс Резник установил новый рекорд – его число Эрдеша-Бэйкона оказалось еще ниже. Он написал в соавторстве с Эрдешем работу под названием «Асимптотическое поведение семейства последовательностей», что дало ему число Эрдеша, равное 1. Не менее впечатляющ и тот факт, что у него была совсем небольшая роль в фильме Pretty Maids All in a Row («Хорошенькие девушки, станьте в ряд», 1971 год), который продюсировал Джин Родденберри, легендарный создатель сериала «Звездный путь». Это фильм ужасов о серийном убийце, высматривающем своих жертв в средней школе Оуншенфронта. Среди актеров, снимавшихся в картине, был Родди Макдауэлл, который играл в фильме The Big Picture («Большая картина», 1989 год) вместе с Кевином Бэйконом. Это дает Резнику число Бэйкона 2, и в результате получается, что его число Эрдеша-Бэйкона равно 3.

Пока что рекордно низкие значения числа Эрдеша-Бэйкона демонстрировали математики, рискнувшие попробовать себя на актерской стезе, однако есть и актеры, которые занимались научными исследованиями и получили в итоге достаточно высокое число Эрдеша-Бэйкона. Один из самых известных примеров – Колин Ферт, путь которого к числу Эрдеша начался во время работы внештатным редактором программы BBC Radio 4 «Сегодня». В рамках одного из проектов программы Ферт попросил нейробиологов Джерейнта Риса и Рету Канаи проанализировать корреляцию между структурой мозга и политическими взглядами, что повлекло за собой дальнейшие исследования; а впоследствии ученые предложили Ферту стать их соавтором в работе под названием «Корреляция между политической ориентацией и структурой мозга у совершеннолетних молодых людей». Хотя Рис – нейробиолог, его число Эрдеша равно 5, поскольку он принимал участие в различных совместных проектах, связывающих его с миром математики. Опубликовав работу в соавторстве с Рисом, Ферт может претендовать на число Эрдеша, равное 6. Кроме того, его число Бэйкона составляет 1, так как они вместе играли в фильме Where the Truth Lies («Где скрывается правда», 2005 год). Это обеспечивает Ферту число Эрдеша-Бэйкона, равное 7 – впечатляющий показатель, хотя и весьма далекий от рекорда Резника.

У Натали Портман также вполне достойное значение числа Эрдеша-Бэйкона. Во время учебы в Гарвардском университете она проводила исследование, в рамках которого стала соавтором работы под названием «Активность лобной доли мозга при объектном постоянстве». Однако ни в одной базе данных научных исследований имя Натали Портман не упоминается, поскольку она публиковала свои работы под настоящим именем, Натали Хершлаг. Среди соавторов была и Эбигейл Берд, которая связана с миром математики и имеет число Эрдеша, равное 4. Стало быть, у Портман число Эрдеша равно 5. Ее число Бэйкона составляет 1, так как они оба снимались в фильме New York, I Love You («Нью-Йорк, я люблю тебя», 2009 год). Следовательно, число Эрдеша-Бэйкона у Натали Портман равно 6 – оно достаточно низкое, чтобы превзойти Ферта, но слишком высокое, чтобы давать ей хотя бы какую-то надежду на покорение рекорда Резника.

А как насчет самого Пала Эрдеша? Как ни удивительно, его число Бэйкона равно 4, потому что о нем рассказывается в документальном фильме о его жизни под названием N Is a Number («N – это число», 1993 год), в котором также фигурирует Томаш Лучак, игравший в фильме The Mill and the Cross («Мельница и крест», 2011 год) вместе с Рудгером Хауэром, снявшимся в фильме Wedlock («Смертельные узы», 1991 год) с Престоном Мейбэнком, игравшем в фильме Novocaine («Новокаин», 2001 год) вместе с Кевином Бэйконом. У Пала Эрдеша число Эрдеша по очевидным причинам равно 0, а значит, его совокупное число Эрдеша-Бэйкона равно 4 – недостаточно для того, чтобы выйти на один уровень с Резником.

И наконец, что можно сказать о числе Эрдеша-Бэйкона самого Кевина Бэйкона? Бэйкон, будучи Бэйконом, имеет число Бэйкона, равное 0. Пока что у него нет числа Эрдеша. Теоретически он мог бы увлечься теорией чисел и написать научную работу в сотрудничестве с тем, у кого число Эрдеша равно 1. Это обеспечило бы ему самое высокое число Эрдеша-Бэйкона – 2.

Глава 6

Лиза Симпсон – королева статистики и бейсбола

Когда «Симпсоны» дебютировали на телевидение в «Шоу Трейси Ульман», их личности еще не были настолько развитыми, как сейчас. Нэнси Картрайт – голос Барта Симпсона – написала мемуары под названием My Life as a Ten-Year-Old Boy («Моя жизнь в качестве десятилетнего мальчика»), в которых подчеркнула серьезный недостаток образа Лизы: «Она была просто мультяшным восьмилетним ребенком, не имеющим ярко выраженной индивидуальности».

Это безжалостное, но справедливое описание. Если в тех первых коротких эпизодах у Лизы и была какая-то личность, то она напоминала скорее смягченную женскую версию Барта – чуть менее озорную и так же незаинтересованную в книгах. Быть одним из племени нердов – последнее, о чем думала тогда Лиза.

Однако накануне выхода первых эпизодов «Симпсонов» в качестве самостоятельного мультсериала Мэтт Грейнинг и его команда сценаристов совместными усилиями попытались придать Лизе индивидуальность. Разум Лизы был подвергнут трансформации, после чего она обрела вторую жизнь как настоящий интеллектуал, наделенный такими двумя дополнительными качествами, как сострадание и социальная ответственность. Картрайт весьма точно описала личность своей преобразованной вымышленной сестры: «Лиза Симпсон – это такой ребенок, каким мы хотели бы видеть не только своих детей, но и всех детей».

Хотя Лиза обладает разнообразными талантами, директор Скиннер отмечает ее особые способности к математике в эпизоде «Маленький домик ужасов на дереве 10» (Treehouse of Horror X, сезон 11, эпизод 4; 1999 год). Когда на Лизу падает большой штабель многоместных сидений, Скиннер восклицает: «Ее раздавило!.. А вместе с ней и надежды нашей команды по матлетике».

Мы наблюдаем способности Лизы в действии в эпизоде «Игра до победного конца» (Dead Putting Society, сезон 2, эпизод 6; 1990 год), в котором Гомер и Барт предлагают соседям Неду и Тодду Фландерсам, уверенным в своем превосходстве, сыграть в мини-гольф. В процессе подготовки к большой игре Барт изо всех сил старается отработать удар клюшкой и обращается за помощью к Лизе. Ей следовало бы посоветовать Барту взять клюшку в другую руку, поскольку он от рождения левша, но на протяжении всего эпизода пытается толкать мяч к лунке, удерживая клюшку правой рукой. Но вместо этого Лиза фокусируется на геометрии как на ключе к правильному удару клюшкой, так как может использовать эту область математики для расчета идеальной траектории мяча, чтобы гарантировать Барту попадание в лунку при каждом ударе. Во время тренировки Лиза показывает Барту, как ударить по мячу таким образом, чтобы он отскочил от пяти стенок и попал в лунку, что дает ему повод сказать: «Просто не могу поверить. Ты и вправду нашла геометрии практическое применение!»

Это изящный ход, но сценаристы используют персонаж Лизы для изучения более глубоких математических идей в эпизоде «ДеньгоБАРТ» (MoneyBART, сезон 22, эпизод 3; 2010 год). В первой сцене эпизода в начальной школе Спрингфилда встречают эффектную Далию Бринкли, единственную выпускницу школы, поступившую в один из университетов Лиги плюща[21]. Неудивительно, что директор Скиннер и суперинтендант Чалмерс пытаются заискивать перед мисс Бринкли, так же как и некоторые ученики. К их числу относится и Нельсон Манц, который старается произвести впечатление на самую успешную выпускницу Спрингфилда, притворяясь другом Лизы. Делая вид, что интересуется математическими способностями Лизы, он побуждает ее продемонстрировать их мисс Бринкли:

Нельсон. Она даже знает математику с буквами. Смотрите. Чему равен х, Лиза?

Лиза. Ну, это зависит от условий.

Нельсон. Извините, вчера у нее получилось.

Во время этой встречи Далия объясняет Лизе, что результатов экзаменов будет недостаточно для поступления в лучший университет и что ее собственный путь к успеху отчасти опирался на участие во множестве разных внеклассных кружков и занятий во время учебы в начальной школе Спрингфилда. Лиза рассказывает о том, что она казначей джазового клуба, а также основала школьное общество по переработке мусора, но это не производит впечатления на Далию: «Всего пара кружков! Это ставка в покере, а не заявление в Лигу плюща».

Тем временем бейсбольная команда Барта Isotots теряет тренера. Лиза решает воспользоваться представившимся шансом улучшить свое резюме для поступления в университет Лиги плюща и берет на себя эту роль. При этом Лиза прекрасно понимает, что не знает основ бейсбола, и потому отправляется в бар Мо, чтобы попросить совета у Гомера. Вместо того чтобы поделиться собственным опытом, Гомер указывает дочери на необычную четверку гиков, сидящих в углу бара. К удивлению Лизы, Бенджамин, Даг и Гари из Спрингфилдского университета активно обсуждают тонкости бейсбола с профессором Фринком. Когда Лиза спрашивает, почему они говорят о спорте, Фринк объясняет это так: «В бейсбол играют спортсмены, но по-настоящему его могут понять только мозголомы».

Другими словами, Фринк утверждает, что единственный способ освоить бейсбол – выполнить глубокий математический анализ игры. Он вручает Лизе целую стопку книг для изучения. Когда Лиза уходит, Мо подходит к гикам и сетует на то, что они не пьют пиво: «И зачем я дал рекламу бара в научном журнале?»

Лиза следует совету Фринка и погружается в изучение специальных книг перед своей первой игрой в качестве тренера Isotots. За этим занятием ее и застает один из репортеров. Столь необычное зрелище побуждает его сказать: «Я не видел столько книг с тех пор, как Эйнштейн решил заняться греблей».

Среди книг, которые читает Лиза, есть книги с названиями eiπ + 1 = 0, F = MA и «Бита Шредингера». Хотя все они вымышленные, под ноутбуком Лизы лежит вполне реальная книга The Bill James Historical Baseball Abstract («Краткий обзор бейсбола Билла Джеймса»), которая представляет собой настоящий каталог наиболее важных статистических данных в бейсболе, составленный одним из самых вдумчивых специалистов по этой игре.

Лиза в окружении книг, среди которых есть книга The Bill James Historical Baseball Abstract

THE SIMPSONS™ и © 1990 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Билл Джеймс стал легендарной фигурой в области бейсбола и статистики, однако его исследования в этих сферах начинались не в спортивных учреждениях и тишине научных кабинетов. Самые первые грандиозные идеи пришли к нему в голову во время длинных одиноких ночей, когда он работал ночным сторожем на заводе по выпуску свинины с фасолью, принадлежавшем крупнейшей американской компании по производству консервов Stokely-Van Camp.

Охраняя национальный запас свинины с фасолью, Джеймс пытался найти те истины, которые ускользали от предыдущих поколений любителей бейсбола. Постепенно он пришел к выводу, что статистические данные, используемые для оценки сильных сторон отдельных бейсболистов, в некоторых случаях неуместны, порой малопонятны и, что хуже всего, часто вводят в заблуждение. Например, основным статистическим показателем для оценки эффективности полевого игрока было количество допущенных ошибок: чем меньше ошибок, тем лучше полевой игрок. На первый взгляд это кажется вполне разумным, однако у Джеймса были сомнения по поводу обоснованности такого статистического показателя.

Для того чтобы понять обеспокоенность Джеймса, представьте себе, что бэттер[22] отбил мяч далеко от полевых игроков. Быстрый полевой игрок пробегает пятьдесят ярдов, вовремя подбегает к мячу, но выпускает его из рук. Это событие отмечается как ошибка. Медленный же игрок не может преодолеть даже половины пути до того места, где приземлится мяч и где у него была бы хоть какая-то надежда его поймать. Следует сказать, что это событие не фиксируется как ошибка, поскольку полевой игрок не потерял мяч.

Какого игрока вы выбрали бы для своей команды на основании только этой информации? Ответ очевиден – более быстрого, так как в следующий раз он может поймать и удержать мяч, тогда как медленный игрок так и не принесет в этой ситуации никакой пользы.

Тем не менее, согласно статистике ошибок, более быстрый игрок допустил ошибку, тогда как более медленный – нет. Получается, если бы нам пришлось выбирать игрока на основании одной лишь статистики ошибок, мы бы предпочли не того игрока, которого следовало. Именно эта статистика не давала Джеймсу спать по ночам, поскольку могла создать ложное представление об эффективности игрока.

Разумеется, Билл Джеймс был не первым, кого беспокоило чрезмерное и зачастую неправильное использование статистики. Благодаря Марку Твену широкую известность получило такое утверждение: «Существует три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика». В аналогичном духе химик Фред Менгер писал: «Если пытать цифры достаточно долго, они скажут все что угодно». Тем не менее Джеймс был убежден, что статистика способна стать силой, действующей во благо. Он считал, что если бы ему удалось определить подходящую совокупность статистических показателей и правильно их интерпретировать, то это позволило бы понять глубинную сущность бейсбола.

Каждую ночь Джеймс внимательно анализировал данные, записывал какие-то уравнения и проверял разные гипотезы. И в конце концов начал разрабатывать эффективную статистическую модель, сформулировав свои теории в тоненькой брошюре под названием 1977 Baseball Abstract: Featuring 18 Categories of Statistical Information That You Just Can’t Find Anywhere Else («Обзор бейсбола за 1977 год: 18 категорий статистической информации, которую вы не найдете больше нигде»).

Следующий выпуск брошюры, 1978 Baseball Abstract («Обзор бейсбола за 1978 год»), содержал сорок тысяч единиц статистической информации и оказался более успешным: всего было продано 250 экземпляров. В брошюре 1979 Baseball Abstract («Обзор бейсбола за 1979 год») Джеймс объяснил мотивы публикации всех этих статистических данных: «Я работаю с числами как механик, просматривая записи бейсбольных матчей, чтобы понять, как функционирует механизм нападения в бейсболе. Я начинаю с чисел не в большей степени, чем механик начинает с разводного гаечного ключа. Я начинаю с игры, с тех вещей, которые в ней вижу, и с того, что говорят во время игры. И я задаю вопрос: правда ли это? Можно ли это обосновать? Можно ли это измерить?»

Год за годом Джеймс наблюдал за ростом контингента читателей его брошюры «Обзор бейсбола», а единомышленники из числа любителей чисел поняли, что нашли своего гуру. Поклонниками Джеймса были как писатель и журналист Норман Мейлер, так и актер Дэвид Лендер, игравший роль Сквигги в телесериале Laverne and Shirley («Лаверн и Ширли»). Одним из самых молодых последователей Джеймса являлся Тим Лонг, который стал потом членом команды сценаристов «Симпсонов», написал сценарий эпизода «ДеньгоБАРТ» и включил в него экземпляр одной из книг Джеймса, лежавшей на столе рядом с Лизой Симпсон.

ДРУГИЕ НАБЛЮДЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТУМАННОГО МИРА СТАТИСТИКИ

«Он использует статистику, как пьяница использует фонарь – в качестве опоры, а не источника света».

Эндрю Лэнг

«42,7 процента статистики берутся с потолка».

Стивен Райт

«Дать человеку только небольшие или поверхностные знания статистики – все равно что вложить бритву в руки ребенка».

Картер Александер

«К тому же есть еще и человек, который утонул, переходя ручей со средней глубиной шесть дюймов».

У. И. Э. Гейтс

«Любую статистику трудно проглотить и невозможно переварить. Единственное, что я помню, так это если всех людей, которые засыпают в церкви, выложить в одну линию, то им будет гораздо удобнее».

Миссис Марта Тафт

«У человека в среднем одна грудь и одно яичко».

Дез Макхейл

«Трое статистиков и трое биологов едут в поезде на конференцию. Биологи жалуются на высокую плату за проезд, но статистики раскрывают им секрет, который позволяет сэкономить. Услышав голос контролера, статистики прячутся в туалете. Контролер стучит в дверь туалета и говорит: «Ваши билеты, пожалуйста!» Статистики протягивают один билет, контролер пробивает его и возвращает назад. Биологи поражены. Через два дня статистики и биологи едут в поезде обратно. Биологи показывают статистикам, что купили только один билет, на что статистики отвечают: «А у нас нет ни одного». Прежде чем кто-либо успевает задать вопрос, вдалеке слышится голос контролера. В этот раз биологи прячутся в туалете. Один из статистиков тайком следует за ними, стучит в дверь туалета и говорит: «Ваши билеты, пожалуйста!» Биологи протягивают билет. Статистик хватает его, прячется вместе со своими коллегами в другом туалете, и все ждут контролера. Мораль этой истории проста: не применяйте статистические методы, которых не понимаете».

Имя автора неизвестно

По словам Лонга, будучи подростком, он считал Джеймса своим героем. «В средней школе я любил исчисления и был страстным поклонником бейсбола. Мы с отцом наладили отношения благодаря этой игре. Тем не менее в плане управления бейсбол опирался исключительно на народную мудрость. Именно поэтому мне так понравились идеи человека, который предоставил данные, опровергающие многие элементы этой народной мудрости. В свои четырнадцать я был фанатом Билла Джеймса».

Среди истинных почитателей Джеймса немало математиков и программистов, которые не только впитывали его открытия, но и продвигали собственные идеи. Например, Пит Палмер был программистом и инженером-системотехником на радиолокационной станции, расположенной на Алеутских островах. Его работа представляла собой своеобразный высокотехнологичный эквивалент работы ночного сторожа на консервном заводе. Подобно Джеймсу, во время ночных дежурств Палмер размышлял о бейсбольной статистике. В действительности Палмер увлекался этой темой с детства, когда одержимо строчил матери на печатной машинке данные о бейсбольных матчах. Одним из его главных достижений стала разработка нового статистического показателя, известного как OPS (on-base plus slugging percentage – процент попаданий на базу плюс процент сильных ударов), который охватывал два самых важных качества бэттера – способность выбить мяч за пределы поля и умение добраться до базы.

Вы можете составить более полное представление о том, как Палмер использовал математику для оценки бэттеров, взглянув на записанную ниже формулу расчета показателя OPS. Один его элемент – SLG (slugging percentage – процент сильных ударов), который представляет собой частное от деления общего количества баз игрока на количество выходов на биту. Второй – OBP (on-base percentage – процент попаданий на базу), но о нем мы поговорим чуть позже, когда вернемся к эпизоду «ДеньгоБАРТ», поскольку Лиза Симпсон ссылается на OBP, подбирая свою команду.

Ричард Крамер, еще один статистик-любитель, тоже подобно Палмеру и Джеймсу использовал математику для изучения бейсбола. Будучи научным сотрудником фармацевтической компании SmithKline, Крамер имел доступ к очень мощным компьютерам, предназначенным для разработки новых лекарственных препаратов. Но Крамер по ночам использовал их для поиска ответов на некоторые вопросы из области бейсбола, например, действительно ли существует такой феномен, как клатч-хиттеры. Клатч-хиттер – это игрок, обладающий способностью демонстрировать свои лучшие качества в форс-мажорной ситуации. Как правило, клатч-хиттер лучше всего отбивает мяч в момент, когда его команда находится на грани проигрыша, особенно во время важной игры. Комментаторы и знатоки бейсбола десятилетиями утверждали, что такие игроки есть, но Крамер решил проверить, действительно ли это так или это всего лишь результат выборочного анализа данных.

Формула расчета показателя OPS впервые была изложена в доступной форме в книге The Hidden Game of Baseball: A Revolutionary Approach to Baseball and Its Statistics («Секреты игры в бейсбол: революционный подход к бейсболу и его статистике»), написанной Питом Палмером в соавторстве с Джоном Торном. Пожалуйста, не испытывайте чувства вины, если захотите пропустить это минное поле математики и бейсбольного жаргона.

OPS = SLG + OBP

Таким образом,

OPS = процент попаданий на базу плюс процент сильных ударов

OBP = процент попаданий на базу

SLG = процент сильных ударов

H = хиты

BB = база за болы

HBP = удар при подаче

AB = выходы на биту

SF = жертвенные флайболы

TB = все базы

Крамер применил простой, элегантный и сугубо математический подход, определив эффективность игроков во время обычных матчей и во время самых напряженных игр того или иного сезона (за основу был взят сезон 1969 года). Создавалось впечатление, что некоторые игроки действительно проявляют свои лучшие качества в решающие моменты, но обусловлено ли это какой-то внутренней суперсилой, активизирующейся в соответствующих условиях, или банальным стечением обстоятельств? Чтобы ответить на этот вопрос, Крамер выполнил аналогичные расчеты за сезон 1970 года. Если клатч-хиттинг – это настоящий навык, тогда в сезонах 1969-го и 1970 годов будут одни и те же клатч-хиттеры. Если же это исключительно удача, тогда предполагаемые клатч-хиттеры 1969 года уступят место новой группе клатч-хиттеров в 1970 году. Расчеты Крамера показали отсутствие значимой связи между двумя группами клатч-хиттеров за два сезона. Другими словами, предполагаемые клатч-хиттеры одного сезона не могут сохранить свою эффективность на прежнем уровне в следующем сезоне. Их результативность обусловлена скорее везением, чем уникальными способностями.

В «Обзоре бейсбола» за 1984 год Билл Джеймс писал, что такой вывод его не удивляет: «Как может быть, чтобы игрок, рефлексы, удар, знания и опыт которого обеспечивают ему показатель 0,262, при других обстоятельствах как по волшебству становится хиттером с показателем 0,300? Как это происходит? В чем суть процесса? Каковы его последствия? До тех пор, пока мы не найдем ответы на эти вопросы, я не вижу смысла обсуждать клатч-способности».

Дерек Джетер, получивший прозвище Капитан Клатч за высокие результаты в отбивании мяча в команде New York Yankees, был категорически не согласен со статистиками. В интервью Sports Illustrated он сказал: «Можете взять этих статистиков и выбросить из окна»». К сожалению, собственные показатели Джетера подтвердили вывод Джеймса. По данным за тринадцать сезонов такие показатели Джетера, как средняя результативность, процент попаданий на базу и процент сильных ударов, составляли 0,317/0,388/0,462 в регулярных матчах и 0,309/0,377/0,469 в важных матчах серии плей-офф.

Безусловно, всем новым математическим дисциплинами нужны имена, и в свое время этот эмпирический, объективный и аналитический подход к пониманию бейсбола получил известность как «саберметрика». Этот термин, придуманный Биллом Джеймсом, происходит от акронима SABR (Society for American Baseball Research – Общество изучения американского бейсбола) – организации, созданной с целью содействия изучению различных аспектов бейсбола, таких как история игры, связь бейсбола с искусством, а также женщины в бейсболе. На протяжении двух десятилетий представители бейсбольной элиты в основном игнорировали, а порой даже высмеивали Джеймса и группу его коллег по саберметрике, численность которой неуклонно росла. Тем не менее саберметрика в конце концов получила признание, когда одна команда оказалась достаточно смелой, чтобы применить этот метод и доказать, что именно в нем кроется секрет успеха в бейсболе.

В 1995 году бейсбольную команду Oakland Athletics купили Стив Шотт и Кен Хофманн – два инвестора, которые с самого начала отчетливо дали понять, что бюджет команды необходимо сократить в два раза. Когда в 1997 году Билли Бин возглавил Athletics, клуб был печально известен самым ограниченным бюджетом в Главной лиге бейсбола. Бин понял, что единственный способ выиграть достаточное количество матчей без финансирования – это положиться на статистику. Другими словами, он использовал математику, чтобы превзойти своих богатых соперников. Будучи горячим приверженцем идей Билла Джеймса, Бин продемонстрировал свою веру в статистику, наняв на должность помощника одержимого статистикой выпускника экономического факультета Гарвардского университета Пола Деподесту. Деподеста, в свою очередь, нанял еще более увлеченных статистикой специалистов, таких как Кен Морьелло и Джек Армбрустер, – финансовых аналитиков, ушедших с Уолл-стрит и открывших свою компанию по бейсбольной статистике Advanced Value Matrix Systems. Они проанализировали данные об игре каждого отдельного питчера, филдера и хиттера за сотни прошлых матчей, с тем чтобы оценить их точный вклад. Их алгоритмы сводили к минимуму случайное влияние удачи и, по сути, присваивали определенную денежную сумму каждому игроку каждой команды. Это позволило Бину получить необходимую информацию для покупки недооцененных игроков.

Вскоре Бин понял, что лучшие предложения появляются на рынке посреди сезона, когда команды, потерявшие шанс одержать победу в своей лиге, сокращают расходы за счет продажи игроков. Закон спроса и предложения обеспечивал падение цен, а Бин мог использовать статистику для поиска отличных игроков, которые остались незамеченными в командах, попавших в трудное положение. Иногда Деподеста рекомендовал сделки, которые сторонники традиционного подхода считали бредовыми, но Бин редко ставил под сомнение его советы. В действительности, чем абсурднее казалась та или иная сделка, тем выше была вероятность того, что команде удастся купить недооцененного игрока. Эффективность математических расчетов Деподесты и сделок, заключенных посреди сезона по их результатам, стала очевидной в 2001 году. В первой половине сезона команда Oakland A’s выиграла только 50 процентов из 81 матча, однако во второй половине сезона этот показатель увеличился до 77 процентов, что позволило команде занять второе место в играх западного дивизиона Американской лиги.

Это поразительное улучшение, основанное на статистике, было впоследствии задокументировано в книге журналиста Майкла Льюиса, наблюдавшего за приключениями Бина с саберметрикой на протяжении нескольких сезонов. Эпизод «Симпсонов», в котором Лиза становится бейсбольным тренером, получил название «ДеньгоБАРТ», перекликающееся с названием книги Льюиса. Более того, на представленном выше рисунке, где Лиза сидит среди книг, третья книга под компьютером и есть Moneyball[23]. Следовательно, можно с уверенностью утверждать, что Лиза знает о Билли Бине и его любви к саберметрике.

К сожалению, в конце сезона 2001 года Бин потерял троих ключевых игроков, ушедших в New York Yankees. Клуб Yankees вполне мог себе позволить подобные подрывные действия против соперников, выкупая их самых талантливых игроков, поскольку бюджет Yankees составлял 125 миллионов долларов, тогда как отстающие команды вроде Oakland A’s были вынуждены выживать с бюджетом 40 миллионов долларов. Льюис описал эту ситуацию так: «Голиаф, недовольный своим преимуществом в плане размера, купил рогатку Давида».

Таким образом, сезон 2002 года в очередной раз начался для Athletics неудачно. Тем не менее компьютер Деподесты выделил посреди сезона ряд выгодных сделок, которые с избытком компенсировали бы потерю лучших игроков, ушедших к Yankees. В конечном итоге команда Oakland A’s закончила этот сезон, выиграв 20 матчей подряд, что позволило побить рекорд Американской Лиги. Это была абсолютная победа логики над догмой. Саберметрика обеспечила, пожалуй, одно из величайших достижений в современном бейсболе.

Когда в следующем году Льюис опубликовал книгу Moneyball, он признал, что время от времени подвергал сомнению доверие Бина к математике: «Мои аргументы просты: каждый игрок индивидуален, и рассматривать его надо как частный случай. То есть размер выборки всегда равен единице. Билли выдвигает свои контраргументы: бейсболисты развиваются примерно по одинаковому сценарию, черным по белому прописанному в статистических справочниках. Конечно, время от времени наблюдаются отклонения, но в команде из двадцати пяти человек они уравновешивают друг друга».

Книга Moneyball привлекла внимание общественности к Бину как к инакомыслящему герою, беззаветная вера которого в саберметрику сподвигла его посягнуть на устоявшиеся правила бейсбола. Кроме того, у Бина появились сторонники в других видах спорта, таких как футбол (об этом идет речь в Приложении 1). Об успехах Бина узнали даже люди не из числа любителей спорта после того, как на экраны вышел художественный фильм Moneyball (в русском прокате «Человек, который изменил все»), основанный на книге Майкла Льюиса, с Брэдом Питтом в главной роли, получивший несколько номинаций на «Оскар».

Как и следовало ожидать, успех Бина убедил соперников в необходимости воспользоваться подходом клуба Oakland Athletics и тоже применить саберметрику. Накануне сезона 2003 года клуб Boston Red Sox нанял Билла Джеймса, а еще через год отец саберметрики помог этой команде впервые за 86 лет выиграть Мировую серию, разорвав так называемое проклятие Бамбино. Со временем саберметрику взяли на вооружение такие клубы, как Los Angeles Dodgers, New York Yankees, New York Mets, San Diego Padres, St. Louis Cardinals, Washington Nationals, Arizona Diamondbacks и Cleveland Indians. Однако одна команда все же превзошла остальных в плане доказательства силы математики, а именно Springfield Isotots, тренером которой была Лиза Симпсон.

В эпизоде «ДеньгоБАРТ» Лиза уходит из бара Мо со стопкой книг по математике[24], исполненная решимости помочь команде Isotots одержать победу с помощью статистики. Без сомнения, Лиза успешно использует электронные таблицы, компьютерное моделирование и подробный анализ, для того чтобы превратить аутсайдеров Isotots во вторую лучшую команду лиги после Capital City. Но когда Лиза говорит Барту, чтобы он не махал битой в матче с командой Шелбивилля, он не подчиняется ее инструкциям… и выигрывает матч. Однако, по мнению Лизы, хоум-ран[25] Барта – всего лишь везение. На самом деле Лиза считает, что подобное неповиновение способно подорвать ее статистическую стратегию и разрушить надежды команды на лучшее будущее. В итоге она выгоняет Барта из команды, потому что «он возомнил себя умнее теории вероятности».

Обратив внимание на то, что у Нельсона Манца самый высокий процент попаданий на базу, Лиза, придерживаясь принципов саберметрики, назначает его новым лидофф-хиттером, главная задача которого – занять базу. Очевидно, что Лиза сходится во взглядах со своим коллегой, специалистом по саберметрике Эриком Уокером, оценивающим роль процента попаданий на базу так: «Проще и точнее говоря, это вероятность того, что отбивающего не выведут в аут. В таком случае становится совершенно ясно, что самый важный одномерный статистический показатель для нападающей команды – это процент попаданий на базу. Он измеряет вероятность того, что отбивающий (бэттер), вышедший на биту, не будет выведен в аут, а значит, подача мяча продолжится».

И действительно, благодаря осведомленности Лизы о роли процента попаданий на базу команда Isotots продолжает серию побед. Один из комментаторов объявляет ее успех «победой сухих расчетов над спортивным духом».

Isotots пробивает себе дорогу на чемпионат Малой лиги штата, где ей предстоит сразиться с Capital City. К сожалению, один из игроков команды Ральф Виггам перепивает сока и выходит из строя, из-за чего Лиза вынуждена просить Барта вернуться. Барт неохотно принимает предложение, поскольку знает, что столкнется с дилеммой: следовать своим инстинктам или придерживаться тактики Лизы, основанной на математических расчетах? Когда в девятой и последней подаче мяча команда Capital City опережает Isotots со счетом 11–10, Барт снова решает ослушаться Лизу. На этот раз он попадает в аут, и команда Isotots проигрывает – и все из-за нежелания придерживаться правил саберметрики.

Эпизод заканчивается примирением Лизы и Барта, хотя очевидно, что брат и сестра придерживаются совершенно разных философских взглядов. По мнению Лизы, бейсбол необходимо анализировать и понимать, тогда как Барт убежден, что спорт сводится, по сути, к инстинктам и эмоциям. Эти взгляды отображают более серьезную дискуссию о роли математики и других точных наук. Кто-то может поставить вопрос так: разрушает ли анализ внутреннюю красоту окружающего мира или это делает мир еще прекраснее? Во многих отношениях позиция Барта выражает взгляды, высказанные английским поэтом-романтиком Джоном Китсом:

Любое диво

От философии бежит пугливо!

Вот радугу в лазури зиждет Бог –

Но семь волшебных красок в каталог

Внесли и волшебство сожгли дотла.

Философ свяжет ангелу крыла,

Определит размер чудес и вес,

Очистит от видений грот и лес,

Погубит радугу – все так же, как

Понудил кануть Ламию во мрак.[26]

Это строки из поэмы «Ламия», названной по имени демона из древнегреческой мифологии, пожирающего детей. В контексте XIX столетия слово «философия», используемое Китсом, охватывало также математику и другие точные науки. Следовательно, он утверждает, что математика и другие науки нарушают элегантность естественного мира. Китс убежден, что рациональный анализ «погубит радугу», тем самым уничтожив присущую ей красоту.

Напротив, Лиза Симпсон сказала бы, что такой анализ превращает радугу в еще более волнующее зрелище. Пожалуй, эту точку зрения лучше всего сформулировал физик и лауреат Нобелевской премии Ричард Фейнман:

У меня был друг, художник, и он иногда высказывал точку зрения, с которой я никак не мог согласиться. Он брал в руки цветок и говорил: «Смотри, как он красив». У меня не было возражений, а он продолжал: «Видишь, я как художник могу оценить его красоту, а для тебя как ученого это всего лишь очередной скучный предмет». Думаю, он был помешан на красоте. Однако увиденная им красота доступна каждому, и мне в том числе. Хотя допускаю, что я не такой рафинированный эстет, как он, но и я способен оценить красоту цветка. В то же время я вижу в цветке гораздо больше, чем он. Я могу представить его клеточную структуру, ведь сложные взаимодействия внутри клеток тоже обладают своей красотой. Я имею в виду не только красоту в масштабах одного сантиметра; существует также красота в меньших масштабах, во внутренней структуре. Возьмем другой процесс. Известно, что краски цветка вырабатываются, чтобы привлечь насекомых для его опыления – значит, насекомые могут видеть цвет. Напрашивается вопрос: эстетические чувства существуют и в низших формах? Почему эстетические? Всевозможные сложные вопросы доказывают, что научное знание лишь добавляет благоговейного трепета перед цветком. Научное знание добавляет; не понимаю, как оно может что-то вычитать.[27]

Глава 7

Бабгебра и женгоритмы

В эпизоде «Они спасли мозг Лизы» (They Saved Lisa’s Brain, сезон 10, эпизод 22; 1999 год) Лиза – благодаря своим математическим способностям и общей гениальности – получает предложение стать членом местного отделения общества людей с высоким IQ под названием Mensa. Вступление Лизы в ряды общества совпадает по времени с событиями, в ходе которых Mensa берет Спрингфилд под свой контроль, после того как мэр Куимби спасается бегством от обвинений в коррупции. Создается впечатление, что Спрингфилд получает идеальную возможность для роста и процветания под руководством самых умных мужчин, женщин и детей города.

К сожалению, высокий IQ автоматически не приравнивается к мудрому руководству. Например, одним из наиболее нелепых решений новых лидеров Спрингфилда стало принятие метрической системы времени вроде той, которую попытались ввести во Франции в 1793 году. Французам казалось, что с математической точки зрения целесообразно, чтобы день состоял из десяти часов, час – из ста минут, а минута – из сотни секунд. Хотя французы отказались от этой системы в 1805 году, директор Скиннер с гордостью хвастается: «Поезда приходят вовремя и ходят по метрическому времени. Запомните этот момент: восемьдесят минут третьего, сорок седьмого апреля».

Продавец комиксов, большой поклонник сериала «Звездный путь», предлагает заниматься сексом один раз в семь лет. Это попытка создать пародию на вулканский обряд пон-фарр, во время которого вулканцы каждые семь лет теряют самоконтроль. Последующие правила и положения, такие как программа сока брокколи и план построить театр кукольных теней (как балийских, так и тайских), в конце концов заставляют почтенных граждан Спрингфилда взбунтоваться против интеллектуальной элиты. На самом деле в финале эпизода возмущенные горожане направляют свой гнев против Лизы, которую спасает не кто иной, как профессор Стивен Хокинг. Хотя мы ассоциируем Хокинга с космологией, он на протяжении тридцати лет был Лукасовским профессором математики[28] в Кембриджском университете, что делает его одним из наиболее знаменитых математиков, участвовавших в различных эпизодах «Симпсонов». Однако не все узнают Хокинга, сидящего в инвалидном кресле. Когда Хокинг обращает внимание на то, что члены общества Mensa развращены властью, Гомер говорит: «Ларри Флинт прав! Вы все вонючки!»[29]

Авторы «Симпсонов» очень хотели уговорить Стивена Хокинга появиться в качестве гостя в этом эпизоде мультсериала, поскольку по сценарию им требовался человек, который был бы умнее, чем все члены общества Mensa, вместе взятые. И Хокинг, будучи давним поклонником сериала, уже планировал поездку в Америку, поэтому его график был сразу же откорректирован таким образом, чтобы профессор мог посетить студию и принять участие в озвучивании эпизода. Казалось, все уже было готово для встречи Хокинга, но тут его инвалидное кресло обуял страх сцены, и оно сломалось за сорок восемь часов до перелета из Монтерея в Лос-Анджелес. Помощник Хокинга Крис Бергойн работал в течение тридцати шести часов, чтобы устранить поломку.

После того как Хокинг прибыл на студию звукозаписи, сценаристы терпеливо ждали, пока каждую строку сценария ввели в его компьютер с помощью клавиатуры. Единственная проблема возникла в момент, когда синтезатор голоса попытался воспроизвести строку, описывающую разочарование Хокинга методами управления Спрингфилдом: «Хотел взглянуть на вашу утопию, но это скорее похоже на “фрутопию”»[30]. Словарь компьютера не содержал названия этого американского фруктового напитка, поэтому Хокингу и команде сценаристов пришлось искать способ составить слово фонетически. Рассказывая впоследствии о создании эпизода, сценарист Мэтт Селман вспоминал: «Следует принять к сведению, что мы пригласили самого гениального человека в мире и использовали его время для записи слова “фрутопия” посредством отдельных слогов».

Особенно удалась авторам сцена спасения Лизы Хокингом от толпы. Из его инвалидной коляски выдвинулся винт вертолета, и профессор быстро увез Лизу в безопасное место. По-видимому, он понял, что девочка способна добиться больших успехов в будущем, и хотел, чтобы она реализовала свой научный потенциал. Мы действительно можем не сомневаться, что Лиза многого добьется в университете, потому что мельком взглянули на ее судьбу в эпизоде «Футу-драма» (Future-Drama, сезон 16, эпизод 15; 2005 год). В основе сюжета эпизода лежит изобретенное профессором Фринком устройство, которое позволяет людям заглядывать в будущее. Лиза видит, что она окончит школу на два года раньше и выиграет стипендию на обучение в Йельском университете. Устройство Фринка также показывает, что в предстоящие десятилетия женщины займут доминирующее положение в области математики и других точных наук, и это даже приведет к тому, что некоторые науки получат новые названия. Мы видим, как Лиза решает, что ей изучать – женометрию или бабгебру.

Откровенная поддержка женщин, занимающихся точными науками, присутствующая в эпизоде «Футу-драма», в значительной мере связана с одним событием, произошедшим в период написания сценария эпизода. В январе 2005 года президент Гарвардского университета Лоуренс Саммерс во время конференции под названием «Диверсификация персонала в области науки и техники» сделал ряд противоречивых заявлений. В частности, высказался по поводу того, почему, по его мнению, женщины недостаточно представлены в научной сфере: «В области науки и техники учитывается такой фактор, как врожденные способности, а именно вариативность способностей, что, по сути, усиливает несколько менее значимые обстоятельства, связанные с социализацией и продолжающейся дискриминацией».

Саммерс считал, что у мужчин диапазон способностей шире по сравнению с женщинами, что и объясняет тот факт, что в научно-технической сфере мужчин, добившихся ощутимых результатов, гораздо больше, чем женщин. Неудивительно, что такие рассуждения вызвали негативную реакцию общественности. По мнению многих, подобные высказывания человека, занимающего столь высокий пост в научной сфере, отобьют у молодых женщин охоту делать карьеру в области математики и других точных наук. Этот скандал стал одной из причин последующей отставки Саммерса.

Сценаристы «Симпсонов» были довольны, что смогли затронуть столь актуальную тему в эпизоде «Футу-драма» посредством ссылки на инцидент с Саммерсом. Однако они стремились более тщательно изучить вопрос о представленности женщин в области математики и других точных науках, поэтому вернулись к этой теме в следующем году, отобразив ее в эпизоде под названием «Девочки просто хотят математики» (Girls Just Want to Have Sums, сезон 17, эпизод 19; 2006 год).

Эпизод начинается со спектакля «Щекотка и Царапка в мюзикле “Кровавая резня”»[31]. После серии зловещих песен в зале звучит бурная овация, и режиссер Джулиана Креллнер выходит на сцену для поклона. Следом за ней появляется директор Скиннер, который с гордостью сообщает, что Джулиана Креллнер – выпускница спрингфилдской начальной школы:

Скиннер. Джулиана, неудивительно, что ты добилась такого успеха. Ты всегда была круглой отличницей в школе.

Джулиана. Помню, я получила одну или две четверки по математике.

Скиннер. Конечно получила. Ты же девушка.

(Публика ахает от изумления.)

Скиннер. Нет, я имел в виду, что, по моему опыту, мальчики сильнее в математике и точных науках, в настоящих предметах.

Джулиана (обращаясь к публике). Я уверена, директор Скиннер не хотел сказать, что девочки от природы стоят на ступень ниже.

Скиннер. Нет, конечно нет. Я не знаю, почему девочки хуже.

После этого директор Скиннер становится объектом ненависти со стороны местных жителей, и, несмотря на все попытки загладить свою вину, только разжигает конфликт. В конце концов на его место назначают женщину, эксперта по образованию Мелани Апфут, планирующую обучать девочек такой разновидности математики, которая была бы и женственной, и феминистской.

По мнению мисс Апфут, девочек следует учить математике в гораздо более эмоциональном стиле: «Как на вас влияют числа? Чем пахнет знак минус? Число 7 нечетное или нечеткое?» Разочаровавшись в подходе новой учительницы к преподаванию, Лиза спрашивает, будут ли девочки решать настоящие математические задачи. Мисс Апфут отвечает: «Задачи? Это мужской взгляд на математику; им нужно на что-то нападать, что-то постигать».

Хотя разделение на женскую и мужскую математику, естественно, вымышленное, оно все же перекликается с реальной тенденцией к сентиментальному подходу к обучению математике и мальчиков, и девочек, сложившейся в последние десятилетия. Многие представители старшего поколения обеспокоены тем, что нынешних учеников не нагружают решением традиционных задач, а балуют более поверхностным обучением. Эта обеспокоенность четко прослеживается в пародийной истории под названием «Эволюция математической задачи»:

1960 год:

Дровосек продает грузовик дров за 100 долларов. Издержки производства составляют 4/5 от этой суммы. Какова его прибыль?

1970 год:

Дровосек продает грузовик дров за 100 долларов. Издержки производства составляют 4/5 от этой суммы, другими словами 80 долларов. Какова его прибыль?

1980 год:

Дровосек продает грузовик дров за 100 долларов. Издержки производства составляют 80 долларов, а прибыль – 20 долларов. Ваша задача: подчеркнуть число 20.

1990 год:

Срубив прекрасные лесные деревья, дровосек зарабатывает 20 долларов. Что вы думаете о таком способе зарабатывания на жизнь? Обсудите в своей группе, как чувствуют себя при этом птицы и белки, и напишите об этом сочинение.

Отчаянно нуждаясь в настоящей математике, Лиза сбегает из своего класса и подглядывает в окно школы для мальчиков, где видит на доске традиционную задачу по геометрии. Вскоре ее ловят и отправляют назад в школу для девочек, где снова кормят жидкой арифметической кашицей.

Это становится последней каплей. Вернувшись после школы домой, Лиза просит маму одеть ее как мальчика, с тем чтобы она могла посещать школу для мальчиков и присутствовать на уроках в качестве Джейка Боймана. Сюжет этого эпизода напоминает сюжет музыкальной мелодрамы Yentl («Йентл»), в котором молодая девушка из семьи ортодоксальных евреев отрезает волосы и одевается как мужчина, чтобы изучать Талмуд.

К сожалению, одного только переодевания в мальчика оказывается недостаточно. Вскоре Лиза осознает: для того чтобы ее приняли новые одноклассники, ей придется начать вести себя как типичный мальчишка, а это противоречит ее ценностям. В конце концов Лиза даже соглашается побить Ральфа Виггама, одного из самых безобидных учеников ее класса, лишь бы заслужить одобрение печально известного хулигана Нельсона Манца.

Лиза недовольна тем, что ей приходится вести себя как мальчишка ради получения достойного образования, но тем не менее продолжает реализовывать свой план, чтобы изучать математику и доказать, что девочки не хуже мальчиков. Решительный настрой Лизы приносит свои плоды: она не только преуспевает в учебе, но и получает награду «За выдающиеся достижения в математике». Награду ей вручают на общем собрании мальчиков и девочек, и Лиза использует эту возможность, чтобы раскрыть свою личность. «Все правильно! – восклицает она. – Лучший ученик по математике во всей школе – девочка!»

Дольф Старбим, который обычно общается со школьными хулиганами Керни Зизвичем, Джимбо Джонсом и Нельсоном Манцом, выкрикивает: «Нас одурачили, как в случае Йентла!»

Барт тоже встает и заявляет: «Лиза выиграла по единственной причине: она научилась думать как парень. Я превратил ее в рыдающую, драчливую математическую машину».

Когда сюжет приближается к кульминации, Лиза продолжает свою речь: «Я стала лучшей по математике только потому, что отказалась от всего, во что верила. Думаю, главная причина, почему в математике и науке не так много женщин…»

В этот момент школьный учитель музыки прерывает ее на полуслове и представляет Мартина Принса, играющего на флейте. Так сценаристы попытались уклониться от ответа на столь непростой вопрос.

Когда я встретился со сценаристами Мэттом Селманом и Джеффом Уэстбруком, они оба вспоминали, что не видели реальной возможности найти приемлемую концовку этого эпизода, поскольку нельзя в двух словах объяснить, почему женщины по-прежнему недостаточно представлены во многих областях науки. Сценаристы не хотели делать упрощенный или поверхностный вывод. Кроме того, по словам Селмана, они старались избежать ситуации, в которой оказался директор Скиннер.

* * *

Сюжет эпизода «Девочки просто хотят математики» повторяет не только сюжет фильма «Йентл», но и жизнь знаменитого французского математика Софи Жермен. История борьбы Жермен против сексизма еще более удивительна, чем вымышленные истории Лизы и Йентла.

Софи Жермен родилась в Париже в 1776 году. Она страстно увлеклась математикой после прочтения книги Жана-Этьена Монтюкла Histoire des Mathématiques («История математики»). В частности, ее поразил рассказ Монтюкла о необычайной жизни и трагической смерти Архимеда. Легенда гласит, что когда в 212 году до н. э. армия римлян завоевала Сиракузы, Архимед рисовал геометрические фигуры на песке. На самом деле он был настолько поглощен анализом математических свойств этих фигур, что не обратил внимания на приближение римского солдата, который к нему обращался. Обидевшись на столь явную грубость, солдат поднял копье и пронзил им Архимеда. Жермен нашла эту историю вдохновляющей: каким же удивительным предметом должна быть математика, если она способна заворожить человека до такой степени, что он начинает игнорировать угрозу собственной жизни!

В итоге Жермен стала изучать математику днями напролет, засиживаясь порой до поздней ночи. По словам друга семьи, отец Софи забирал у нее свечи, чтобы помешать заниматься тогда, когда полагалось спать. Однако со временем родители Софи смягчились. На самом деле, смирившись с тем, что их дочь не выйдет замуж, а посвятит свою жизнь математике и точным наукам, они познакомили ее с учителями и поддерживали материально.

В возрасте двадцати восьми лет Софи Жермен изъявила желание учиться в только что открывшейся Политехнической школе в Париже. Единственным препятствием было то, что в это престижное учебное заведение принимали исключительно студентов мужского пола. Тем не менее Жермен нашла способ обойти эту проблему, когда узнала, что школа предоставляет конспекты своих лекций для всеобщего ознакомления и даже предлагает людям со стороны делиться своими глубокими наблюдениями по их поводу. Столь щедрый жест был рассчитан на мужчин, поэтому Софи Жермен просто взяла себе мужской псевдоним – месье Леблан. Так она получила конспекты лекций и начала делиться своими наблюдениями с одним из преподавателей.

Так же как и Лиза Симпсон, Софи Жермен выдавала себя за мужчину, для того чтобы изучать математику. Следовательно, когда Дольф Старбим выкрикнул: «Нас одурачили, как в случае Йентла!», возможно, было бы уместнее воскликнуть: «Нас одурачили, как в случае Жермен!»

Софи Жермен отправляла свои наблюдения Жозефу Луи Лагранжу, который был не только представителем Политехнической школы, но и одним из самых авторитетных математиков мира. Лагранжа настолько поразил талант месье Леблана, что он потребовал встречи с этим необычайным студентом, что заставило Жермен признаться в обмане. Софи боялась, что Лагранж рассердится на нее, однако, напротив, он был приятно удивлен, что месье Леблан оказался девушкой, и дал ей свое благословение на продолжение учебы.

Теперь Софи Жермен могла создавать себе репутацию женщины-математика. Тем не менее время от времени она использовала свое мужское альтер-эго, когда писала письма математикам, с которыми еще не встречалась и которые в противном случае могли не принять ее всерьез. В частности, Софи стала месье Лебланом в переписке с немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом, автором книги Disquisitiones Arithmeticae («Арифметические исследования») – пожалуй, самого важного и обширного трактата по математике за более чем тысячелетний период. Гаусс отдал должное способностям нового друга по переписке («Я в восторге от того, что арифметика нашла в вашем лице столь способного друга»), при этом даже не догадываясь, что месье Леблан женщина.

Правда раскрылась только тогда, когда в 1806 году армия Наполеона завоевала Пруссию. Жермен очень беспокоилась, чтобы Гаусс, подобно Архимеду, не стал жертвой вооруженного вторжения, поэтому отправила сообщение другу семьи, генералу Жозефу-Мари Пернети, командовавшему наступающими частями. Генерал Пернети обеспечил безопасность Гаусса и объяснил, что он обязан своей жизнью мадемуазель Жермен. Когда Гаусс понял, что Жермен и Леблан – это одно и то же лицо, он написал ей письмо:

«Как мне выразить свое восхищение и искреннее изумление тем, что я узнал: мой высокочтимый корреспондент по переписке месье Леблан перевоплотился в яркую личность, в существование которой трудно даже поверить. Вкус к абстрактной науке вообще, и прежде всего к загадочным числам, чрезвычайно редок, да и неудивительно: призывная красота этой вдохновляющей науки открывается только тем, кто обладает смелостью погрузиться в ее пучины. Но если особа того пола, который в соответствии с традициями и предрассудками, встретив неизмеримо большие преграды, чем мужчина, тем не менее проникает через тернии наиболее сложных проблем, то она несомненно должна обладать огромнейшей смелостью, совершенно экстраординарным талантом и истинной гениальностью. На самом деле ничто не сможет мне столь убедительно доказать, что привлекательность этой науки, которая так украсила мою жизнь радостью, не является химерой, как то, с какой любовью вы относитесь к этой науке».

В области чистой математики самый известный вклад Софи Жермен связан с последней теоремой Ферма. Хотя Жермен не смогла сформулировать ее полное доказательство, она добилась более весомых успехов, чем любой другой математик ее поколения. В связи с этим Институт Франции даже наградил Жермен медалью за достижения.

Кроме того, Жермен интересовалась простыми числами, которые делятся только на 1 и на самих себя. Простые числа можно разделить на разные категории, и одна из них названа в честь Жермен. Простое число p называется простым числом Софи Жермен, если число 2p + 1 тоже простое. Следовательно, число 7 не является простым числом Жермен, поскольку 2 × 7 + 1 = 15, а 15 не простое число. Напротив, 11 – это простое число Софи Жермен, так как 2 × 11 + 1 = 23, а 23 – простое число.

Исследование простых чисел почти всегда считается важным, потому что эти числа, по сути, строительный материал для математики. Подобно тому как все молекулы состоят из атомов, все натуральные числа являются либо простыми числами, либо их произведением. Учитывая тот факт, что простые числа лежат в основе математики, неудивительно, что они представлены в одном из эпизодов «Симпсонов» 2000 года, о котором мы поговорим в следующей главе.

ЭКЗАМЕН II

ЭКЗАМЕН НА УРОВНЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Шутка 1

Вопрос: Какие 10 типов людей существуют в мире?

Ответ: Те, кто понимает, что такое двоичная система, и кто этого не понимает.

1 балл

Шутка 2

Вопрос: Какие тригонометрические функции любят фермеры?

Ответ: Свиньи и косвиньи. (Англ. sine («синус») созвучно со словом swine – «свинья».)

1 балл

Шутка 3

Вопрос: Докажите, что у каждой лошади бесконечное количество ног.

Ответ: У лошади четное количество ног. Позади у нее две ноги, и впереди – передние конечности (англ. forelegs («передние ноги») созвучно с four legs – «четыре ноги»). Всего получается шесть, но это необычное количество ног для лошади (англ. odd number означает «нечетное число», а odd «необычный»). Единственное число, которое может быть и четным, и нечетным, – это бесконечность. Следовательно, у лошади бесконечное количество ног.

2 балла

Шутка 4

Вопрос: Как отвечает математик, когда его спрашивают, что стало причиной смерти его попугая?

Ответ: Полиномил. (Англ. polynomial («многочлен») созвучно с Poly no meal – «Поли не ест».)

2 балла

Шутка 5

Вопрос: Что получится, если скрестить слона с бананом?[32]

Ответ: | слон | × | банан | × sin θ

3 балла

Шутка 6

Вопрос: Что получится, если скрестить комара с альпинистом?

Ответ: Нельзя скрещивать вектор со скаляром.

3 балла

Шутка 7

Однажды Иисус сказал своим ученикам: «Царство небесное подобно 2x²+5x–6». Фома пришел в замешательство и спросил Петра: «Что имеет в виду учитель?» Петр ответил: «Не волнуйся, это просто еще одна его парабола». (Англ. parabola созвучно с parable – «притча».)

2 балла

Шутка 8

Вопрос: Чему равен объем пиццы толщиной a и радиусом z?

Ответ: Pi.z.z.a

3 балла

Шутка 9

Во время совещания по вопросам безопасности в Белом доме министр обороны США Дональд Рамсфельд сообщает трагическую новость: «Господин президент, вчера, оказывая поддержку американским войскам, были убиты три бразильских солдата».

«Боже мой!» – восклицает президент Джордж Буш и роняет голову на руки. Он настолько поражен, что целую минуту хранит молчание. Затем поднимает взгляд, глубоко вздыхает и спрашивает Рамсфельда: «А бразильон – это сколько?» (Англ. brazillian («бразильский») созвучно с brazillion, искаженным bazillion – «невообразимо много».)

3 балла

Всего – 20 баллов

Глава 8

Шоу простых чисел

Сюжетная линия эпизода «Мардж и Гомер спасают чужой брак» (Marge and Homer Turn a Couple Play, сезон 17, эпизод 22; 2006 год) разворачивается вокруг звезды бейсбола по имени Бак Митчелл («Король хоум-рана»), который играет за бейсбольную команду Спрингфилда Isotopes. Когда у них с женой Табитой Викс возникают супружеские проблемы, результативность Митчела на поле начинает падать, поэтому они обращаются к Гомеру и Мардж за советом как к семейным консультантам. После множества неожиданных поворотов действие достигает кульминации на спрингфилдском стадионе, где Табита появляется на экране Jumbo-Vision и прилюдно признается Баку в любви.

Несмотря на то что в этом эпизоде звучит голос Мэнди Мур, есть отсылка к Джерому Дэвиду Сэлинджеру и «Пьете» Микеланджело, зрителей из числа математиков больше всего взволновало появление особого простого числа. Прежде чем рассказывать о нем более подробно, давайте немного отклонимся от темы и познакомимся с двумя математиками, которые натолкнули сценаристов на мысль об отсылке к этому числу. Речь идет о профессоре Аппалачского университета Саре Гринволд и профессоре из Колледжа Санта-Моники Эндрю Нестлере.

Гринволд и Нестлер заинтересовались мультсериалом «Симпсоны» в 1991 году, когда впервые встретились и подружились во время учебы на математическом факультете Пенсильванского университета. Оба как раз начинали работать над докторскими диссертациями и раз в неделю собирались со студентами магистратуры, чтобы посмотреть «Симпсонов» и вместе поужинать. Нестлер хорошо помнит, почему этот сериал им так нравился: «Сценаристы создали двух нердов: профессора Фринка, ученого, и Мартина Принса, одаренного ученика начальной школы. Кроме них была еще главная героиня – Лиза Симпсон, тоже очень умная и любознательная. Наличие этих персонажей придало сериалу нечто такое, из-за чего интеллектуалам хотелось его смотреть, чтобы в каком-то смысле посмеяться над собой».

Спустя некоторое время Гринволд и Нестлер начали собирать различные математические ссылки в «Симпсонах». Помимо шуток про высшую математику, их внимание также привлекли сцены с математикой в контексте обучения. Нестлер вспоминает, что пришел в восторг от фразы Эдны Крабаппл в эпизоде «Малыш Вигги» (This Little Wiggy, сезон 9, эпизод 18; 1998 год), когда самая суровая учительница Спрингфилда поворачивается к классу и говорит: «Чья машинка сосчитает, сколько будет семь на восемь?»

Через какое-то время Гринволд и Нестлер нашли так много математических шуток, что Нестлер решил создать базу данных со сценами, которые могут заинтересовать математиков. По словам Нестлера, для него это было очевидно: «Я по своей природе коллекционер и люблю все каталогизировать. В молодости я собирал визитки. Мое главное хобби – коллекционирование записей Мадонны; в моей коллекции их уже более 2300».

После того как Гринволд и Нестлер получили докторские степени и занялись преподавательской деятельностью, они стали включать сцены из «Симпсонов» в лекции. Нестлер, докторская диссертация которого была посвящена алгебраической теории чисел, использовал материал из мультсериала в своих курсах, охватывающих такие темы, как матанализ, введение в матанализ, линейная алгебра и дискретная математика.

Научные интересы Гринволд, напротив, фокусировались на сферических многообразиях (специальной области геометрии), поэтому она чаще включала геометрические шутки из «Симпсонов» в свой курс под названием «Математика 1010 (Гуманитарная математика)». Например, обсуждала на лекциях начальную сцену на диване (вступительные кадры каждого эпизода заканчиваются такой сценой, причем в ней всегда присутствует какой-то визуальный элемент юмора) из эпизода «Великий Гомер» (Homer the Great, сезон 6, эпизод 12; 1995 год). В ней Гомер и его семья перемещаются по парадоксальной системе лестниц под воздействием трех сил тяжести, каждая из которых перпендикулярна остальным. Эта сцена представляет собой ссылку на «Относительность», знаменитую литографию голландского художника Маурица Корнелиса Эшера, страстно увлеченного математикой вообще и геометрией в частности.

Необычный подход к преподаванию Гринволд и Нестлера, несколько лет подряд использующих сцены из «Симпсонов» в своих курсах, привлек внимание ряда местных СМИ, что вылилось в интервью в программе Национального общественного радио Science Friday («Научная пятница»). Когда сценаристы «Симпсонов» услышали его, они были поражены тем, что их внутренние нердовские шутки упоминаются теперь даже в университетских курсах по математике, и захотели встретиться с этими профессорами и поблагодарить их за увлеченность как математикой, так и «Симпсонами». В итоге Гринволд и Нестлера пригласили на вычитку очередного эпизода, которым как раз и оказался эпизод «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Двадцать пятого августа 2001 года Гринволд и Нестлер слушали вычитку сценария о беспорядочных отношениях между Баком Митчелом и Табитой Викс. Профессора сидели и наслаждались историей, а сценаристы внимательно анализировали каждую строчку, выискивая хорошие шутки, которые можно было бы улучшить, и плохие, которые следовало выбросить. Немного позже в тот же день, после отъезда профессоров, авторы сравнили свои записи и начали предлагать поправки к сценарию. Все согласились с тем, что это сильный эпизод, но в нем есть одно вопиющее упущение – полное отсутствие даже намека на математику!

Казалось невежливым пригласить Гринволда и Нестлер на вычитку сценария из-за их интереса к математике в «Симпсонах», и при этом представить им эпизод, в котором математики не было. Авторы приступили к повторному анализу сценария, сцена за сценой, в поисках подходящего места для вставки математики. В конце концов один из них заметил, что кульминация эпизода позволяет включить ряд интересных цифр.

Перед тем как Табита во всеуслышание признается в любви к Баку на экране Jumbo-Vision, на нем отображается вопрос с несколькими вариантами ответа, предлагающий зрителям догадаться, сколько людей присутствует на стадионе. В предварительном сценарии числа в них были взяты наугад, однако теперь сценаристы решили заменить их числами с особенно интересными свойствами. Когда они справились с задачей, Джефф Уэстбрук написал Саре Гринволд электронное письмо, в котором было сказано следующее: «Просто замечательно, что вы у нас побывали, поскольку это слегка подстегнуло нас, и мы решили включить в эпизод несколько более интересных математических чисел в честь вашего визита».

Изображение на экране Jumbo-Vision из эпизода «Мардж и Гомер спасают чужой брак»

Три особых числа, появившиеся на экране Jumbo-Vision, случайному зрителю показались бы произвольно выбранными и ничем не примечательными, но зрители с математическим складом ума сразу бы поняли, что каждое из них замечательно по-своему.

Первое число 8191 – простое число. В действительности оно относится к особому классу простых чисел, известному как числа Мерсенна. Этот класс назван в честь Марена Мерсенна, который в 1611 году стал членом ордена минимов в Париже и с тех пор делил свое время между молитвами Богу и поклонением математике. Мерсенн проявлял особый интерес к набору чисел вида 2p − 1, где p – любое простое число. В приведенной ниже таблице показано, что произойдет, если подставить все простые числа меньше 20 в формулу 2p −1.

Поразительное свойство этой таблицы состоит в том, что формула 2p − 1, похоже, генерирует числа, которые могут быть простыми. На самом деле все числа в правом столбце простые, за исключением числа 2047, поскольку 2047 = 23 × 89. Другими словами, формула 2p − 1 – это рецепт, использующий в качестве ингредиентов простые числа для образования новых простых чисел. Например, если p = 13, тогда 2¹³ − 1 = 8191, а это и есть простое число Мерсенна, присутствующее в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Числа Мерсенна считаются звездами в мире чисел, так как могут быть очень большими. Некоторые из них относятся к категории титанических простых чисел (имеют более тысячи знаков), некоторые – гигантских простых чисел (более десяти тысяч знаков), а самые большие называют мегапростыми числами (более одного миллиона знаков). Десять наиболее больших известных простых чисел Мерсенна – это самые большие простые числа из когда-либо найденных. Самое большое число Мерсенна (257885161 − 1), которое было открыто в январе 2013 года, имеет свыше семнадцати миллионов знаков[33].

Второе число на экране стадиона, 8128, известно как совершенное число. Совершенство в контексте числа зависит от его делителей, а именно тех чисел, на которые оно делится без остатка. Например, делители числа 10 – 1, 2, 5 и 10. Число считается совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от самого числа. Самое маленькое совершенное число – 6, поскольку 1, 2 и 3 – это его делители, а 1 + 2 + 3 = 6. Второе совершенное число – 28, потому что его делители – 1, 2, 4, 7 и 14, а 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Третье совершенное число – 496, а четвертое – 8128: именно то число, которое появляется в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак».

Об этих четырех совершенных числах знали еще древние греки, однако математикам пришлось больше тысячелетия ждать открытия трех следующих совершенных чисел: 33 550 336 было обнаружено примерно в 1460 году, а затем, в 1588-м, было объявлено об открытии чисел 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Как сказал французский математик XVII столетия Рене Декарт, «совершенные числа, как и совершенные люди, встречаются крайне редко».

Исходя из того, что совершенных чисел очень мало, легко сделать поспешный вывод о существовании их конечного количества. Но тем не менее математики до сих пор не смогли это доказать. Кроме того, все известные совершенные числа четные, поэтому велика вероятность, что и те совершенные числа, которые будут когда-то найдены, также окажутся четными. Но и это пока никто не доказал.

Несмотря на эти пробелы в знаниях, нам все же кое-что известно о совершенных числах. Например то, что четные совершенные числа (а ими могут оказаться все числа такого рода) – это также треугольные числа:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Кроме того, мы знаем, что четные совершенные числа (за исключением числа 6) всегда представляют собой сумму нескольких следующих подряд нечетных чисел, возведенных в третью степень:

28 = 1³ + 3³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

И последнее, но не менее важное замечание: нам известно о существовании тесной связи между совершенными числами и простыми числами Мерсенна. В действительности математики доказали, что каждая из этих групп содержит одно и то же количество чисел, и показали, что каждое число Мерсенна можно использовать для генерирования совершенного числа. Следовательно, всего мы знаем сорок восемь совершенных чисел, потому что знаем только сорок восемь чисел Мерсенна.

Третье число на экране стадиона – 8208 – тоже особенное, поскольку оно относится к категории так называемых самовлюбленных чисел[34]. Оно равно сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству этих цифр:

8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4 = 4096 + 16 + 0 + 4096

Причина, почему это число называют самовлюбленным, заключается в том, что его же собственные цифры используются для генерации самого числа. Создается впечатление, что такое число одержимо собой, почти влюблено в само себя.

Есть масса других примеров самовлюбленных чисел, например 153, которое равно 1³ + 5³ + 3³, однако доказано, что существует их конечное количество. В действительности есть всего восемьдесят восемь самовлюбленных чисел, среди которых самое большое – 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401.

Тем не менее, если мы ослабим ограничения, то появится возможность сгенерировать так называемые сумасбродные самовлюбленные числа. Они могут быть образованы с помощью собственных цифр любым возможным способом. Вот несколько примеров сумасбродных самовлюбленных чисел:

6859 = (6 + 8 + 5)√9

24739 = 2^4 + 7! + 3^9

23328 = 2 × 33! × 2 × 8

Итак, благодаря визиту Гринволд и Нестлера в эпизоде «Мардж и Гомер спасают чужой брак» появились простое число Мерсенна, совершенное число и самовлюбленное число. На протяжении многих лет мультсериал «Симпсоны» оказывал влияние на методику преподавания, теперь же ситуация изменилась на прямо противоположную: профессора оказали влияние на «Симпсонов».

Но почему авторы мультсериала выбрали именно эти числа для демонстрации на экране Jumbo-Vision? Ведь существуют сотни видов интересных чисел, и любые могли бы сыграть свою роль в эпизоде. Например, так называемые числа-вампиры, цифры которых можно разделить таким образом, чтобы образовались два новых числа (известных как «клыки»), произведение которых равно исходному числу. Например, 136 948 – это число-вампир, поскольку 136 948 = 146 × 938. Еще более интересный пример – число 16 758 243 290 880, потому что его клыки можно сформировать четырьмя разными способами:

1675824290880 = 1982736 × 8452080

1675824290880 = 2123856 × 7890480

1675824290880 = 2751840 × 6089832

1675824290880 = 2817360 × 5948208

Если бы сценаристы захотели использовать в высшей степени особенное число, они могли бы выбрать безукоризненное число. Таких чисел всего два, поскольку они должны удовлетворять двум строгим требованиям, имеющим отношение к совершенству. Во-первых, общее количество делителей этого числа должно быть совершенным числом; во-вторых, сумма этих делителей тоже должна быть совершенным числом. Первое безукоризненное число – 12, так как его делители – 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Количество делителей равно 6, а их сумма – 28, причем 6 и 28 – совершенные числа. Второе безукоризненное число – 6 086 555 670 238 378 989 670 371 734 243 169 622 657 830 773 351 885 970 528 324 860 512 791 691 264.

По словам сценаристов, они выбрали число Мерсенна, совершенное число и самовлюбленное число для эпизода «Мардж и Гомер спасают чужой брак» только потому, что все они примерно равны реальному количеству зрителей на бейсбольном стадионе. Кроме того, именно эти числа первыми пришли им в голову. Поправки в сценарий вносились в последнюю минуту, поэтому авторам некогда было долго думать над выбором чисел.

Но теперь, по прошествии времени, я готов поспорить, что сценаристы выбрали самые подходящие числа, поскольку они еще видны на экране в момент появления Табиты Викс, причем каждое из них как будто представляет собой ее точное описание. Будучи одним из наиболее эффектных персонажей «Симпсонов», Табита считает себя совершенной женщиной в расцвете лет[35], поэтому неудивительно, что она – самовлюбленный человек. В действительности в самом начале эпизода Табита, одетая в откровенное платье, вызывающе танцует перед восхищенными бейсбольными фанатами мужа, так что появление сумасбродного самовлюбленного числа на экране стадиона более чем уместно.

* * *

Хотя Гринволд и Нестлер могут показаться исключительными преподавателями, они не единственные, кто обсуждает «Симпсонов» на своих лекциях. Джоэл Сокол из Технологического института Джорджии в курсе лекций под названием «Принятие решений в противостоянии с соперником: практическое применение математической оптимизации» использует слайды с описанием игры «камень, ножницы, бумага», в которую играют герои «Симпсонов». Этот курс лекций посвящен теории игр – области математики, которая занимается моделированием поведения участников в конфликтных ситуациях и партнерских отношениях. Теория игр может помочь нам понять очень многое, от домино до военных действий, от животного альтруизма до переговоров профсоюзов. Точно так же Дирк Матри, экономист Университета штата Пенсильвания, активно интересующийся математикой, использует сцены из «Симпсонов» с игрой «камень, ножницы, бумага», когда рассказывает студентам о теории игр.

На первый взгляд кажется, что «камень, ножницы, бумага» (сокращенно КНБ) – достаточно простая игра, поэтому вас удивит тот факт, что она может представлять какой-либо интерес с точки зрения математики. Тем не менее в руках специалиста по теории игр КНБ становится сложной битвой между двумя соперниками, пытающимися перехитрить друг друга. На самом деле в КНБ много скрытых математических тонкостей.

Но прежде чем их раскрыть, позвольте кратко описать правила игры. В КНБ участвуют два игрока, которые играют по очень простым правилам. Сначала они вместе считают «Раз, два, три…» и на счете «три» показывают рукой один из трех знаков: камень (сжатый кулак), бумага (открытая, плоская ладонь) или ножницы (указательный и средний пальцы образуют букву V). Победитель определяется по принципу «круговой иерархии»: камень затупляет ножницы (побеждает камень); ножницы режут бумагу (побеждают ножницы); бумага заворачивает камень (побеждает бумага). Если оба игрока выбрали один и тот же знак, значит, в этом раунде будет ничья.

За многие столетия в разных культурах сформировались свои варианты этой игры, от индонезийского «слон, человек, уховертка» до «НЛО, микроб, корова», созданного любителями научной фантастики. В последней версии НЛО расчленяет корову, корова поедает микробы, а микробы заражают НЛО.

Хотя каждая культура имеет свои элементы игры, общие правила остаются неизменными. При их наличии можно использовать логику математической теории игр, чтобы определить лучшую стратегию игры. Это было продемонстрировано в эпизоде «Фронт» (The Front, сезон 4, эпизод 19; 1993 год), когда Барт и Лиза играют в КНБ, чтобы решить, чье имя следует указать первым в их совместном сценарии к «Шоу Щекотки и Царапки». Если взглянуть на игру КНБ с точки зрения Лизы, то ее лучшая стратегия зависит от ряда факторов. Например от того, что Лиза знает о сопернике – новичок он или профессионал – и что соперник знает о Лизе, а также какова цель: выиграть или избежать поражения?

Если бы Лиза играла с чемпионом мира, она могла бы воспользоваться стратегией случайного хода, поскольку даже чемпион мира не мог бы предсказать, что она выберет: камень, ножницы или бумагу. Это обеспечило бы Лизе равные шансы на выигрыш, проигрыш или ничью. Однако Лиза играет с братом, а он не чемпион мира по КНБ, поэтому она предпочитает стратегию, основанную на собственном опыте: Барт всегда выбирает камень. В итоге Лиза выбрасывает бумагу, чтобы победить камень Барта. Как и следовало ожидать, ее план срабатывает. Плохая привычка Барта согласуется с результатами исследования, проведенного Всемирным обществом КНБ, которые гласят, что камень – в целом самый популярный знак, особенно среди мальчиков.

Применение правильной стратегии игры, основанной на теории игр, сыграло в свое время ключевую роль, когда японская компания Maspro Denkoh выставила в 2005 году на аукцион свою коллекцию произведений искусства. Для того чтобы решить, с каким аукционным домом заключить многомиллионный контракт, с Sotheby’s или Christie’s, в Maspro Denkoh устроили между их представителями битву по КНБ. Международный директор отдела импрессионизма и современного искусства Christie’s Николас Маклин отнесся к этому настолько серьезно, что попросил совета у своих одиннадцатилетних дочерей-двойняшек. Опыт двойняшек подтверждали результаты исследования Всемирного общества КНБ, поскольку девочки тоже считали, что камень – самый распространенный ход. Более того, они обратили внимание, что продвинутые игроки знают об этом и выбирают в качестве своего хода бумагу. Интуиция подсказывала Маклину, что в Sotheby’s остановятся именно на этой продвинутой стратегии, поэтому посоветовал боссам в Christie’s сделать еще более тонкий ход, выбросив ножницы. Представители Sotheby’s действительно выбрали бумагу, поэтому Christie’s выиграли.

Еще один уровень математических тонкостей возникает, когда мы придаем игре КНБ дальнейший импульс, включив в нее больше вариантов. Прежде всего необходимо подчеркнуть, что любая новая версия КНБ должна иметь нечетное количество вариантов (N). Это единственный способ сбалансировать игру, так как каждый вариант выигрывает и проигрывает равному количеству других вариантов: (N – 1)/2. Следовательно, не существует такой версии КНБ, в которой было бы четыре варианта хода, но есть версия с пятью вариантами, придуманная программистом Сэмом Кассои и ставшая популярной после появления в восьмой серии второго сезона телесериала «Теория большого взрыва» (The Big Bang Theory, 2008 год), под названием «камень, ножницы, бумага, ящерица, Спок» (сокращенно КНБЯСп). Вот круговая иерархия и жесты для игры «камень, ножницы, бумага, ящерица, Спок».

По мере увеличения количества вариантов вероятность ничьей снижается на 1/N. Следовательно, вероятность ничьей в КНБ составляет 1/3, а в КНБЯСп – 1/5. Если кто-то хочет свести вероятность ничьей к минимуму, то самой большой и лучшей версией КНБ будет созданная художником-аниматором Дэвидом Лавлейсом КНБ-101. Она содержит 101 жест и 5050 возможных вариантов ходов, которые однозначно приведут к выигрышу. Например, трясина засасывает грифа, гриф съедает принцессу, принцесса усмиряет дракона, дракон поджигает робота и т. д. Вероятность ничьей составляет 1/101, что меньше одного процента.

Пожалуй, самое интересное математическое событие, произошедшее благодаря изучению игры КНБ, – это изобретение так называемых нетранзитивных игральных костей, сразу же вызвавших к себе повышенный интерес, поскольку на гранях каждой из них обозначены другие цифры:

Мы с вами можем выбрать по одной игральной кости и сыграть ими друг против друга. Выигрывает тот, чья кость покажет большее число. Так как вы думаете, какая кость лучшая?

В приведенных ниже таблицах показано, что происходит с тремя возможными парами костей: (А против Б), (Б против В), (В против А). Из первой таблицы следует, что кость А лучше, чем кость Б, поскольку она выигрывает в 20 из 36 возможных вариантов развития событий. Другими словами, кость А в среднем выигрывает в 56 процентах случаев.

А как насчет пары «кость Б против кости В»? Вторая таблица показывает, что кость Б лучше, так как она выигрывает в 56 процентах случаев.

В реальной жизни мы привыкли к транзитивным отношениям, которые означают, что если А лучше Б, а Б лучше В, то А должно быть лучше В. Тем не менее, бросив кость А против кости В, мы обнаружим, что кость В лучше, потому что она выигрывает в 56 процентах случаев, как показано в третьей таблице. Именно поэтому такие кости названы нетранзитивными: они не подчиняются обычному правилу транзитивности, так же как и ходы в КНБ. Как уже отмечалось выше, правила КНБ подчиняются нетрадиционной круговой иерархии, а не простой иерархии сверху вниз.

Каждая таблица показывает все возможные варианты развития событий, когда две игральные кости выбрасываются друг против друга. В первой таблице, отображающей ситуацию «А против Б», можно увидеть, что верхний левый квадрат отмечен как А и окрашен в светло-серый цвет, поскольку кость А выигрывает, если на ней выпадает число 3, а на кости Б – число 2. В свою очередь нижний правый квадрат отмечен как Б и имеет темно-серый цвет, так как кость Б выигрывает, если на ней выпадает число 9, а на кости А – число 7. С учетом всех возможных комбинаций можно сделать вывод, что кость А выигрывает в среднем в 56 процентах случаев в игре против кости Б.

Нетранзитивные отношения абсурдны и противоречат здравому смыслу, но именно поэтому они и приводят в восторг математиков, будь то авторы «Симпсонов», университетские профессора… или даже самый успешный инвестор в мире, а именно Уоррен Баффет, чистая стоимость активов которого оценивается примерно в 50 миллиардов долларов. В альбоме выпускников Школы Вудро Вильсона 1947 года под фотографией Баффета стоит весьма дальновидная подпись: «Любит математику; будущий фондовый брокер».

Баффет большой поклонник нетранзитивных игральных костей и часто предлагает людям сыграть с ним партию. Он без всяких объяснений вручает сопернику три нетранзитивные кости и просит первым сделать выбор. Сопернику кажется, будто это ставит его в более выгодное положение, поскольку у него есть шанс выбрать «лучшую» кость. Разумеется, лучшей кости просто не существует, и Баффет сознательно уступает первый ход, чтобы иметь возможность выбрать кость, более сильную по сравнению с той, на которую укажет соперник. Это не гарантирует Баффету победу, но существенно повышает ее вероятность.

Когда Уоррен Баффет решил провернуть этот трюк с Биллом Гейтсом, основатель Microsoft сразу же заподозрил неладное. Он достаточно долго изучал кости, а затем вежливо предложил Баффету сделать выбор первым.

Глава 9

До бесконечности и дальше

В эпизоде «Игра до победного конца» (Dead Putting Society, сезон 2, эпизод 6; 1990 год) рассказывается о турнире по мини-гольфу, в финале которого Барт Симпсон играет против Тодда Фландерса, сына соседа Неда Фландерса. Ставки в игре очень высоки, поскольку отца проигравшего ждет незавидная участь: ему придется косить газон победителя в платье своей жены.

Во время напряженной перепалки Гомер и Нед, для того чтобы укрепить свои позиции, апеллировали к бесконечности:

Гомер. Завтра в это время ты наденешь высокие каблуки!

Нед. Нет, ты наденешь.

Гомер. Нет.

Нед. Наденешь.

Гомер: Нет.

Нед. Наденешь.

Гомер. Нет до бесконечности!

Нед. Наденешь до бесконечности плюс один!

Гомер. Ой!

Я спросил сценаристов, кто из них предложил идею этого диалога, но никто так и не вспомнил, что неудивительно, ведь сценарий был написан больше двадцати лет назад. Тем не менее все сошлись во мнении, что эта перепалка двух отцов нарушила весь процесс написания сценария, поскольку породила дискуссию о природе бесконечности. Так все же бесконечность плюс один больше бесконечности или нет? Данное утверждение имеет смысл или оно бессмысленно? Можно ли его доказать?

В ходе поиска ответов на эти вопросы сидевшие за столом математики упомянули имя Георга Кантора, родившегося в Санкт-Петербурге в 1845 году. Кантор был первым математиком, который действительно пытался осмыслить понятие бесконечности. Однако его объяснения носили исключительно технический характер, поэтому миссия интерпретировать результаты исследований Кантора была возложена на блестящего немецкого математика Давида Гильберта (1862–1943). Гильберт умел находить аналогии, которые делали идеи Кантора о бесконечности более удобоваримыми и доступными для понимания.

Одно из самых известных объяснений бесконечности включало в себя воображаемое здание, известное как отель Гильберта – достаточно большое, с бесконечным количеством номеров, обозначенных числами 1, 2, 3 и т. д. В один особенно оживленный вечер, когда все номера заняты, появляется новый гость, не забронировавший номер заранее. К счастью, владелец отеля доктор Гильберт знает, как решить проблему. Он просит всех постояльцев перебраться из текущего номера в следующий. То есть жилец номера 1 переходит в номер 2, жилец из номера 2 – в номер 3 и т. д. У всех гостей по-прежнему есть номера, но номер 1 теперь свободен и в нем может поселиться новый гость. Этот сценарий подразумевает (и тому есть более строгое доказательство), что бесконечность плюс один равна бесконечности – пожалуй, весьма парадоксальный, но все же неоспоримый вывод.

Это значит, что Нед Фландерс неправ, полагая, что он может взять верх над бесконечностью Гомера, прибавив к ней единицу. В действительности Фландерс оказался бы неправ, даже если бы попытался выиграть спор, прибавив бесконечность к бесконечности, что доказывает еще одна сцена из отеля Гильберта.

Отель снова переполнен, и тут прибывает бесконечно большой автобус. Его водитель спрашивает доктора Гильберта, может ли отель вместить всех пассажиров. Гильберт невозмутим. Он просит всех своих нынешних постояльцев перебраться в номер с числом в два раза больше. То есть гость из номера 1 переходит в номер 2, гость из номера 2 переходит в номер 4 и т. д. В результате имеющаяся бесконечность гостей занимает только четные номера, а бесконечное количество нечетных номеров освобождается. Теперь отель сможет предоставить номера для бесконечного количества пассажиров автобуса.

Пример опять кажется парадоксальным. Возможно, вы даже думаете, что это полная бессмыслица, не более чем оторванные от жизни философские рассуждения. Тем не менее выводы по поводу бесконечности представляют собой нечто большее, чем просто софистику. Математики делают их последовательно, шаг за шагом, выстраивая строгий, прочный фундамент.

Эту мысль хорошо иллюстрирует анекдот, в котором ректор университета жалуется на декана физического факультета: «Почему физикам всегда нужно столько денег на лаборатории и оборудование? Почему вы не можете быть как математический факультет? Математикам нужны только карандаши, бумага и корзина для бумаг. Или еще лучше: почему бы вам не быть как философский факультет? Они просят только карандаши и бумагу».

Этот анекдот высмеивает философов, которым не присуща научная строгость математиков. Математика – это кропотливый поиск истины, потому что каждая новая гипотеза подвергается безжалостной проверке, а затем либо вводится в общую схему знаний, либо выбрасывается в корзину для мусора. Некоторые математические концепции бывают абстрактными и загадочными, но даже они должны пройти процесс тщательного анализа.

Таким образом, отель Гильберта наглядно продемонстрировал, что:

бесконечность = бесконечность + 1

бесконечность = бесконечность + бесконечность

Хотя Гильберту удалось избежать в объяснениях специальных математических выкладок, Кантор, для того чтобы сделать свои парадоксальные выводы о бесконечности, был вынужден глубоко погрузиться в математическую организацию чисел, и такое интеллектуальное напряжение не прошло для него бесследно. Кантор страдал от тяжелых приступов депрессии, проводил много времени в больнице и начал верить в то, что находится в непосредственный связи с Богом. В действительности он считал, что это Бог помог ему сформулировать свои идеи, и верил, что бесконечность – это синоним Бога: «Она реализована в наиболее полной форме, в сверхъестественном существе, в Боге; я называю ее Абсолютной бесконечностью, или Абсолютом». Психическое состояние Кантора было отчасти результатом насмешек и критики в его адрес со стороны более консервативных математиков, которые не могли смириться с его радикальными выводами о бесконечности. К большому сожалению, в 1918 году Георг Кантор умер в полной нищете.

После смерти Кантора Гильберт так прокомментировал попытки своего коллеги постичь математику бесконечности: «Бесконечность! С давних пор ни один вопрос так не будоражил человеческую мысль, как этот; ни одна другая идея не действовала на разум столь побуждающе и плодотворно; но и ни одно другое понятие так сильно не нуждается в разъяснении, как бесконечность».

Гильберт ясно дал понять, что в борьбе за постижение бесконечности принимает сторону Кантора: «Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором».

* * *

Помимо математиков, в команду сценаристов «Симпсонов» входили также другие ученые, интересующиеся математикой, например Джоэл Коэн (не имеющий никаких родственных связей с Дэвидом Коэном), изучавший точные науки в Альбертском университете в Канаде; Эрик Каплан, который изучал в Колумбийском университете и в Беркли философию науки; Дэвид Миркин, планировавший стать инженером-электротехником и, прежде чем присоединиться к команде «Симпсонов», окончивший Университет Дрекселя в Филадельфии и работавший в Национальном экспериментальном центре авиационного оборудования. Джордж Мейер получил диплом по биохимии, а затем сфокусировался на математике, безуспешно пытаясь разработать безопасную систему ставок в собачьих бегах. Для мира комедии было настоящим подарком судьбы то, что Мейер бросил эту затею и сделал карьеру в качестве одного из самых авторитетных комедийных сценаристов в Лос-Анджелесе.

Все это говорит о том, что в команде сценаристов «Симпсонов» никогда не было недостатка в людях, желающих вступить в математическую дискуссию в процессе работы над сценарием. Тем не менее, несмотря на явную любовь к отвлеченным темам, авторы сериала понимали, что семинар по поводу бесконечности, Кантора и отеля Гильберта может помешать работе, если проводить его в разгар работы над сценарием. К счастью, было найдено решение проблемы, которое позволяло поощрять математические дискуссии, не нарушая текущий процесс. Таким решением стал математический клуб.

Идея о создании клуба возникла во время разговора, который состоялся в одном из баров Лос-Анджелеса между Мэттом Уорбертоном и Рони Брунн. Уорбертон изучал когнитивную нейробиологию в Гарвардском университете, а затем пришел в команду сценаристов «Симпсонов» и оставался в ней вот уже больше десяти лет, практически с начала выхода сериала на экраны. Брунн имела отношение к миру комедии еще во время учебы в Гарварде и даже была редактором журнала Harvard Lampoon, но после окончания университета сделала карьеру в мире моды и музыки.

«Путь к созданию математического клуба начался с осознания того печального факта, что после окончания университета мой ум стал терять остроту, – объясняет Брунн. – Я завидовала любителям книг, у которых были свои клубы. На самом деле я не очень-то люблю читать романы, но мне требовалась социальная среда для интеллектуальных дискуссий. Однажды вечером в баре я пожаловась Мэтту Уорбертону на явную несправедливость, задавшись вопросом, почему есть клубы любителей книг и нет математического клуба. Он кивнул мне в знак поддержки и продолжил пить свое пиво. Мы поговорили о многочисленных сценаристах «Симпсонов», имеющих математическое образование, и этого оказалось достаточно для того, чтобы я начала действовать».

В противоположность тому, что, возможно, посоветовал бы Брэд Питт, первым правилом математического клуба было как можно больше говорить о математическом клубе. На самом деле его популяризация только приветствовалась. Ключевыми членами клуба стали сценаристы «Симпсонов», но его двери были также открыты для учителей, научных работников и просто жителей Лос-Анджелеса, интересующихся математикой.

Первое заседание клуба состоялось в квартире Брунн в сентябре 2002 года. Вступительную лекцию под названием «Сюрреальные числа» прочитал Дж. Стюарт Бернс, который начал работу над докторской диссертацией по математике перед тем, как стать членом команды «Симпсонов». Коллеги Бренса тоже выступали в математическом клубе с лекциями по таким темам, как «Введение в теорию графов», «Случайный выбор задач в теории вероятностей» и т. д.

Хотя математический клуб представлял собой неформальное объединение друзей и коллег с общими интересами, представленные на его заседаниях лекции зачастую имели безупречную научную репутацию. Кен Килер, лекция которого называлась «Подразбиение квадрата», – один из самых одаренных в математическом плане сценаристов «Симпсонов». Он окончил Гарвардский университет с отличием, что было признанием его блестящего математического таланта, и получил диплом бакалавра в 1983 году. Затем Килер поступил в Стэнфордский университет, чтобы получить диплом магистра по электротехнике, после чего снова вернулся в Гарвард, где защитил докторскую диссертацию по теме «Представление карт и оптимальное кодирование для сегментации изображений» в области прикладной математики. После этого Килера приняли в AT&T Bell Laboratories в Нью-Джерси, на счету сотрудников которых было семь Нобелевских премий. Именно в этот период и пересеклись пути Кена Килера и Джеффа Уэстбрука. Оба работали в одной и той же сфере исследований и совместно написали работу под названием «Укороченное кодирование планарных графов и карт»[36]. Кроме того, Килер и Уэстбрук также были соавторами сценария научно-фантастического телесериала Star Trek: Deep Space Nine («Звездный путь: Глубокий космос 9»), в котором два комика развязали войну, оскорбив своими шутками каждого присутствовавшего в зале инопланетянина.

Численность членов математического клуба неуклонно росла. Иногда, для того чтобы вместить всех желающих, приходилось проводить заседания на улице, используя простыню в качестве экрана проектора. Больше всего членов клуба, порой около ста человек, приходили послушать лекции знаменитых математиков, таких как, например, доктор Рональд Грэм – главный научный сотрудник Калифорнийского института телекоммуникаций и информационных технологий (Cal-(IT)²). Кстати, Грэм написал более двух десятков работ в соавторстве с Палом Эрдешем, а также является главным популяризатором концепции чисел Эрдеша. Кстати, у Грэма есть еще один предмет для гордости – число Грэма – самое большое число из когда-либо использовавшихся в математическом доказательстве, которое он открыл в 1977 году. Чтобы получить представление о его истинном размере, возьмем такую величину, как планковский объем, которая является минимальной единицей объема в физике. Один атом водорода содержит 10^73 таких объемов. Если бы цифры числа Грэма были записаны на ткани космоса таким образом, чтобы каждая цифра занимала один планковский объем, то всей видимой Вселенной оказалось бы недостаточно, чтобы вместить все цифры этого числа. Возможно, вам будет интересно узнать его последние десять цифр: … 2464195387.

Одну из самых запоминающихся лекций прочитал в математическом клубе Дэвид Коэн, создатель последней теоремы Гомера. Выступление Коэна было особенным потому, что он посвятил его научному исследованию, которое провел перед тем, как стать комедийным сценаристом. После окончания Гарвардского университета Коэн один год проработал в Гарвардской лаборатории робототехники, после чего поступил в Калифорнийский университет в Беркли для получения степени магистра компьютерных наук. Во время учебы в Беркли Коэн изучал так называемую задачу блинной сортировки – именно эта тема и легла в основу его лекции в математическом клубе.

Задачу блинной сортировки впервые сформулировал в 1975 году Джейкоб Гудман, геометр из Городского колледжа Нью-Йорка, известный под псевдонимом Гарри Двейтер (англ. Harry Dweighter, созвучно с harried waiter – «обеспокоенный официант»). Он писал:

«В нашем ресторане не очень аккуратный шеф-повар; когда он готовит блины, они получаются разных размеров. Вот почему, когда я отношу блины клиенту, по пути к столику мне приходится переворачивать несколько верхних блинов (так, чтобы самые маленькие были наверху, а самые большие – внизу). Я повторяю это столько раз, сколько нужно (меняя количество переворачиваемых блинов). Если есть n блинов, чему равно максимальное количество переворотов (как функции n), которое мне придется сделать, чтобы расположить блины в правильном порядке?»

Другими словами, если Гомер отправится в Спрингфилдский муниципальный дом блинов, как показано в эпизоде «Запутанный мир Мардж Симпсон» (The Twisted World of Marge Simpson, сезон 8, эпизод 11; 1997 год), и официант принесет ему n блинов разных размеров, уложенных в случайном порядке, то сколько переворотов ему потребуется сделать в самом худшем случае, для того чтобы расположить блины правильно? Число переворотов блинов обозначается как Pn. Задача состоит в том, чтобы найти формулу определения числа Pn.

Задача блинной сортировки сразу же привлекла внимание математиков по двум причинам. Во-первых, было похоже, что она позволит лучше понять способы решения задач по информатике, поскольку перегруппировка блинов имеет много общего с перегруппировкой данных. Во-вторых, эта головоломка казалась достаточно трудной, а математики просто обожают задачи, граничащие с невозможным.

Несколько простых примеров могут пролить свет на эту задачу. Во-первых, чему равно число переворотов, если в наличии всего один блин? Ответ: нулю, поскольку этот блин не может лежать неправильно. Следовательно, P_1 = 0.

Чему равно число переворотов в случае двух блинов? Тут может быть только два варианта: либо их уложили правильно, либо в обратном порядке. Определить худший случай не составит труда, причем потребуется всего один переворот, для того чтобы обеспечить правильное расположение блинов. Следовательно, P_2 = 1.

Далее, чему равно число переворотов в случае трех блинов? Вычислить это немного труднее, так как существует шесть вариантов их исходного порядка. И в зависимости от него число переворотов, необходимое для расположения блинов в правильном порядке, составляет от ноля до трех в самом худшем случае. Следовательно, P_3 = 3.

В большинстве случаев вы сами можете уложить блины в нужном порядке с помощью приемлемого количества переворотов. Однако порой процесс перестановки неочевиден, поэтому ниже показана серия из трех переворотов. В каждом ряду отображен процесс одного переворота, а именно куда следует вставить лопатку и каким будет порядок укладки блинов в результате переворота.

По мере увеличения стопки блинов задача усложняется в связи с ростом количества вариантов исходного порядка расположения блинов, а также числа возможных способов переворачивания. Более того, создается впечатление, что в последовательности чисел, соответствующих количеству переворотов блинов, нет никакой закономерности:

Из-за сложности выполнения всех перестановок и возможных стратегий переворачивания блинов даже очень мощным компьютерам до сих пор не удалось рассчитать число переворотов в случае двадцати блинов. Кроме того, даже три десятилетия спустя никто не смог отказаться от метода решения «в лоб» с помощью компьютера и найти красивое уравнение для определения числа переворотов блинов. На данный момент единственным достижением в решении этой задачи стало выведение формулы определения границ для числа переворотов блинов. В 1979 году было доказано, что верхняя граница для числа переворотов составляет (5n + 5)/3 переворотов. Это значит, что мы можем взять бессмысленно огромное количество блинов (скажем, тысячу) и точно знать, что число переворотов, необходимых для их укладки в порядке возрастания (или убывания) размера, будет меньше, чем:

Таким образом, учитывая, что выполнить треть переворота невозможно, меньше или равно 1668. Этот знаменитый результат, поскольку он был опубликован в работе Христоса Пападимитриу и Уильяма Гейтса, который нам больше известен как Билл Гейтс, основатель компании Microsoft, а эта работа считается его единственной научной публикацией.

В работе Гейтса, написанной им в период учебы в Гарвардском университете, упоминается также более сложный вариант этой задачи. В задаче о подгоревших блинах фигурируют блины, подгоревшие с одной стороны, которые необходимо уложить в правильном порядке, переворачивая так, чтобы подгоревшая сторона оказывалась внизу. Именно эту задачу решил Дэвид Коэн во время учебы в Беркли.

В 1995 году Коэн написал работу по задаче о подгоревших блинах[37], в которой вычислил верхний и нижний пределы числа переворотов подгоревших блинов: от 3n/2 до 2n − 2. Если мы снова используем пример с 1000 блинов, но теперь уже подгоревших, то сможем определить, что число переворотов, необходимых для их укладки подгоревшей стороной вниз, составляет от 1500 до 1998.

Это именно то, что делает сценаристов «Симпсонов» уникальными. Они не только посещают математический клуб, но еще и читают научные лекции и пишут серьезные математические научные работы.

Дэвид Коэн вспомнил историю, которая показывает, как сценаристы порой поражаются сами себе, когда осознают уровень математических знаний своей команды: «Я написал работу о количестве переворотов блинов в соавторстве со своим научным руководителем Мануэлем Блюмом, известным специалистом в области компьютерных наук, и мы отправили ее в журнал Discrete Applied Mathematics. Впоследствии я бросил магистратуру ради написания сценариев для “Симпсонов”. После того как нашу работу приняли, прошел очень большой отрезок времени, прежде чем ее проверили и опубликовали. Таким образом, к моменту ее публикации я уже работал какое-то время в команде “Симпсонов”, и примерно в тот же период туда пришел Кен Килер. Когда в конце концов моя научная статья появилась в журнале, я пришел с ее копией на работу и сказал: “Послушайте, а у меня вышла статья в Discrete Applied Mathematics”. Это произвело впечатление на всех, кроме Кена Килера, который заявил: “Ну да, я тоже опубликовал статью в этом журнале пару месяцев назад”».

С ухмылкой на лице Коэн проворчал: «Вот так вот, я пишу сценарии для “Симпсонов” и даже не могу быть единственным сценаристом сериала, опубликовавшим работу в Discrete Applied Mathematics?»

Глава 10

Теорема страшилы

Как правило, Гомера не считают гигантом мысли; он скорее пользуется репутацией одного из обычных жителей Спрингфилда. В эпизоде «Гомер против восемнадцатой поправки» (Homer vs. the Eighteenth Amendment, сезон 8, эпизод 18; 1997 год) он поднимает тост, который отражает его простую философию жизни: «За алкоголь! Причину и решение всех жизненных проблем!»

Тем не менее время от времени сценаристы все же дают Гомеру оторваться, чтобы исследовать нердовскую сторону его характера. Мы уже видели это в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» 1998 года; кроме того, есть и несколько эпизодов, в которых Гомер демонстрирует, что может быть образцовым гиком. Например, самый авторитетный в мире научный журнал Nature похвалил его за комментарий, сделанный в эпизоде «Забастовка учителей» (The PTA Disbands, сезон 6, эпизод 21; 1995 год). Поймав дочь на попытке построить вечный двигатель, Гомер твердо ставит ее на место: «В этом доме все подчиняется законам термодинамики!»

Помимо бессмысленного повторения самых фундаментальных законов науки, Гомер периодически принимается за реализацию научных программ. В эпизоде «Томак» (E-I-E-I-D’oh, сезон 11, эпизод 5; 1999 год) он становится фермером и разбрызгивает плутоний на своих полях, чтобы увеличить урожайность. Неудивительно, что в результате вырастают растения-мутанты. Гомер называет их томак, поскольку они похожи на томат, но внутри содержат табак.

Этот эпизод вдохновил Роба Бауэра, поклонника «Симпсонов» из штата Орегон, на повторение достижений Гомера. Вместо использования радиоактивного материала он привил корни табака к стеблю томата и стал ждать, что из этого получится. Это была не такая уж сумасшедшая идея, учитывая, что и томаты, и табак принадлежат к семейству пасленовых, а значит, их прививка может привести в результате к тому, что свойства одного растения передадутся другому. На самом деле в листьях томата Бауэра действительно присутствовал никотин, а это доказывает, что научный факт может быть почти таким же причудливым, как и научная фантастика.

Сценаристы стимулировали расцвет интеллекта Гомера и в эпизоде «Они спасли мозг Лизы», о котором шла речь в главе 7. После того как Стивен Хокинг увозит Лизу от разъяренной толпы, действие перемещается в бар Мо, где беседуют профессор Хокинг и Гомер. На ученого производят впечатление идеи Гомера по поводу космологии: «Гомер, твоя теория пончикообразной Вселенной заинтриговала меня. Я ее у тебя украду».

Хотя это звучит нелепо, но специалисты по космологии с математическим складом ума утверждают, что Вселенная действительно могла бы иметь структуру пончика. Для того чтобы объяснить вероятность такой геометрии, давайте упростим Вселенную, представив себе, что все космическое пространство стало плоским в результате перехода из трех– в двухмерное измерение, так что все сущее расположено на листе. Здравый смысл подсказывает, что этот вселенский лист должен быть плоским и простираться до бесконечности во всех направлениях. Однако космология редко согласуется со здравым смыслом. Эйнштейн учил нас, что пространство может искривляться, что в результате приводит к самым разным сценариям развития событий. Например, представьте себе, что лист Вселенной не бесконечен, а имеет четыре края и напоминает скорее большой прямоугольный лист резины. Далее вообразите, что вы соединяете две его длинные стороны так, чтобы образовать цилиндр, а затем соединяете два конца этого цилиндра, чтобы весь лист превратился в пустотелый пончик. Это и есть та модель Вселенной, которую обсуждали Хокинг и Гомер.

Если бы вы жили на поверхности этой пончикообразной Вселенной, то могли бы перемещаться по серой стрелке и в конце концов вернуться в исходное положение. Вы могли бы также отправиться по черной стрелке и снова оказались бы там, откуда начали движение. Пончикообразная Вселенная ведет себя как космическое пространство в популярной видеоигре Asteroids компании Atari. Если корабль игрока летит на восток, то он исчезает с экрана с правой стороны и снова появляется с левой. Точно так же, если корабль отправляется на север, он доходит до верхнего края экрана, после чего появляется в нижней его части, опять вернувшись в отправную точку.

Безусловно, мы проанализировали эту теорию только в контексте двух измерений, но согласно законам физики трехмерную Вселенную тоже можно свернуть в цилиндр, образуя своего рода пончик. Человеку, не имеющему отношения к математике, почти невозможно представить себе такие манипуляции с трехмерным пространством, но Хокинг и Гомер понимают, что пончик – это идеальная, вполне жизнеспособная, реальная форма для Вселенной. Британский ученый Джон Бердон Сандерсон Холдейн (1892–1964) однажды сказал: «Подозреваю, что Вселенная не только причудливее, чем мы себе представляем, но и причудливее, чем мы можем представить».

В других эпизодах сценаристы создают то или иное триггерное (переключающее из одного положения в другое) событие, которое стимулирует мозг Гомера, что, в свою очередь, позволяет ему добиваться успехов в математике. В эпизоде «ГОМР» (HOMR, сезон 12, эпизод 9; 2001 год) Гомер удаляет из своего мозга карандаш и вдруг осознает, что может использовать высшую математику, чтобы доказать, что Бога не существует. Он показывает доказательство своему богобоязненному соседу Неду Фландерсу, который сначала с подозрением относится к заявлению Гомера, что Бог исчезает под натиском логики. Но затем Фландерс анализирует доказательство и бормочет: «Ну-ка посмотрим… Может быть, он ошибся… Нет. Все верно. Эту бумагу никто не должен видеть». Фландерсу не удается найти ни одной ошибки в доказательстве Гомера, поэтому он решает сжечь лист, на котором оно написано.

Эта сцена отдает дань уважения одному из самых известных случаев в истории математики, когда величайший математик XVIII столетия Леонард Эйлер сделал вид, что доказал нечто противоположное выводу Гомера, а именно – что Бог существует. Инцидент произошел в тот период, когда Эйлер находился при дворе Екатерины Великой в Санкт-Петербурге. Екатерину и ее придворных все больше беспокоило влияние гостившего у них французского философа Дени Дидро, который был убежденным атеистом и, по слухам, приходил в ужас от математики. Эйлера попросили составить фальшивое уравнение, которое бы доказывало существование Бога и положило конец ереси Дидро. Когда Эйлер обнародовал это уравнение, Дидро потерял дар речи. После этого он стал объектом насмешек всего Петербурга и вскоре попросил разрешения вернуться в Париж.

Мозг Гомера получает еще один временный стимул в эпизоде «$прингфилд (или как я перестал бояться и полюбил легальные азартные игры)» ($pringfield (Or, How I Learned to Stop Worrying and Love Legalized Gambling), сезон 5, эпизод 10; 1993 год). В самом начале эпизода Генри Киссинджер (в какой-то мере необъяснимо) совершает прогулку по территории места работы Гомера, Спрингфилдской атомной электростанции. К сожалению, бывший госсекретарь США роняет свои фирменные очки в унитаз, когда заходит в один из туалетов электростанции. Будучи слишком робким, чтобы вытащить их оттуда, и слишком смущенным, чтобы попросить кого-то о помощи, Киссинджер бормочет себе под нос: «Никто не должен знать, что я упустил их в унитаз. Только не я, человек, написавший проект Парижского мирного соглашения».

Вскоре в ту же туалетную кабинку заходит Гомер и обнаруживает в унитазе очки. Разумеется, он не может не вытащить их оттуда, после чего очки как будто наделяют его силой разума Киссинджера. Все еще находясь в туалете, Гомер начинает как заведенный повторять математическую формулу:

Сумма квадратных корней[38] любых двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню оставшейся стороны.

На первый взгляд может показаться, что это простое проговаривание теоремы Пифагора, но в действительности это не так по нескольким причинам. Настоящая теорема Пифагора гласит:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов смежных сторон.

Самое очевидное различие состоит в том, что утверждение Гомера касается равнобедренного треугольника, тогда как теорема Пифагора описывает прямоугольный треугольник. Возможно, вы еще со школы помните, что равнобедренный треугольник имеет две стороны одинаковой длины, тогда как прямоугольный треугольник может иметь стороны любой длины, если один его угол прямой.

В утверждении Гомера есть еще две проблемы. Во-первых, он говорит о «квадратных корнях» сторон треугольника, тогда как в теореме Пифагора идет речь о квадратах сторон. Во-вторых, теорема Пифагора устанавливает зависимость между гипотенузой (самой длинной стороной прямоугольного треугольника) и двумя катетами, тогда как Гомер ставит «любые две стороны» равнобедренного треугольника в зависимость от «оставшейся стороны». В качестве «любых двух сторон» могут выступать либо две равные стороны, либо одна из равных сторон и неравная сторона.

Представленные ниже рисунки и уравнения подытоживают и подчеркивают различия между утверждением Гомера и теоремой Пифагора. Гомер взял стандартный фрагмент математической информации и изменил его, тем самым создав новый вариант теоремы Пифагора, а именно гипотезу Симпсона. Различие между теоремой и гипотезой состоит в том, что истинность первой доказана, тогда как вторая и не доказана, и не опровергнута… пока.

Гипотеза Симпсона касается всех равнобедренных треугольников, а значит, если мы попытаемся ее доказать, то должны продемонстрировать, что она верна для бесконечного множества треугольников. А для того чтобы опровергнуть гипотезу Симпсона, нам будет достаточно найти всего один треугольник, противоречащий ей. Поскольку опровержение кажется более легким, чем доказательство, давайте посмотрим, сможем ли мы найти такой треугольник.

Возьмем равнобедренный треугольник с двумя сторонами длиной 9 и основанием с длиной 4. Равна ли сумма квадратных корней любых двух сторон этого треугольника квадратному корню оставшейся стороны?

√9 + √9 = √4 подразумевает, что 3 + 3 = 2, что неверно

√9 + √4 = √9 подразумевает, что 3 + 2 = 3, что тоже неверно

В обоих случаях квадратные корни не дают в сумме нужное число, стало быть, гипотеза ошибочна.

Очевидно, что это не звездный час Гомера, но все же не судите его слишком строго, особенно учитывая, что он был под влиянием очков Киссинджера. В действительности если кто-то и виноват, так это сценаристы.

Джош Вайнштейн, который был ведущим сценаристом этого эпизода вместе с Биллом Окли, рассказывал, как создавалась эта сцена и почему она содержала столь бессмысленную гипотезу: «Эта шутка развивалась в обратном порядке, поскольку нам было нужно, чтобы босс Гомера мистер Бернс считал его умным человеком. Мы подумали: “Как же он может прийти к мысли, что Гомер умен? Было бы смешно, если бы он нашел очки в унитазе. А кому должны принадлежать эти очки? Генри Киссинджеру!” Нам нравится Генри Киссинджер (и все, что касается эпохи Никсона), и мы решили, что именно он подходит на роль человека, который бы подружился с мистером Бернсом».

Далее в сценарий необходимо было включить фразу, которая продемонстрировала бы обретенную Гомером уверенность в собственном интеллекте. Когда команда авторов приступила к работе, один из них вспомнил, что у произошедшего с Гомером случая много общего с одной из финальных сцен художественного фильма 1939 года «Волшебник страны Оз»[39]. Когда Дороти идет по желтой кирпичной дороге к волшебнику страны Оз, ее сопровождает Трусливый лев, мечтающий стать храбрым, Железный дровосек, рассчитывающий получить сердце, и Страшила, который надеется обрести разум. Принято считать, что Страшила олицетворяет собой типичный образ канзасского фермера: простого, но достойного человека, который, вероятно, мог бы быть очень умным, но у него нет формального образования. Когда в конце концов они находят волшебника, тот не может дать Страшиле мозг, но выдает ему диплом, и именно в этот момент Страшила произносит: «Сумма квадратных корней любых двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню оставшейся стороны».

Следовательно, Гомер цитирует фразу, впервые произнесенную Страшилой из «Волшебника страны Оз». То есть гипотеза Симпсона это на самом деле гипотеза Страшилы. Сценаристы «Симпсонов» использовали ту же математическую псевдогипотезу, так как оба факта (то, что Гомер нашел очки Киссинджера, и то, что Страшила получил диплом) оказали одинаковое влияние на героев, поскольку впоследствии и Гомер, и Страшила обрели уверенность в своих умственных способностях.

Только крохотная доля зрителей заметила, что Гомер повторяет гипотезу Страшилы. Их лучше всего описать как людей, занимающих в диаграмме Венна область пересечения между множеством страстных поклонников фильма «Волшебник страны Оз» и множеством математиков. В эту область входят Джеймс Йик, Анахита Рафи и Чарльз Бисли – студенты факультета математики и компьютерных наук Государственного университета Огасты, досконально изучившие оригинальную сцену из фильма «Волшебник страны Оз». В частности, они поставили под сомнение теорию о том, что Страшила должен был озвучить теорему Пифагора, но актер Рэй Болджер, игравший эту роль, случайно допустил ошибку, на которую никто не обратил внимания, пока не стало слишком поздно. Студенты утверждают, что сценаристы «Волшебника страны Оз» специально исказили теорему Пифагора: «Мы считаем, что это была умышленная диверсия, о чем говорит скорость, с которой актер произносит эту фразу, а также наличие трех очевидных ошибок в формулировке теоремы… Значит ли это, что сценаристы пытались тем самым высказать свое мнение по поводу реальной ценности дипломов? Пытались ли они подчеркнуть отсутствие истинных знаний у зрительской аудитории в целом, давая своей маленькой внутренней шуткой понять, что все мы своего рода “страшилы”?»

Каким бы ни было происхождение гипотезы Страшилы и стоящие за этим мотивы, она безусловно ложная, но при этом все же вдохновила троих математиков из Огасты на изучение противоположной гипотезы, которая гласит:

Сумма квадратных корней любых двух сторон равнобедренного треугольника никогда не равна квадратному корню оставшейся стороны.

Так верна ли гипотеза Йика, Рафи и Бисли? Мы можем это установить, проверив два уравнения. Начнем с уравнения (1), записав его в другом виде:

√a + √a ≠ √b

2√a ≠ √b

4a ≠ b

Последнее уравнение гласит, что длина a никогда не может составлять четверть длины b. В действительности так и должно быть, поскольку a должно быть больше ½b, иначе три стороны треугольника не соприкоснутся друг с другом. Беглый взгляд на представленный выше треугольник позволяет понять очевидность этого вывода.

Продемонстрировав истинность уравнения (1), проверим уравнение (2):

√a + √b ≠ √a

√b ≠ 0

b ≠ 0

Другими словами, согласно уравнению (2) основание равнобедренного треугольника не может иметь нулевую длину. Это действительно так, поскольку в противном случае у нас был бы треугольник всего с двумя сторонами, и они наложились бы друг на друга, а значит, мы получили бы треугольник только с одной стороной!

Таким образом, мы можем быть уверены, что сумма квадратных корней любых двух сторон равнобедренного треугольника никогда не будет равна квадратному корню оставшейся стороны. Это не такое уж глубокомысленное открытие, но тем не менее оно позволяет присвоить данному варианту гипотезы Страшилы статус теоремы.

* * *

Гипотеза Симпсона оказалась не чем иным, как гипотезой Страшилы, которая в любом случае ложная. Однако для семейства Симпсонов должно стать утешением то, что несколько важных (и верных) математических концепций носят их имя.

Например, парадокс Симпсона считается одним из самых непостижимых в математике. Он был изучен и популяризирован Эдвардом Симпсоном, который начал интересоваться статистикой в период работы в Блетчли-Парке, секретной штаб-квартире британского шифровального подразделения времен Второй мировой войны.

Одна из наиболее ярких иллюстраций парадокса Симпсона касается закона США о гражданских правах 1964 года – исторического документа, направленного на решение проблемы дискриминации. В частности, этот парадокс возникает в ходе тщательного анализа данных о результатах голосования республиканцев и демократов по поводу принятия закона в палате представителей США.

Демократы северных штатов США отдали за закон 94 процента голосов, тогда как республиканцы – всего 85 процентов. Следовательно, в северных штатах США за принятие закона проголосовало больше демократов, чем республиканцев.

В южных штатах за данный закон демократы отдали 7 процентов голосов, тогда как республиканцы – 0 процентов. То есть на юге США также проголосовало больше демократов, чем республиканцев.

Таким образом, напрашивается очевидный вывод: демократы продемонстрировали более активную поддержку Закона о гражданских правах, чем республиканцы. Однако если объединить данные по южным и северным штатам, получится, что за принятие закона проголосовали 80 процентов республиканцев и 61 процент демократов.

Другими словами, я утверждаю, что на севере и юге в отдельности демократы отдали больше голосов в поддержку закона, чем республиканцы, но в совокупности республиканцы опережают демократов! Как бы абсурдно это ни звучало, это бесспорный факт. В этом и состоит парадокс Симпсона.

Для того чтобы понять смысл данного парадокса, целесообразно проанализировать не проценты, а фактическое количество голосов. Демократы северных штатов отдали в поддержку закона 145 из 154 голосов (94 процента), тогда как республиканцы – 138 из 162 голосов (85 процентов). В южных штатов картина такая: демократы – 7 из 94 голосов (7 процентов), республиканцы – ноль из 10 голосов (0 процентов). Как уже было сказано, поддержка закона демократами на первый взгляд кажется более сильной, чем республиканцами, причем как на севере, так и на юге. Тем не менее в масштабах всей страны тенденция меняется на противоположную, поскольку за принятие закона проголосовали 152 из 248 демократов (61 процент) и 138 из 172 республиканцев (80 процентов).

Так как же нам объяснить этот пример парадокса Симпсона? Здесь есть четыре момента, которые проливают свет на загадку парадокса. Во-первых, сравнивая результаты голосования республиканцев и демократов, мы должны анализировать всю совокупность данных (в целом по стране). Это позволит прийти к заключению, что республиканцы поддержали Закон о гражданских правах более активно, чем демократы. Таким и должен быть окончательный вывод.

Во-вторых, хотя наша задача – проанализировать разницу между результатами голосования республиканцев и демократов, реально поражают различия между представителями северных и южных штатов независимо от того, к какой политической партии они принадлежат. В северных штатах США закон получил примерно 90-процентную поддержку, тогда как в южных она составила всего 7 процентов. Когда мы фокусируемся на одной переменной (например, демократы в сравнении с республиканцами), уделяя меньше внимания более важной переменной (например, север в сравнении с югом), то ее часто называют скрытой переменной.

В-третьих, во многих ситуациях проценты действительно имеет смысл использовать для сравнения, но в данном случае, начав с анализа одних только процентов, мы не приняли во внимание фактическое количество голосов, из-за чего не смогли оценить значимость определенных результатов. Например, 0 процентов голосов в пользу принятия закона, отданных республиканцами южных штатов, кажутся заслуживающими осуждения, но ведь южные штаты представлены всего 10 республиканцами; и если бы хоть один из них проголосовал за принятие закона, то поддержка южных республиканцев возросла бы с 0 до 10 процентов и превзошла бы поддержку демократов, составившую всего 7 процентов.

И последний, самый важный фрагмент этих данных – результаты голосования южных демократов. Ключевой момент здесь состоит в том, что в южных штатах поддержка закона была гораздо меньше, чем в северных, и южные штаты избирали преимущественно демократов, слабая поддержка закона которыми снизила средний показатель для всех представителей Демократической партии. Именно этим объясняется разворот тенденции в случае анализа всей совокупности данных.

Показательно, что результаты голосования за принятие Закона о гражданских правах 1964 года не относятся к числу редких статистических странностей. Подобный разворот тенденции в процессе интерпретации данных, который называют парадоксом Симпсона, создает путаницу во многих ситуациях, от спортивной статистики до медицинских данных.

Прежде чем закончить эту главу, хочу обратить ваше внимание на то, что в мире математики есть и другие Симпсоны. Например, имя Симпсон увековечено в так называемом правиле Симпсона – методе математического анализа, позволяющем рассчитать площадь под любой кривой. Этот метод назван по имени британского математика Томаса Симпсона (1710–1761), который в возрасте пятнадцати лет стал преподавателем математики в английском городе Нанитон. Восемь лет спустя, по данным историка Никколо Гуиччардини, он совершил одну из тех ошибок, которая может случиться с каждым из нас, и был «вынужден бежать в 1733 году в Дерби после того, как он или его помощник напугал девушку, одевшись как дьявол во время астрологического сеанса».

Безусловно, есть еще и теорема Карлсона-Симпсона, не требующая разъяснений; достаточно упомянуть о том, что она содержит принципы раскрашивания, о которых идет речь в теореме Хейлса-Джюитта, и используется в доказательстве Фюрстенберга-Кацнельсона. Но я уверен, что мне нет необходимости рассказывать вам об этом.

И наконец, не стоит забывать и о теореме Барта[40].

ЭКЗАМЕН III

ЭКЗАМЕН НА УРОВНЕ СТАРШИХ КУРСОВ УНИВЕРСИТЕТА

Шутка 1

Вопрос: Почему программисты путают Хеллоуин с Рождеством?

Ответ: Потому что oct. 31 = dec. 25. (Восьмеричное (octal) число 31 равно десятичному (decimal) числу 25.)

2 балла

Шутка 2

Если Телепузики – это продукт времени и денег, тогда:

Телепузики = время × деньги, но время = деньги

⇒ Телепузики = деньги × деньги

⇒ Телепузики = деньги²

Деньги – корень всего зла, следовательно, деньги = √зла, а значит, деньги² = зло

⇒ Телепузики = зло

(Англ. product означает «продукт», а также «произведение».)

4 балла

Шутка 3

Вопрос: Насколько трудно считать в двоичной системе счисления?

Ответ: Легко: 01 10 11.[41]

2 балла

Шутка 4

Вопрос: Почему не стоит смешивать алкоголь и матанализ?

Ответ: Потому что не следует пить и брать производную. (Англ. derive («брать производную») созвучно с drive – «вести автомобиль».)

2 балла

Шутка 5

Студент: «Что вы больше всего любите в математике?»

Профессор: «Теорию узлов».

Студент: Да-да, я тоже.

(Англ. knot theory («теория узлов») созвучно с not theory – «не теория».)

2 балла

Шутка 6

Когда после потопа ковчег в конце концов причаливает к берегу, Ной выпускает всех животных и говорит им: «Идите и размножайтесь».

Несколько месяцев спустя Ной с радостью видит, что все создания размножаются, кроме пары змей, у которых по-прежнему нет потомства. Ной спрашивает: «В чем проблема?» Змеи обращаются к Ною с простой просьбой: «Пожалуйста, сруби несколько деревьев и позволь нам там жить».

Ной выполняет просьбу, оставляет змей одних на несколько недель, а затем возвращается. Как и следовало ожидать, у змей родилось много змеенышей. Ной спрашивает, зачем нужно было рубить деревья, и змеи отвечают: «Мы – гадюки; нам нужны бревна, чтобы размножаться».

(«Размножаться» – multiply, означает также «умножать»; «гадюка» – adder, означает также «сумматор»; «бревно» – log, также означает «логарифм».)

4 балла

Шутка 7

Вопрос: Если , тогда чему равно

Ответ:

4 балла

Всего – 20 баллов

Глава 11

Математика в режиме стоп-кадра

Комедийный мультсериал «Флинтстоуны», впервые вышедший на экраны в 1960 году, состоял из 166 эпизодов, демонстрируемых на протяжении шести сезонов, и стал самым успешным сериалом прайм-тайма на канале ABC. Однако после этого вплоть до 1989 года больше ничего подобного не создавалось, пока «Симпсоны» не начали свой долгий триумфальный путь из пяти сотен эпизодов. Доказав, что комедийные мультсериалы могут быть интересны как детям, так и взрослым, «Симпсоны» способствовали выходу сериалов «Гриффины» (Family Guy) и «Южный парк» (South Park). Кроме того, Мэтт Грейнинг и его команда сценаристов доказали, что комедии вполне могут обойтись без смеха за кадром, что создало условия для появления таких сериалов, как «Офис» Рики Джервейса.

Еще одним новаторским аспектом «Симпсонов», по мнению сценариста Патрика Веррона, стала популяризация шуток в режиме стоп-кадра: «Если они и не были изобретены в “Симпсонах”, то уж точно были усовершенствованы. Такие шутки остаются незамеченными при просмотре в обычном режиме, поэтому, чтобы их увидеть, необходимо остановить кадр. Многие шутки представляют собой просто названия книг или знаки. Подобные вещи трудно включить в игровой фильм».

Шутки в режиме стоп-кадра (которые могут длиться буквально на протяжении одного-единственного кадра или порой чуть дольше) включались в эпизоды «Симпсонов» с самого начала. В «Барте – гение», первом полноценном эпизоде «Симпсонов», мы видим библиотеку, в которой есть «Илиада» и «Одиссея». Но моргните – и вы пропустите их. Разумеется, прикол в том, что эти древнегреческие тексты написаны Гомером.

Шутки в режиме стоп-кадра позволяли увеличить комедийную насыщенность сериала и включать в эпизоды скрытые ссылки, которые были настоящей наградой для зрителей, обладающих знаниями в соответствующей области. В этом же эпизоде один из учеников на мгновение демонстрирует ланчбокс с изображением Анатолия Карпова. Карпов был чемпионом мира по шахматам с 1975 по 1985 год. Еще он установил рекорд как продавец самой дорогой марки из Бельгийского Конго, ушедшей с аукциона в 2011 году за 80 000 долларов. Если зритель не заметил шутку, он ничего не потерял. Однако если хотя бы один человек увидел и оценил ее, то, по мнению сценаристов, это стоило затраченных усилий.

По большому счету, шутки в режиме стоп-кадра – это продукт научно-технического прогресса. В 1989 году, когда были запущены «Симпсоны», примерно у 65 процентов американских семей были видеомагнитофоны. Это означало, что поклонники сериала могли смотреть эпизоды по несколько раз и делать паузу на тех сценах, в которых они заметили что-то забавное. В тот же период примерно у 10 процентов семей были домашние компьютеры, а некоторые даже имели доступ к интернету. В следующем году появилась группа новостей Usenet alt.tv.simpsons, которая позволяла поклонникам сериала делиться, среди прочего, найденными шутками в режиме стоп-кадра.

По мнению автора книги Planet Simpson («Планета Симпсон») Криса Тернера, самая радикальная версия юмора в режиме стоп-кадра присутствует в эпизоде «Гомер – плохой человек» (Homer Badman, сезон 6, эпизод 9; 1994 год), в котором шоу расследований под названием «Голые факты» ошибочно обвиняет Гомера в сексуальных домогательствах. Ведущий шоу Годфри Джонс вынужден в прямом эфире принести извинения и опубликовать список поправок, представленный в форме текста, быстро прокручивающегося по экрану. Обычный зритель видит лишь размытое изображение, но в этот текст включено тридцать четыре шутки за четыре секунды, причем написаны они достаточно разборчиво, чтобы любой желающий мог остановить эпизод и прочитать текст кадр за кадром.

ШУТКИ ИЗ «СИМПСОНОВ» В РЕЖИМЕ СТОП-КАДРА

«ГОМЕР – ПЛОХОЙ ЧЕЛОВЕК» (HOMER BADMAN, СЕЗОН 6, ЭПИЗОД 9; 1994 ГОД)

Строки из списка поправок «Голых фактов»:

«Если вы это читаете, значит, вы не живете настоящей жизнью».

«Наши зрители – не жалкие существа, у которых нет секса и которые только пожирают пищу перед телевизором».

«Куэйл знает общие правила гигиены».

«Люди, которые это пишут, не живут полноценной жизнью».

«МОШЕННИЧЕСТВО СО СТРАХОВКОЙ» (DUMBBELL INDEMNITY, СЕЗОН 9, ЭПИЗОД 16; 1998 ГОД)

Надпись на стене бара «Диско Стью»:

«Вы должны быть хотя бы немного смуглыми, чтобы сюда войти».

«ЖИР И ТАНЦЫ» (LARD OF THE DANCE, СЕЗОН 10, ЭПИЗОД 1; 1990 ГОД)

Название торгового предложения «Продажа зимнего безумия»

«Товары для вечеринки от Доннера»

«БАРТ ПРОТИВ ЛИЗЫ ПРОТИВ ТРЕТЬЕГО КЛАССА» (BART VS. LISA VS. THE THIRD GRADE, СЕЗОН 14, ЭПИЗОД 3; 2002 ГОД)

Название книги Лизы

«Любовь во времена книжек-раскрасок»

«ДЕНЬ СОЗАВИСИМОСТИ» (CO-DEPENDENT’S DAY, СЕЗОН 15, ЭПИЗОД 15; 2004 ГОД)

Вывеска на Первой церкви Спрингфилда

«Мы приветствуем другие религии (просто шутка)»

«ДВЕ МАМЫ БАРТА» (BART HAS TWO MOMMIES, СЕЗОН 17, ЭПИЗОД 14; 2006 ГОД)

Вывеска на Съезде левшей

«Сегодня проводится семинар: “Амбидекстрия: неприятие левшей?”»

Важно отметить, что шутки в режиме стоп-кадра открыли для сценаристов «Симпсонов» из числа математиков возможность включать в эпизоды некоторые ссылки для истинных нердов. Например, в эпизоде «Полковник Гомер» (Colonel Homer, сезон 3, эпизод 20; 1991 год) впервые появляется кинотеатр Спрингфилда. Внимательные зрители обратят внимание на то, что он называется «Гуголплекс». Для того чтобы оценить эту аллюзию, необходимо вернуться в 1938 год, к разговору американского математика Эдварда Казнера со своим племянником Милтоном Сироттой. Казнер вскользь упоминает, что было бы неплохо найти термин для описания числа 10^100 (10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000). И девятилетний Милтон предлагает слово «гугол».

В книге Mathematics and the Imagination («Математика и воображение») Казнер приводит продолжение разговора с племянником: «Тогда же, когда он предложил слово “гугол”, он дал имя еще большему числу: “гуголплекс”. Гуголплекс гораздо больше, чем гугол, но все же это число конечно, как сразу уточнил сам изобретатель этого термина. Он предположил, что гуголплекс должен быть равен 1 с таким последующим количеством нулей, которое можно написать, пока не надоест».

Казнер справедливо заметил, что в таком случае гуголплекс будет произвольным и субъективным числом, поэтому предложил принять его более точное значение – 10гугол. Это число представляет собой 1 с гуголом нулей, что гораздо больше количества нулей, которые можно поместить на одной странице размером с обозримую Вселенную, даже если использовать самый мелкий шрифт.

В наши дни термины гугол и гуголплекс широко известны, поскольку Ларри Пейдж и Сергей Брин использовали слово «гугол» в качестве названия своей поисковой системы. Правда, они отдали предпочтение его более распространенному неправильному написанию, поэтому компания называется Google, а не Googol. Такое название подразумевает, что поисковая система обеспечивает доступ к огромному количеству информации. Как и следовало ожидать, главный офис компании Google нарекли Googleplex.

Сценарист «Симпсонов» Эл Джин вспоминает, что шутки в стоп-кадре с кинотеатром «Гуголплекс» в Спрингфилде не было в первоначальном варианте сценария эпизода «Полковник Гомер». Он убежден, что ее включили во время совместной правки сценария – именно на этом этапе авторы из числа математиков обычно оказывают свое влияние: «Да, я определенно принимал во всем этом участие. Насколько я помню, я не предлагал идею гуголплекса, но совершенно точно смеялся над этим. Идея возникла из-за всех этих кинотеатров, которые называют октоплексами и мультиплексами. Помню, когда я учился в начальной школе, умники постоянно говорили о числе гугол. Эту шутку определенно придумали во время редактирования сценария».

Майк Рейсс, который работал с Джином над «Симпсонами» с самого первого сезона, считает, что спрингфилдский «Гуголплекс», возможно, его идея для шутки в стоп-кадре. Рейсс вспоминает, что когда кто-то из коллег-сценаристов назвал эту шутку слишком трудной для понимания, он начал активно ее защищать: «Кто-то сделал замечание, что я предлагаю шутку, которую никто не поймет, но она все же осталась… Это была совершенно безобидная шутка: насколько смешным может быть такое название для кинотеатра?»

Еще одна шутка в режиме стоп-кадра присутствует в эпизоде «ДеньгоБАРТ». В действительности вы уже могли ее заметить в кадре, представленном на рисунке в главе 6. Ниже этот кадр показан крупным планом, что наверняка поможет вам найти представленную в нем остроту.

THE SIMPSONS™ и © 1990 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Когда Лиза, пытаясь стать первоклассным бейсбольным тренером, обкладывается стопкой книг, мы видим среди них книгу с корешком, на котором написано: eiπ + 1 = 0. Если вы изучали математику помимо средней школы, то узнаете в этой формуле уравнение Эйлера, которое еще называют тождеством Эйлера. Объяснение этого уравнения имеет уровень сложности, выходящий за рамки данной главы, тем не менее его элементарное и достаточно формальное объяснение можно найти в Приложении 2. Между тем мы с вами сфокусируемся на первом элементе уравнения – особом маленьком числе, известном как e.

Число e было открыто в ходе изучения математиками одного интересного аспекта такого достаточно скучного вопроса, как банковский процент. Представьте себе простой инвестиционный сценарий, когда человек вкладывает 1 доллар на очень удобный и выгодный банковский счет, обеспечивающий доход в размере 100 процентов в год. К концу года на 1 доллар будет начислен процентный доход в 1 доллар, что дает в сумме 2 доллара.

Теперь вместо 100 процентов годовых рассмотрим сценарий, при котором процентная ставка делится пополам, но рассчитывается дважды. Другими словами, инвестор получает процентный доход в размере 50 процентов через шесть и еще 50 процентов через двенадцать месяцев. Таким образом, спустя первые полгода 1 доллар принесет ему процентный доход 0,50 доллара, что в сумме дает 1,5 доллара. За второе полугодие процент начисляется как на 1 доллар, так и на начисленный процентный доход в размере 0,50 доллара. Следовательно, дополнительный процентный доход, который прибавляется по результатам года, составит 50 процентов от 1,50 доллара, то есть 0,75 доллара, что в сумме даст 2,25 доллара процентного дохода в конце года. Такой способ начисления процентного дохода известен как сложный процент.

Как видите, такой сложный процент, рассчитываемый один раз в полгода, обеспечивает более высокий процентный доход, чем простой годовой процент. Остаток на банковском счете был бы даже больше, если бы сложный процент рассчитывался еще чаще. Например, один раз в квартал (25 процентов каждых три месяца), тогда общая сумма процентного дохода составила бы в конце марта 1,25 доллара, в конце июня 1,56 доллара, в конце сентября 1,95 и в конце года 2,44 доллара.

Эл Джин (который держит топор) был в кабинете, когда Майк Рейсс (слева) предложил назвать спрингфилдский кинотеатр «Гуголплекс». На этой фотографии 1981 года они запечатлены во время учебы в Гарвардском университете, в здании журнала Lampoon под названием Lampoon Castle. Патрик Веррон, жонглирующий шариками, – тоже успешный комедийный сценарист, написавший ряд сценариев, в том числе и для эпизода «Симпсонов» «Милхаус из песка и тумана» (Milhouse of Sand and Fog, сезон 17, эпизод 3; 2005 год). Четвертый член группы – Тед Филипс, умер в 2005 году. Несмотря на то что у Филипса тоже был писательский талант, он предпочел карьеру юриста в Южной Каролине, а также был авторитетным краеведом. Его имя упоминается в эпизоде «Радио Барт» (Radio Bart, сезон 3, эпизод 13; 1992 год). Кроме того, так назван персонаж (Дюк Филипс) мультсериала «Критик», созданный Элом Джином и Майком Рейссом.

Из личного архива Майка Рейсса

Если n – это количество периодов начисления сложного процента (другими словами, сколько раз в год он рассчитывается и прибавляется к основной сумме), то для расчета окончательной суммы (F) можно использовать следующую формулу:

F = $(1 + 1⁄n)n

В случае начисления сложного процента один раз в неделю мы получаем почти на 0,70 доллара больше процентного дохода, чем при начислении простого годового процента. Однако дальнейший расчет сложного процента с еще большей периодичностью обеспечивает совсем незначительное увеличение процентного дохода. Здесь и возникает занимательный вопрос, который очень интересует математиков: если бы сложный процент рассчитывался не только каждый час и даже каждую секунду или микросекунду, а каждое мгновение, то какой была бы сумма на конец года?

Вот вам ответ: 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427… доллара. Наверное, вы догадываетесь, что количество десятичных знаков стремится к бесконечности, а значит, это иррациональное число. Именно его мы и называем числом e.

Число 2,718 обозначено символом e, поскольку оно связано с понятием экспоненциального роста, описывающим поразительные темпы роста в случае, если деньги приносят процент из года в год или нечто другое снова и снова увеличивается фиксированными темпами. Например, если бы стоимость вложенной суммы действительно увеличивалась в 2,718… раза год за годом, то через год 1 доллар превратился бы в 2,72 доллара, через два года это было бы уже 7,39 доллара, через три – 20,09 доллара, затем 54,60 доллара, потом 148,41 доллара, 403,43 доллара, 1096,63 доллара, 2980,96 доллара, 8102,08 доллара и наконец 22 026,47 доллара всего за десять лет.

Столь поразительный темп устойчивого экспоненциального роста редко встречается в мире финансовых инвестиций, но есть конкретные примеры в других областях. Самый показательный пример имел место в сфере технологий и известен как закон Мура, который так назван по имени одного из основателей компании Intel Гордона Мура. В 1965 году Мур подметил, что количество транзисторов, размещаемых на интегральной схеме, удваивается примерно каждые два года, и предсказал, что эта тенденция будет продолжаться. Как и следовало ожидать, закон Мура выполнялся десятилетие за десятилетием. За сорок лет, с 1971 по 2011 год, количество транзисторов удваивалось двадцать раз. Другими словами, за четыре десятка лет их число на интегральной схеме увеличилось в 2^20 раз, или примерно в один миллион раз. Именно поэтому у нас теперь есть микропроцессоры с огромной производительностью, себестоимость производства которых существенно снизилась по сравнению с 1970-ми годами.

По аналогии с законом Мура иногда говорят, что если бы производство автомобилей росло таким же стремительными темпами, что и производство компьютеров, то автомобиль Ferrari стоил бы сейчас 100 долларов и мог бы проехать миллион километров на одном литре бензина… но и ломался бы каждую неделю.

Тот факт, что число e связано со сложным процентом и экспоненциальным ростом, – очень интересен, но данное число может предложить миру кое-что еще. Подобно числу π, число e всплывает в самых разных ситуациях.

Например, число e лежит в основе так называемой задачи о беспорядках, более известной как задача о шляпах. Представьте, что вы работаете в гардеробе ресторана – принимаете у клиентов шляпы и складываете их в коробки для шляп. К сожалению, вы не отмечаете, кому какая шляпа принадлежит. Когда посетители ресторана, поужинав, приходят за своими шляпами, вы отдаете им коробки со шляпами в случайном порядке и прощаетесь, прежде чем они их открывают. Какова вероятность того, что ни в одной из коробок не находится шляпа, принадлежащая человеку, которому вы только что вручили коробку? Ответ зависит от количества клиентов (n), а вероятность отсутствия совпадений P(n) можно вычислить по следующей формуле[42]:

Таким образом, в случае одного посетителя вероятность отсутствия совпадений составляет 0, поскольку одна шляпа неизбежно попадет к своему владельцу:

В случае двух посетителей вероятность отсутствия совпадений равна 0,5:

В случае трех посетителей вероятность отсутствия совпадений составляет 0,333:

Для четырех клиентов вероятность равна примерно 0,375, а для десяти – около 0,369. Если количество клиентов стремится к бесконечности, значение вероятности становится 0,367879…, что составляет 1/2,718…, или 1/e.

Вы можете сами проверить эту закономерность, взяв две колоды карт и перетасовав их по отдельности, чтобы карты в каждой колоде располагались произвольным образом. Одна колода символизирует случайный порядок, в котором шляпы укладывались в коробки, а другая – случайный порядок, в котором клиенты возвращались за своими шляпами. Положите обе колоды рядом друг с другом и переворачивайте по одной верхней карте в каждой колоде. Если обе карты имеют одинаковую масть и значение, это засчитывается как совпадение. Вероятность отсутствия совпадений после просмотра всех карт обеих колод близка к 1/e, что составляет примерно 0,37, или 37 процентов. Другими словами, если вы будете повторять весь процесс сотню раз, то вас ждет не слишком активная светская жизнь и примерно тридцать семь колод карт с отсутствием совпадений. Хотя задача о шляпах может показаться тривиальной, она представляет собой фундаментальный вопрос такой области математики, как комбинаторика.

Число e также появляется в процессе изучения кривой особого типа, известной под названием катенарная кривая[43], поскольку она имеет форму цепи, провисшей между двумя точками. Этот термин, придуманный Томасом Джефферсоном, происходит от латинского слова catena, что означает «цепь». Форма катенарной кривой описывается следующим уравнением, в котором присутствует два числа e:

Шелковая нить в паутине образует ряд катенарных кривых между лучами паутины, что подтолкнуло французского энтомолога Жана Анри Фабра написать в книге The Life of the Spider («Жизнь пауков») следующее: «Здесь снова появляется похожее на абракадабру число e, начертанное на нитях паутины. Давайте посмотрим туманным утром, какая сетчатая структура была создана за ночь. Липкие нити, имеющие гидрометрические свойства, провисают под тяжестью крохотных капель воды и образуют множество катенарных кривых – нитей прозрачных жемчужин, изящных бус, расположенных в изысканном порядке и повторяющих форму кривой качания. Когда солнечные лучи пронизывают пелену тумана, все это начинает светиться разноцветными огнями и напоминает сверкающие нити бриллиантов. Это и есть число e во всем своем великолепии».

Мы можем также обнаружить присутствие числа e в совершенно другой области математики. Представьте себе, что вы на калькуляторе (если он достаточно «продвинутый») генерируете случайные числа от 0 до 1, а затем непрерывно суммируете их до тех пор, пока сумма не превысит единицу. Иногда вам понадобится два случайных числа, в большинстве случаев – три, время от времени – четыре или более, для того чтобы общая сумма превысила 1. Однако в среднем количество необходимых случайных чисел составляет 2,71828, а это, разумеется, и есть число e.

Существует еще много примеров, демонстрирующих, что число e играет массу разноплановых и фундаментальных ролей в разных областях математики. Это объясняет, почему любители чисел испытывают особую эмоциональную привязанность к числу e.

Один из таких поклонников – Дональд Кнут, почетный профессор Стэнфордского университета и подобная Богу фигура в мире информационных технологий. После написания Metafont (программного обеспечения для создания шрифтов) Кнут решил выпускать обновленные версии этого ПО под номерами, связанными с числом e. Это означает, что первая версия называлась Metafont 2, затем Metafont 2.7, затем Metafont 2.71 и так далее, вплоть до текущей версии Metafont 2.718281. Номер каждой новой версии представляет собой более точное приближение истинного значения числа e. Это только один из способов, с помощью которых Кнут выражает свой необычный подход к работе. Еще один пример – предметный указатель его фундаментального труда The Art of Computer Programming (том 1)[44], в котором запись «круговое определение» отсылает читателя к записи «определение, круговое», и наоборот.

Руководители Google, которых можно назвать супергиками, также большие поклонники числа e. Когда в 2004 году они продавали акции компании, было объявлено, что Google планирует заработать на этом 2 718 281 828 долларов, что равно числу е, умноженному на 1 миллион долларов. В том же году компания разместила на рекламном щите следующее объявление:

{первое простое число из 10 цифр подряд, найденное в числе e}.com

Единственный способ определить название этого сайта – проанализировать все цифры числа e и отыскать среди них последовательность из 10 цифр, представляющую собой простое число. Каждый человек, обладающий достаточными математическими знаниями, обнаружил бы, что первое простое число из десяти цифр, которое начинается с девяносто девятой цифры числа e, – это 7427466391. Посетив сайт www.7427466391.com, можно было бы увидеть, что это своего рода виртуальный дорожный знак, указывающий путь к другому сайту, который представляет собой портал для тех, кто хочет подать заявление о приеме в Google Labs[45].

Еще один способ выразить свое восхищение числом e – запомнить его цифры. В 2004 году Андреас Литцов из Германии запомнил и назвал 316 цифр, жонглируя при этом пятью шариками. Однако 25 ноября 2007 года Бхаскар Кармакар из Индии превзошел Литцова и без всяких шариков поставил новый рекорд, перечислив 5002 цифры числа e за один час 29 минут 52 секунды. В тот же день он точно назвал 5002 цифры числа e в обратном порядке. Это невероятное достижение, но каждому из нас вполне по силам запомнить десять цифр числа e, выучив следующую мнемоническую фразу: I’m forming a mnemonic to remember a function in analysis («Я создаю эту мнемоническую фразу запоминания функции в анализе»). Количество букв в каждом слове представляет собой соответствующую цифру числа e.

И последнее: сценаристы «Симпсонов» тоже в восторге от числа e. Оно не только присутствует на корешке одной из книг в эпизоде «ДеньгоБАРТ», но и особо отмечается в эпизоде «Сражение перед Рождеством» (The Fight Before Christmas, сезон 22, эпизод 8; 2010 год). Последний фрагмент эпизода сделан в стиле образовательной программы для детей «Улица Сезам», поэтому заканчивается традиционной спонсорской рекламой. Однако вместо фразы «Спонсоры сегодняшней программы “Улица Сезам” – буква c и число 9» зрителям озвучили фразу «Спонсоры сегодняшнего показа “Симпсонов” – символ умляут[46] и число e (не путать с буквой “е”). Это число, экспоненциальная функция которого – производная от него самого».

Глава 12

Еще один кусочек числа π

В эпизоде «Оковы Мардж» (Marge in Chains, сезон 4, эпизод 21; 1993 год) Мардж арестовывают после того, как она забывает заплатить за бутылку бурбона в магазине «На скорую руку». Мардж привлекают к суду, а ее интересы представляет адвокат Лайонел Хац, человек с сомнительной репутацией. Еще до начала суда Хац признает, что это, вероятно, будет трудная битва, потому что у него плохие отношения с судьей: «Он ненавидит меня с тех пор, как я вроде бы наехал на его собаку… Замените слово “вроде” на слово “неоднократно”, а слово “собака” на “сын”».

Стратегия защиты Мардж, которой решил придерживаться Хац, сводится к дискредитации владельца магазина «На скорую руку» Апу Нахасапимапетилона, который выступает в качестве свидетеля по обвинению Мардж в краже. Однако когда он вызывает Апу для дачи свидетельских показаний и спрашивает, забывал ли он когда-либо что-нибудь, Апу пытается показать, что у него идеальная память, и отвечает: «Нет, но я могу назвать число π до сорока тысяч десятичных знаков. Последняя цифра 1».

На Гомера это не производит особого впечатления, и он просто думает про себя: «Мм… Пи(рог)».

Поразительное заявление Апу о том, что он запомнил до сорока тысяч десятичных знаков числа π, имеет смысл только в случае, если математики уже рассчитали это число с такой точностью. Так какова же была ситуация с его вычислением в 1993 году, когда эпизод вышел на экраны?

В главе 2 мы видели, как математики, начиная с древних греков, использовали многогранники для определения все более точного значения числа π и получили в итоге результат с точностью до тридцать четвертого десятичного знака. В 1630 году австрийский астроном Кристоф Гринбергер рассчитал число π с помощью многогранников до тридцать восьмого десятичного знака. С научной точки зрения нет совершенно никакого смысла в определении следующих цифр, поскольку данного значения вполне достаточно для выполнения самых сложных астрономических расчетов с максимально высокой точностью. И это не преувеличение. Если бы астрономы установили точный диаметр известной нам части Вселенной, то значения числа π до тридцать восьмого десятичного знака вполне бы хватило для расчета окружности Вселенной с точностью до размера атома водорода.

Тем не менее борьба за установление все большего количества цифр числа π продолжилась. Эта задача стала напоминать восхождение на Эверест. Число π выступало на математическом ландшафте в роли далекой горной вершины, и математики стремились взобраться на нее. Однако стратегия математиков изменилась. Вместо использования медленного подхода с применением многогранников они открыли ряд формул для определения значения числа π более быстрым способом. Например, в XVIII столетии Леонард Эйлер вывел следующую элегантную формулу:

Интересно то, что число π можно вывести из такой простой последовательности чисел. Это равенство известно как бесконечный ряд, поскольку оно состоит из бесконечного количества членов, и чем больше членов включено в расчеты, тем точнее будет результат. Ниже представлены результаты вычисления числа π с использованием одного, двух, трех, четырех и пяти членов ряда Эйлера:

Метод аппроксимации позволяет все плотнее приблизиться к истинному значению числа π; при этом по мере включения дополнительного члена уравнения результат становится точнее. Вычисление числа π с помощью пяти членов уравнения дает значение 3,140, что обеспечивает точность до двух десятичных знаков. В случае использования ста членов уравнения число π можно рассчитать с точностью до шести десятичных знаков: 3,141592.

Бесконечный ряд Эйлера – достаточно эффективный метод расчета значения числа π, но следующие поколения математиков изобрели и другие бесконечные ряды, позволяющие ускорить вычисления. Джон Мэчин, который в начале XVIII столетия был профессором астрономии в Колледже Грешема в Лондоне, разработал один из самых быстро сходящихся, хотя и не такой элегантный бесконечный ряд[47]. Мэчин превзошел все предыдущие достижения, рассчитав значение числа π с точностью до ста десятичных знаков.

Другие математики использовали бесконечный ряд Мэчина еще активнее. К их числу относится и английский математик-любитель Уильям Шенкс, который посвятил большую часть своей жизни вычислению π. В 1874 году он заявил, что рассчитал 707 цифр числа π.

В знак уважения к столь героическому достижению музей науки в Париже, известный под названием «Дворец открытий», украсил свой зал числа π надписью со всеми 707 цифрами π. К сожалению, в 40-х годах ХХ века в выкладках Шенкса была выявлена ошибка при расчете 527 десятичного знака, из-за чего все последующие цифры оказались неправильными. Дворец открытий вызвал маляров, а репутация Шенкса была безнадежно испорчена. Тем не менее 526 десятичных знаков все же оставались рекордным значением для числа π на то время.

После Второй мировой войны механические и электронные калькуляторы заменили бумагу и карандаш, которые использовал Шенкс и предыдущие поколения математиков. Силу технологий иллюстрирует тот факт, что Шенксу понадобилась целая жизнь, чтобы вычислить 707 цифр числа π, 181 из которых оказались неправильными, тогда как в 1958 году Парижский центр обработки данных без всяких ошибок выполнил те же расчеты на IBM 704 за сорок секунд. Теперь очередные цифры числа π начали появляться все более быстрыми темпами, но энтузиазм математиков несколько сдерживало понимание того, что даже компьютеры не способны справиться с этой бесконечной задачей.

Именно этот факт был положен в основу одной из сцен эпизода оригинального сериала «Звездный путь» под названием «Волк в овчарне» (Wolf in the Fold, сезон 2, эпизод 14; 1967 год). Для того чтобы изгнать дьявольскую энергетическую силу, которая захватила звездолет USS Enterprise, Спок дает следующую команду: «Компьютер, это директива класса А. Вычислите значение π до последнего знака». Компьютер настолько расстроен этим запросом, что снова и снова кричит: «Нет!» Тем не менее он обязан подчиниться этой директиве и в итоге не может выполнить требуемые вычисления, что каким-то образом изгоняет дьявольскую силу из электрических цепей.

Гениальность Спока в эпизоде «Волк в овчарне» с лихвой компенсирует вопиющую математическую безграмотность, продемонстрированную капитаном Джеймсом Тиберием Кирком в другом эпизоде «Звездного пути», снятом чуть раньше в том же году. Речь идет об эпизоде «Трибунал» (Court Martial, сезон 1, эпизод 20; 1967 год), в котором один из членов экипажа исчезает на борту корабля Enterprise, и никто не знает, жив он или мертв. Кирк, на котором лежит ответственность за судьбу членов экипажа, принимает решение использовать компьютер для поиска пропавшего по его сердцебиению. Вот как он объясняет свой план: «Джентльмены, наш компьютер снабжен аудиосенсором. По сути, он может слышать звуки. Включив усилитель, мы сможем увеличить эту его способность в один в четвертой степени раз». Разумеется, единица в четвертой степени (1^4) – это все та же единица.

Вскоре после того как французские программисты менее чем за минуту вычислили 707 цифр числа π, та же команда рассчитала 10 021 цифру π с помощью компьютера Ferranti Pegasus. Затем, в 1961 году, Центр обработки данных IBM в Нью-Йорке вычислил значение числа π с точностью до 100 265 цифр. Разумеется, появление более мощных компьютеров привело к вычислению еще большего количества цифр числа π. В 1981 году японский математик Ясумаса Канада рассчитал значение π с точностью до двух миллионов десятичных знаков. Эксцентричные братья Чудновские (Григорий и Давид) собрали собственный суперкомпьютер DIY в своей квартире на Манхэттене и в 1989 году преодолели барьер в 1 миллиард цифр числа π, но впоследствии Канада превзошел их, вычислив в 1997 году 50 миллиардов цифр, а затем, в 2002 году – один триллион.

В настоящее время Сигэру Кондо и Александр Йи лидируют по количеству вычисленных цифр числа π. В 2010 году они рассчитали значение π с точностью до пяти триллионов знаков, а в 2011-м удвоили этот результат, вычислив число π с точностью до 10 триллионов знаков.

* * *

Но вернемся в зал суда. Учитывая вышесказанное, Апу мог легко получить доступ к первым сорока тысячам десятичных знаков числа π, поскольку в начале 1960-х годов математики уже рассчитали его значение с более высокой точностью. Однако мог ли Апу действительно запомнить число π до сорока тысяч десятичных знаков?

Как уже упоминалось выше в контексте числа e, лучший подход к запоминанию ряда цифр состоит в использовании фразы, каждое слово которой содержит соответствующее количество букв. Например, фраза May I have a large container of coffee? («Можно мне большую банку кофе?») дает число 3,1415926; фраза How I wish I could recollect pi easily today! («Как бы мне хотелось легко вспомнить число π сегодня!») прибавляет еще одну цифру. Великий британский ученый сэр Джеймс Джинс в промежутках между изучением глубоких вопросов в области астрофизики и космологии изобрел фразу, которая позволяет запомнить семнадцать цифр числа π: How I need a drink, alcoholic of course, after all those lectures involving quantum mechanics («Как же мне нужно выпить что-то, разумеется алкогольное, после всех этих лекций по квантовой механике»).

Несколько специалистов по запоминанию развили этот метод. Они могут перечислять цифры числа π, рассказывая себе длинные, тщательно продуманные истории, в которых количество букв в каждом слове напоминает им о следующей цифре числа π. Этот метод позволил Фреду Грэму из Канады преодолеть барьер в 1000 цифр в 1973 году. В 1978 году американец Дэвид Сэнкер запомнил таким способом 10 000 цифр, а в 1980-м британский мнемонист индийского происхождения Раджан Махадеван преодолел планку в 30 000 цифр (точнее говоря, 31 811 цифр); в 1987 году японский мнемонист Хидеаки Томойори установил новый мировой рекорд – 40 000 цифр. В наше время рекордсменом по запоминанию числа π является Чао Лу из Китая, который запомнил в 2005 году 67 890 цифр.

Однако именно рекорд Томойори (40 000 цифр) действовал в 1993 году, когда работа над сценарием эпизода «Оковы Мардж» подходила к концу. Следовательно, заявление Апу о том, что он может вспомнить число π до 40 000 десятичных знаков, было прямой ссылкой и данью уважения Томойори, который в то время являлся самым известным и успешным специалистом по запоминанию числа π.

Сценарий эпизода писали Билл Окли и Джош Вайнштейн. По словам Вайнштейна, сюжет эпизода «Оковы Мардж» уже был в общих чертах намечен к тому времени, когда ему и Окли поручили над ним работу: «Мы были младшими сценаристами, поэтому нам давали сценарии, от которых все отказывались. Сценарии, строящиеся вокруг Мардж, писать очень трудно. Гомер, например, сразу же вызывает смех, так же как и Красти. Но Мардж – это действительно трудная задача, поэтому связанные с ней сюжеты часто сваливали на таких новичков, как мы».

Вайнштейн и Окли взяли основную сюжетную линию эпизода «Оковы Мардж», разработали детали, написали ключевые шутки и сдали свой вариант сценария. Важно отметить, что во время нашей встречи Вайнштейн стремился подчеркнуть тот факт, что в этой версии сценария число π вообще не упоминалось. На самом деле в первоначальном варианте сценария Апу заявил под присягой, что он известен как «мистер память», а также что существует более четырех сотен документальных фильмов о его умственных способностях.

Пожалуй, не стоит удивляться тому, что число π не упоминается в первоначальной версии сценария, поскольку ни у Окли, ни у Вайнштейна нет математического образования. Тогда как же появилась в сценарии эта математическая ссылка?

Как обычно, все члены команды сценаристов собрались, чтобы внимательно проанализировать и обсудить первый вариант сценария, с тем чтобы улучшить сюжет и по возможности включить дополнительные шутки. В этот момент коллега Окли и Вайнштейна Эл Джин и увидел повод включить в эпизод немного математики. Благодаря своему неизменному интересу к этой науке Джин знал, что мировой рекорд запоминания числа π составляет сорок тысяч десятичных знаков, поэтому предложил изменить сценарий так, чтобы Апу сделал заявление, соответствующее этому рекорду. А когда Апу называет сорокатысячный десятичный знак числа π, это придает его словам определенную достоверность.

Все согласились, что это хорошая мысль, но никто не знал, какая именно цифра соответствует сорокатысячному десятичному знаку π. Более того, дело происходило в 1993 году, когда интернет еще не получил широкого распространения, Google вообще не существовал, а о поиске в «Википедии» никто даже не слышал. Сценаристы пришли к выводу, что им нужен совет эксперта, и связались с блестящим математиком по имени Дэвид Бейли, который работал в то время в NASA, в Исследовательском центре Эймса[48]. В ответ Бейли напечатал все сорок тысяч десятичных знаков числа π и отправил их в студию «Симпсонов». Вот цифры от 39 990-го по 40 000-й десятичные знаки:

Как видите, Апу прав, утверждая, что 1 – это последняя цифра последовательности, которую он запомнил.

Тот факт, что Бейли внес свой вклад в создание «Симпсонов» в качестве математика NASA, был упомянут три года спустя в эпизоде «22 коротких фильма о Спрингфилде» (22 Short Films About Springfield, сезон 7, эпизод 21; 1996 год). Когда главный пьяница Спрингфилда Барни Гамбл вваливается в бар Мо, он узнает, что у Мо для него плохие новости: «Слушай, Барни, помнишь, я сказал, что пошлю твой счет на калькуляцию в NASA? Сегодня пришли результаты. Ты мне должен семьдесят миллиардов долларов».

Заявление Апу по поводу числа π в эпизоде «Оковы Мардж» повлияло на другой эпизод, а именно «Много Апу из ничего» (Much Apu About Nothing, сезон 7, эпизод 23; 1996 год). В нем Апу рассказывает о своем прошлом, что проливает свет на то, почему этот человек смог запомнить число π до 40 000 десятичных знаков. Когда Апу вспоминает о своем путешествии из Индии в Америку, он говорит Мардж: «Я приехал сюда после окончания Калтеха, Технического института Калькутты. Как лучшего студента из 7 миллионов однокурсников меня отправили учиться в Штаты – и я поехал».

Хотя Технический институт Калькутты – вымышленное учебное заведение, неподалеку от Калькутты действительно есть технический вуз – Бенгальский институт технологий, который, пожалуй, мог бы претендовать на роль альма-матер Апу. Акроним названия этого института BIT как нельзя лучше подходит для учебного заведения, специализирующегося на компьютерных науках и информационных технологиях. Мы также узнаем, что Апу отправился в Америку, чтобы учиться в техническом институте Спрингфилда с гораздо менее благозвучным акронимом SHIT. Под руководством профессора Фринка Апу потратил девять лет на получение докторской степени, предположительно разработав первую в мире программу для игры в крестики-нолики, выиграть у которой могли только самые лучшие игроки.

Дэвид Коэн, писавший сценарий эпизода «Много Апу из ничего», решил, что Апу должен быть скорее программистом, нежели математиком, поскольку сам Коэн изучал в свое время компьютерные науки в Калифорнийском университете в Беркли и посещал занятия вместе с несколькими индийскими студентами. В частности, прошлое Апу основано на биографии одного из ближайших друзей Коэна в Беркли Ашу Реге, который получил работу в NVIDIA, ведущей компании по разработке графических процессоров.

* * *

Число π сыграло еще одну, более заметную роль в мультсериале «Симпсоны». В заключительных сценах эпизода «Саксофон Лизы» (Lisa’s Sax, сезон 9, эпизод 3; 1997 год), чтобы развить ее зарождающуюся гениальность, Гомер покупает Лизе саксофон. Однако, прежде чем приобрести музыкальный инструмент, Гомер и Мардж решают отправить Лизу в Школу миссис Тиллингхэм для умных девочек и маменькиных сынков. В короткой сцене из прошлого мы видим, как Гомер и Мардж посещают эту школу, где на площадке встречают двух вундеркиндов, придумавших слова для песенки-считалки:

Cross my heart and hope to die,

Here’s the digits that make π,

3.14159265358979323846…

(Не сойти мне с этого места,

Вот цифры числа π:

3,14159265358979323846…)

Именно Эл Джин был тем сценаристом, который искусно включил в эпизод эту математическую ссылку. При первом прослушивании песенки декламация самого знаменитого иррационального числа кажется вполне уместной в данной ситуации. Но немного подумав, я задался вопросом: почему число π выражено в песенке в десятичной форме?

Десятичная система – это наша стандартная система счисления, в которой первый десятичный знак соответствует десятым (1 ⁄ 10¹), а каждый последующий – сотым (1 ⁄ 10²), тысячным (1 ⁄ 10³) и т. д. Наша система счисления сформировалась именно таким образом, поскольку у человека на руках десять пальцев.

Однако если вы внимательно посмотрите на руки персонажей «Симпсонов», то заметите, что у них по четыре пальца на каждой руке, то есть в сумме восемь. Следовательно, счет в Спрингфилде должен основываться на числе 8, что привело бы к совершенно другой системе счисления (известной как восьмеричная система) и, в свою очередь, потребовало бы совсем иного способа представления числа π (3,1103755242…).

Математическая сторона восьмеричной системы здесь не важна, в частности потому, что герои сериала «Симпсоны», так же как и мы, используют десятичную систему счисления. Тем не менее остается два открытых вопроса, на которые необходимо ответить. Во-первых, почему у обитателей Спрингфилда только восемь пальцев на руках? Во-вторых, почему в мире «Симпсонов» используется десятичная система счисления, если у персонажей всего по восемь пальцев?

Мутация, которая привела к наличию у персонажей «Симпсонов» восьми пальцев, восходит своими корнями к заре анимации на большом экране. У Кота Феликса, дебютировавшего в 1919 году, было только по четыре пальца на каждой лапе; столько же их было и у Микки Мауса, когда он появился на экранах в 1928 году. Когда Уолта Диснея спросили, почему у этого мышонка, наделенного человеческими качествами, не хватает пальцев, он ответил: «С художественной точки зрения пять пальцев – слишком много для мыши. Его рука напоминала бы гроздь бананов». Дисней также объяснил, что отсутствие у персонажа одного пальца существенно сокращало не только объем работы для аниматоров, но и расходы: «В финансовом плане отсутствие дополнительного пальца на каждом из 45 000 рисунков, из которых состоит короткометражный фильм продолжительностью шесть с половиной минут, сэкономило студии миллионы».

По этим причинам восемь пальцев стали стандартным количеством для мультипликационных персонажей (как животных, так и людей) во всем мире. Единственное исключение – Япония, где четыре пальца на руке могут иметь зловещий оттенок, так как число 4 ассоциируется со смертью, а Якудза, печально известная японская мафия, отрезает мизинец либо в наказание, либо для проверки лояльности. Исходя из этого, британский мультсериал «Боб-строитель» (Bob the Builder) для продажи в 2010 году Японии пришлось изменить, чтобы у персонажей было требуемое количество пальцев.

В то время как у японцев рука с четырьмя пальцами вызывает чувство дискомфорта, все персонажи «Симпсонов» принимают это как должное. В действительности любой другой вариант считается отклонением от нормы. Это становится очевидным в эпизоде «Я женат на Мардж» (I Married Marge, сезон 3, эпизод 12; 1991 год), в частности в сцене рождения Барта. Мы слышим, как Мардж спрашивает Гомера, правда ли их новорожденный сын замечательный, на что Гомер отвечает: «Главное, чтобы у него было по восемь пальцев на руках и ногах».

Кроме того, в эпизоде «Возлюбленный леди Бувье» (Lady Bouvier’s Lover, сезон 5, эпизод 21; 1994 год) мама Мардж и отец Гомера начинают, к ужасу Гомера, встречаться: «Если он женится на твоей маме, Мардж, мы станем братом и сестрой! У нас родятся уродцы с розовой кожей, правильным прикусом и пятью пальцами на каждой руке».

Тем не менее, несмотря на недостаточное количество пальцев, жители Спрингфилда считают в десятичной системе, а не в восьмеричной, поскольку они выражают значение числа π как 3,141…. Так как и почему обитатели города, имеющие по восемь пальцев на руках, пришли к десятичной системе счисления?

Одна из возможных причин состоит в том, что древние желтокожие предки Гомера и Мардж использовали для счета не только пальцы рук. Они могли считать, например, с помощью восьми пальцев и двух ноздрей. Это может показаться странным, но в некоторых культурах развивалась система счисления, основанная не только на пальцах. Например, члены племени юпно, обитающего в Папуа-Новой Гвинее, присваивают номера от 1 до 33 разным частям тела, от пальцев до ноздрей и грудных сосков. В этой системе счисления число 31 соответствует левому яичку, 32 – правому, а 33 – «мужскому органу». Европейские ученые, такие как Беда Достопочтенный, также экспериментировали с системами счисления, опирающимися на части тела. Этот английский богослов VIII столетия разработал систему, позволявшую ему считать до 9999, используя жесты и мельчайшие части тела человека. По словам Алекса Беллоса, автора книги Alex’s Adventures in Numberland[49], «Беда Достопочтенный предложил систему счета, которая отчасти была основана на арифметике, а отчасти – на использовании быстрых движений пальцев и рук».

Хотя счет на пальцах рук и ноздрях мог бы объяснить переход персонажей «Симпсонов» на десятичную систему счисления, стоит рассмотреть и другую версию. Можно ли предположить, что числа в анимационной вселенной были изобретены не людьми, а высшей силой? Как рационалист я в большинстве случаев отвергаю подобные гипотезы, но мы не можем игнорировать факт появления Бога в нескольких эпизодах «Симпсонов», причем в каждом эпизоде у него по десять пальцев. В действительности Бог – единственный персонаж сериала с десятью пальцами.

Глава 13

Трехмерный Гомер

Первый эпизод «Маленький домик ужасов на дереве» появился во втором сезоне мультсериала «Симпсоны» и с тех пор традиционно каждый год выходит к Хеллоуину. Как правило, эти особые эпизоды состоят из трех коротких историй, которые могут нарушать привычный ход жизни в Спрингфилде, а их сюжет может включать в себя все, от пришельцев до зомби.

Дэвид Коэн, один из страстных приверженцев идеи включения математики в эпизоды «Симпсонов», написал сценарий к последней части эпизода «Маленький домик ужасов на дереве 6» (Treehouse of Horror VI, сезон 7, эпизод 6; 1995 год). Вне всяких сомнений, этот фрагмент представляет собой самую насыщенную и элегантную интеграцию математики в сериал «Симпсоны» с начала его выхода на экраны четверть века назад.

Сюжет начинается вполне невинно: свояченицы Гомера Пэтти и Сельма без предупреждения приходят в гости. Пытаясь избежать с ними встречи, Гомер прячется за книжным шкафом, где находит таинственный портал, ведущий в другую вселенную. Когда «приятные» голоса Пэтти и Сельмы становятся громче, Гомер слышит, что они хотят, чтобы все помогли им очистить и рассортировать морские ракушки. В отчаянии он проходит через портал, оставив позади двумерный мир Спрингфилда, и попадает в невероятный трехмерный мир. Гомер совершенно сбит с толку новым количеством измерений и замечает нечто шокирующее: «Что здесь творится? Я такой выпуклый. И живот выступает далеко вперед».

Авторы решили создать фигурку Гомера с помощью самой современной технологии компьютерной анимации; затраты на этот пятиминутный фрагмент существенно превысили бы бюджет целого эпизода. К счастью, компания Pacific Data Images (PDI) предложила свои услуги, прекрасно понимая, что «Симпсоны» – это глобальная платформа для демонстрации возможностей новой технологии. В том же году компания PDI заключила с DreamWorks сделку, которая привела к появлению мультфильмов «Муравей Антц» и «Шрек», что стало началом революции в сфере анимационных фильмов.

Когда Гомер подходит к дорожному указателю, на котором обозначены направления x, y и z в новой трехмерной вселенной, он говорит, что стоит на самой продвинутой сцене, которая когда-либо появлялась на телевидении: «Здесь роскошно. Просто стоять здесь – уже дорогое удовольствие. Надо урвать, что можно».

Трехмерный Гомер Симпсон после прохождения через портал в истории «Трехмерный Гомер». Позади Гомера вдалеке парят два математических уравнения

THE SIMPSONS™ и © 1990 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Оказавшись в новой среде, Гомер делает еще одно уместное замечание: «Просто обалдеть можно. Похоже на фильм о странной сумеречной зоне». Это намек на то, что «Трехмерный Гомер» является отсылкой к одному из эпизодов сериала «Сумеречная зона» (The Twilight Zone) под названием «Пропала девочка» (Little Girl Lost, сезон 3, эпизод 26; 1961 год).

В эпизоде «Пропала девочка» родители маленькой девочки по имени Тина впадают в отчаяние, когда заходят в ее спальню и не находят там дочку. Хуже всего то, что они слышат голос Тины, раздающийся вокруг, но не видят ее. Девочки в комнате нет, но создается впечатление, что она где-то поблизости. Отчаянно нуждаясь в помощи, родители Тины звонят другу семьи Биллу, физику. Билл определяет местонахождение портала и рисует его на стене спальни, после чего заявляет, что Тина перешла в четвертое измерение. Родителям очень трудно понять концепцию четырехмерного пространства, поскольку они (как и все люди) привыкли оперировать исключительно понятиями знакомого им трехмерного мира.

Хотя Гомер переходит из двумерного в трехмерный мир, а не из трехмерного в четырехмерный, в истории «Трехмерный Гомер» происходит та же последовательность событий. Мардж не может понять, что случилось с мужем, поскольку слышит, но не видит его. Она тоже получает советы от ученого, профессора Джона Нерделбаума Фринка-младшего.

Несмотря на весьма неординарную личность профессора Фринка, нельзя недооценивать его гениальность. Научные заслуги профессора становятся очевидными в истории под названием «Фринкинштейн» из эпизода «Маленький домик ужасов на дереве 14» (Treehouse of Horror XIV, сезон 15, эпизод 1; 2003 год), где ему вручает Нобелевскую премию не кто иной, как Дадли Роберт Хершбах, который получил Нобелевскую премию в 1986 году и озвучивает в эпизоде своего персонажа[50].

Подобно физику из «Сумеречной зоны», Фринк рисует мелом на стене очертания портала. За происходящим наблюдают все, кто пришел предложить свою помощь: Нед Фландерс, Шеф Виггам, преподобный Лавджой и доктор Хибберт. Затем Фринк начинает объяснять загадочное событие: «Даже самому недалекому индивидууму, обладающему степенью магистра в области гиперболической топологии, очевидно, что Гомер Симпсон очутился в… третьем измерении».

Заявление Фринка предполагает, что персонажи сериала «Симпсоны» обитают в двумерном мире, а значит, им трудно понять концепцию третьего измерения. Хотя анимационная реальность Спрингфилда гораздо сложнее, поскольку мы постоянно видим, как Гомер и члены его семьи проходят позади или впереди друг друга, что было бы невозможно в двумерном пространстве в строгом смысле слова. Тем не менее в контексте этого фрагмента эпизода «Маленький домик ужасов на дереве» можно исходить из предположения, что Фринк прав, говоря о существовании в «Симпсонах» только двух измерений. Давайте посмотрим, как он объясняет концепцию большего количества измерений, рисуя при этом схему на доске.

Профессор Фринк. Вот обыкновенный квадрат.

Шеф Виггам. Помедленнее, яйцеголовый!

Профессор Фринк. Но предположим, мы достроим этот двумерный квадрат до нашей вселенной при помощи гипотетической оси z. Вот так.

Все. [Изумленно ахают].

Профессор Фринк. Тем самым образуется трехмерный объект, известный как куб, или фринкаэдр, – в честь того, кто его открыл.

Объяснения Фринка иллюстрируют связь между двумя и тремя измерениями. На самом деле этот подход можно использовать для объяснения связи между всеми измерениями.

В случае нулевой размерности мы имеем нульмерную точку, которую можно сдвинуть, скажем, в направлении x, чтобы получить путь, образующий одномерную линию, которую затем можно развернуть в перпендикулярном направлении y, чтобы создать двумерный квадрат. Именно с этого начинает свои объяснения профессор Фринк, так как двумерный квадрат можно сдвинуть в направлении z, перпендикулярном плоскости квадрата, и получить в итоге трехмерный куб (или фринкаэдр). И наконец, если не физически, то хотя бы математически можно пойти на шаг дальше и сдвинуть куб в еще одном перпендикулярном направлении (обозначенном как направление w), чтобы образовать четырехмерный куб. Куб в четырех (или более) измерениях известен как гиперкуб.

Схематический рисунок гиперкуба – это всего лишь эскиз, эквивалент контурного изображения, используемого для того, чтобы передать суть статуи Давида Микеланджело. Тем не менее контурное изображение гиперкуба позволяет выявить закономерность, которая помогает объяснить геометрию фигур в пространстве с четырьмя и более измерениями. Давайте проанализируем количество конечных точек, или углов (известных как вершины), имеющихся у каждого объекта, когда мы переходим от одного измерения к другому. Количество вершин подчиняется простой закономерности: 1, 2, 4, 8, 16, …. Другими словами, если d – это количество измерений, тогда число вершин равно 2d. Следовательно, десятимерный гиперкуб содержит 2^10 или 1024 вершины.

Несмотря на то что профессор Фринк хорошо разбирается в высоких размерностях, это, к сожалению, не помогает ему спасти Гомера, который продолжает бродить по своей новой вселенной. Это влечет за собой серию невероятных событий, которые заканчиваются посещением Гомером магазина эротических тортов. Во время своих приключений Гомер сталкивается с несколькими фрагментами математики, которые материализуются в трехмерном пространстве.

Например, вскоре после прохождения Гомера через портал вдали от него проносится на первый взгляд случайная последовательность чисел и букв: 46 72 69 6E 6B 20 72 75 6C 65 73 21. На самом деле эти буквы представляют собой числа в шестнадцатеричной системе счисления: в ней используются обычные цифры от 0 до 9, а также еще шесть цифр, обозначенных латинскими буквами от A до F: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 и F = 15. Каждая пара шестнадцатеричных цифр представляет символ в коде ASCII (сокр. от American Standard Code for Information Interchange – Американский стандартный код обмена информацией), который является протоколом конвертации букв и знаков препинания в числа, главным образом в компьютерных целях. Согласно протоколу ASCII, число 46 соответствует букве F, 72 – букве r и т. д. Если перевести таким образом всю последовательность, то получится смелое заявление, восхваляющее гиков: Frink rules! («Фринк рулит!»).

Через несколько мгновений в трехмерном пространстве благодаря сценаристу Дэвиду Коэну появляется еще один фрагмент математики:

1782¹² + 1841¹² = 1922¹²

Это еще одно ошибочное доказательство последней теоремы Ферма, наподобие созданного Коэном для эпизода «Волшебник Вечнозеленой аллеи», о котором мы говорили в главе 3. Эти числа тщательно подобраны таким образом, чтобы обе стороны уравнения были почти равны. Если сравнить сумму первых двух степеней с третьей степенью, результат окажется точным до первых девяти цифр, выделенных жирным шрифтом:

1 025 397 835 622 633 634 807 550 462 948 226 174 976 (1 782¹²)

+ 1 515 812 422 991 955 541 481 119 495 194 202 351 681 (1 841¹²)

= 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657

≈ 2 541 210 259 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 (1 922¹²)

Это означает, что расхождение между левой и правой частями уравнения составляет всего 0,00000003 процента, но это более чем весомый аргумент, чтобы считать данное решение уравнения ошибочным. На самом деле есть быстрый способ определить, что 1782¹² + 1841¹² = 1922¹² – ложное решение, не прибегая к громоздким вычислениям. Для этого достаточно обратить внимание на присутствие в уравнении четного числа (1782), возведенного в двенадцатую степень, которое в сумме с нечетным числом (1841), также возведенным в двенадцатую степень, предположительно равно четному числу (1922) в двенадцатой степени. Здесь четность и нечетность играют большую роль, поскольку нечетное число, возведенное в любую степень, всегда дает только нечетный результат, тогда как четное число, возведенное в любую степень, дает исключительно четный результат. Исходя из того, что сумма нечетного и четного числа всегда нечетная, левая сторона равенства может быть только нечетной, тогда как правая должна быть четной. Таким образом, очевидно, что это ошибочное решение:

четное¹² + нечетное¹² ≠ четное¹²

Моргните – и пропустите еще пять намеков на нердовские штучки, которые проплывают мимо Гомера в трехмерной вселенной. Первый – вполне безобидный обычный чайник. Почему же он нердовский? Когда в 1975 году один из пионеров компьютерной графики Мартин Ньюэлл из Университета штата Юта решил сгенерировать на компьютере какой-то объект, он выбрал именно этот предмет быта. Чайник был достаточно простым объектом, но в то же время содержал довольно сложные элементы, такие как ручка и кривые поверхности. С тех пор так называемый чайник из Юты стал отраслевым стандартом для демонстрации возможностей компьютерной графики. Именно такой чайник присутствует в сцене с чайной вечеринкой в мультфильме «История игрушек» (Toy Story), в спальне Бу из мультфильма «Корпорация Монстров» (Monsters, Inc.), а также еще в нескольких фильмах.

Второй намек – пролетающие мимо Гомера цифры 7, 3 и 4. Это зашифрованная ссылка на компанию Pacific Data Images, которая занималась созданием сцен с компьютерной графикой. Цифры на поле набора телефона ассоциируются с буквами P, D и I, представляющими собой акроним названия компании.

Третий – проносящееся мимо космологическое неравенство (ρm_0 > 3H_0² / 8πG), описывающее плотность вселенной Гомера. Составленное одним из близких друзей Коэна Дэвидом Шиминовичем, оно подразумевает высокую плотность, а это значит, что сила тяжести в итоге приведет к коллапсу вселенной, что на самом деле и происходит в конце истории.

Буквально перед исчезновением вселенной Гомера Коэн оставляет для проницательного зрителя особенно интригующий математический фрагмент. В сцене, показанной на приведенном выше рисунке, за левым плечом Гомера в несколько непривычном виде виднеется уравнение Эйлера. Оно также присутствует в эпизоде «ДеньгоБАРТ».

И наконец, в той же сцене за правым плечом Гомера можно увидеть соотношение P = NP. Хотя большинство зрителей даже не заметили бы его, не говоря уже о том, чтобы проанализировать, соотношение P = NP представляет собой ссылку на одну из самых важных нерешенных задач в теории вычислительных систем.

Утверждение P = NP касается двух классов математических задач. P означает polynomial, «полиномиальная задача», а NP – nondeterministic polynomial («недетерминированная полиномиальная задача»). Грубо говоря, задачи класса P легко решить, тогда как задачи класса NP трудно решить, но легко проверить.[51]

* * *

Например, умножение – это легкая задача, которая относится к классу P. Даже если умножаемые числа становятся больше, время на выполнение вычислений увеличивается умеренными темпами.

Напротив, разложение числа на множители (поиск его делителей) – задача класса NP. Она достаточно простая для малых чисел, но для больших становится практически невыполнимой. Например, если вас попросят разложить на множители число 21, вы сразу же найдете ответ: 21 = 3 × 7. Однако разложить на множители число 428 783 гораздо труднее. В действительности вам, возможно, понадобится около часа, чтобы с помощью калькулятора определить: 428 783 = 521 × 823. Важно то, что если бы вам дали числа 521 и 823, вы за несколько секунд смогли бы проверить, являются ли они делителями числа 428 783. Таким образом, разложение на множители – это классическая задача класса NP, поскольку в случае больших чисел ее трудно решить, но легко проверить.

Или… возможно, задача разложения на множители не так сложна, как нам кажется?

В этом случае перед математиками и программистами встает следующий фундаментальный вопрос: действительно ли задачу разложения на множители трудно решить, или мы просто не знаем способа, который бы нам позволил ее упростить? То же касается и множества других задач класса NP: они и правда настолько сложны, или все дело в нашем незнании более доступного варианта их решения?

Этот вопрос представляет собой нечто большее, чем обычный академический интерес, поскольку высокий уровень сложности решения задач класса NP лежит в основе некоторых важных технологий. Например, такие задачи используются в алгоритмах шифрования, опирающихся на предположении о том, что большие числа трудно разложить на множители. Однако если разложение на множители окажется не такой уж сложной задачей и кто-то найдет легкий способ ее решения, это разрушит системы шифрования, что, в свою очередь, поставит под угрозу всеобщую безопасность, от покупок в интернете до международных политических и военных контактов на самом высоком уровне.

Эту проблему часто описывают так: P = NP или P ≠ NP?. Другими словами, могут ли якобы сложные задачи (класса NP) однажды оказаться такими же легкими, как простые задачи (класса P), или нет?

Поиск решения загадки P = NP или P ≠ NP? входит в список самых востребованных математиками задач. Существует даже награда за ее решение. В 2000 году Математический институт Клэя, основанный филантропом Лэндоном Клэем в Кембридже, включил эту задачу в список семи задач тысячелетия, и назначил вознаграждение в 1 миллион долларов за окончательный ответ на вопрос: P = NP или P ≠ NP?.

Дэвид Коэн, который изучал задачи класса P и NP во время учебы в магистратуре Калифорнийского университета в Беркли, подозревает, что в действительности задачи класса NP гораздо проще, чем мы считаем. Именно поэтому соотношение P = NP появляется за плечом Гомера в трехмерной вселенной.

Однако Коэн придерживается мнения меньшинства. Когда в 2002 году специалист по теории вычислительных систем из Университета штата Мэриленд Уильям Газарк провел опрос среди сотни исследователей, только 9 процентов ответили, что P = NP, тогда как 61 процент респондентов отдали предпочтение P ≠ NP. В 2010 году в ходе аналогичного опроса в пользу P ≠ NP высказались уже 81 процент респондентов.

Безусловно, в математике истина определяется не уровнем популярности, но если мнение большинства окажется правильным, то включение соотношения P = NP в фрагмент «Трехмерный Гомер» будет выглядеть несколько неуместным. Однако это не должно стать проблемой в краткосрочной перспективе, поскольку, по мнению половины опрошенных математиков, эта задача не будет решена в текущем столетии.

И наконец, в эпизоде «Трехмерный Гомер» есть еще одна математическая ссылка, заслуживающая упоминания. А если точнее, она появляется в конце всего эпизода «Маленький домик ужасов на дереве 6», в его финальных титрах. По сложившейся традиции титры к эпизодам «Симпсонов», посвященным Хеллоуину, всегда представлены несколько необычно. Например, Мэтт Грейнинг появляется в них как Летучая Мышь Грейнинг, Крыса Грейнинг, Мэтт «Привидение» Грейнинг и Ужасный Мэтт Грейнинг.

Эта традиция возникла под влиянием комиксов под названием «Байки из склепа» (Tales from the Crypt), в которых регулярно появлялись видоизмененные имена авторов и художников. Их издатель, EC Comics, приобрел печальную известность после того, как в 1954 году Подкомитет сената по делам несовершеннолетних провел слушания по вопросу комиксов, по результатам которых был сделан вывод о том, что «Байки из склепа» и другие публикации издательства негативно сказываются на молодом поколении страны. Это привело к тому, что из всех комиксов были удалены зомби, оборотни и им подобные персонажи. В результате в 1955 году «Байки из склепа» прекратили свое существование. Тем не менее у них до сих пор немало поклонников, большинство которых еще даже не родились, когда комикс скоропостижно скончался. К их числу относится и Эл Джин – именно он предложил идею включить видоизмененные титры в эпизоды серии «Маленький домик ужасов на дереве».

Все это объясняет, почему в титрах к эпизоду «Маленький домик ужасов на дереве 6» можно увидеть такие имена, как Брэд «Колосажатель» Бирд, Оборотень Ли Хартинг, Что-с-тобой-стряслось Грейнинг. А если вы посмотрите очень внимательно, то заметите очаровательную ссылку на теорему Пифагора и автора сценария к фрагменту «Трехмерный Гомер»:

Дэвид² + С.² = Коэн²

ЭКЗАМЕН IV

ЭКЗАМЕН НА УРОВНЕ МАГИСТРАТУРЫ

Шутка 1

Вопрос: Что такое полярный медведь?

Ответ: Прямоугольный медведь после перехода в полярную систему координат.

2 балла

Шутка 2

Вопрос: Что значит «Семь реалов! Семь реалов!»?

Ответ: Попугайская ошибка. (Англ. parroty error («ошибка попугая») созвучно с parity error – «ошибка четности»; испанские монеты выпускались достоинством восемь реалов.)

2 балла

Шутка 3

Рассел Уайтхеду: «Мой Гедель меня убивает!» (Имя Kurt Gödel звучит как kurt girdle, а girdle означает «корсет».)

3 балла

Шутка 4

Вопрос: Что коричневое, пушистое, бежит к морю и эквивалентно аксиоме выбора?

Ответ: Лемминг Цорна (созвучно с «лемма Цорна»).

2 балла

Шутка 5

Вопрос: Что желтое и эквивалентно аксиоме выбора?

Ответ: Лимон Цорна.

2 балла

Шутка 6

Вопрос: Почему чем большая точность интерполирующей функции вам нужна, тем дороже обходится ее вычисление?

Ответ: Дело в законе спроса и предложения. (Англ. supply («предложение») созвучно со spline – «сплайн».)

3 балла

Шутка 7

Два математика, Исаак и Готфрид, приходят в паб. Исаак начинает жаловаться на отсутствие математических знаний у простых людей, но Готфрид настроен более оптимистично. Чтобы доказать свою точку зрения, Готфрид ждет, пока Исаак уйдет в туалет, подзывает официантку и объясняет ей, что после возвращения Исаака задаст ей вопрос, на который она должна ответить: «Одна третья икс в кубе». Официантка переспрашивает: «Одна треть яиц вкупе?» Готфрид повторяет свое предложение, на этот раз более медленно: «Одна… третья… икс… в… кубе». Официантка вроде бы понимает (более-менее) и уходит, снова и снова бормоча себе под нос: «Одна треть яиц вкупе».

Вернувшись, Исаак снова выпивает с Готфридом, и спор продолжается. В конце концов Готфрид подзывает официантку, чтобы доказать свою точку зрения: «Исаак, давай проведем эксперимент. Мисс, позвольте мне задать вам простой вопрос по интегральному исчислению. Чему равен интеграл от икс в квадрате?» Официантка останавливается и неуверенно произносит: «Одна треть яиц вкупе». Готфрид самодовольно улыбается, но официантка, уже собираясь уходить, оборачивается, дерзко смотрит на двоих математиков и говорит: «…Плюс константа».

6 баллов

Всего – 20 баллов

Персонажи «Футурамы» (слева направо): Зепп Бранниган (25-звездный генерал и капитан звездолета «Нимбус»); Мамочка (коварная владелица компании MomCorp); профессор Хьюберт Дж. Фарнсворт (160-летний основатель компании Planet Express); Лила (капитан «Межпланетного экспресса»), Бендер (беспутный робот); Филипп Дж. Фрай (парень из ХХ столетия, проснувшийся в XXXI столетии); Зойдберг (врач «Межпланетного экспресса», прибывший с планеты Декапод-10); Киф Крокер (член экипажа «Нимбуса», влюблен в Эми), а также Эми Вонг (член экипажа «Межпланетного экспресса», влюблена в Кифа).

FUTURAMA © 2002 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Глава 14

Рождение «Футурамы»

После выхода эпизода «Трехмерный Гомер» в октябре 1995 года мультсериал «Симпсоны» поднялся на новый математический уровень, однако Мэтт Грейнинг уже начал подумывать о другом проекте. Его первый анимационный телесериал получил поистине всемирный успех, и телекомпания Fox попросила Грейнинга взяться за родственный сериал.

В 1996 году Грейнинг в сотрудничестве с Дэвидом Коэном приступил к созданию научно-фантастического мультсериала. Коэн был единомышленником Грейнинга, тоже увлекался научной фантастикой, и особенно полюбил ее после просмотра сериала «Звездный путь». К тому же Коэн очень ценил творчество таких выдающихся писателей-фантастов, как Артур Кларк и Станислав Лем. Именно серьезное отношение к научной фантастике стало для Коэна отправной точкой нового сериала: «Мы с Мэттом Грейнингом с самого начала решили не делать сериал слишком глупым. У нас совсем не было желания высмеивать научную фантастику, разве что сделать ее забавной».

Кроме того, Коэн обладал всеми необходимыми знаниями для решения неизбежных технологических проблем, возникающих в процессе научно-фантастических приключений, например – как преодолевать межгалактические расстояния за разумное время. Это вечная проблема в научной фантастике, поскольку ни космические корабли, ни что-либо другое не могут передвигаться быстрее скорости света, а свету понадобится два миллиона лет, чтобы долететь до ближайшей спиральной галактики. Коэн предложил два решения, которые позволили бы персонажам нового мультсериала перемещаться между галактиками за разумное время. Одно сводилось к включению в сюжет информации о том, что в 2208 году ученым удалось превысить скорость света, а другое, еще более смелое, заключалось в использовании в новом сериале двигателя, который способен достигать сверхсветовых скоростей, ускоряя Вселенную вокруг него, а не корабля, на котором он установлен.

Грейнинг и Коэн начали работать над сюжетом, основанном на приключениях персонажа по имени Филипп Дж. Фрай, нью-йоркского разносчика пиццы, который был заморожен в криогенной камере в первые часы 2000 года. Проснувшись через тысячу лет в Новом Нью-Йорке, Фрай с нетерпением ждет начала новой жизни в XXXI веке, надеясь на то, что его нынешняя карьера будет более достойной, чем прежняя. Но как это ни печально, он с досадой узнает, что ему должны вживить специальный карьерный чип, обрекающий на ту же работу – разносчика пиццы. Единственное отличие состоит в том, что вместо доставки пиццы в Нью-Йорке он будет развозить ее по разным планетам, работающим в компании «Межпланетный экспресс».

Определившись с Фраем, Грейнинг и Коэн приступили к созданию других персонажей команды «Межпланетного экспресса». В частности, коллегами Фрая стали: Лила – одноглазая девушка-мутант, неоднократно разбивавшая сердце Фрая; Бендер – робот с порочными хобби, такими как воровство, азартные игры, мошенничество, выпивка и еще кое-что похуже; профессор Хьюберт Дж. Фарнсворт –160-летний основатель компании «Межпланетный экспресс»; доктор Джон Зойдберг – омароподобный врач компании «Межпланетный экспресс»; Гермес Конрад – бывший олимпийский чемпион по лимбо и бухгалтер компании; а также Эми Вонг – стажер.

Во многих отношениях «Футурама» должна была напоминать любой классический комедийный сериал, в котором действие происходит на работе, наподобие американского сериала «Такси» или британского – «Компьютерщики» (The IT Crowd). Единственное отличие состояло в том, что в новом фантастическом мультсериале была возможна любая сюжетная линия, поскольку экипаж «Межпланетного экспресса», доставляющий посылки по всей Вселенной, мог встречаться с разными инопланетянами на удивительных планетах со своими специфическими проблемами.

Несмотря на первоначальный интерес со стороны телекомпании Fox, Грейнинг вскоре понял, что его эксцентричные персонажи и их комические приключения не произвели особого впечатления на топ-менеджеров компании. Когда представители Fox попытались вмешаться, Грейнинг продолжал стоять на своем. Давление усилилось, но Грейнинг сопротивлялся еще больше. В конце концов, после событий, которые Грейнинг назвал самым худшим опытом своей взрослой жизни, ему удалось взять верх, после чего работа над новым сериалом началась на тех же условиях, что и у «Симпсонов», согласно которым авторам сериала предоставили полный контроль над процессом его создания.

После получения официального разрешения сериалу было дано название «Футурама» – по аналогии с выставкой на Всемирной ярмарке в Нью-Йорке в 1939 году, которая предлагала посетителям путешествие в «мир завтрашнего дня». Затем Грейнинг и Коэн начали формировать команду сценаристов, потому что по негласной договоренности сериал «Футурама» не должен был переманивать сценаристов «Симпсонов». Как и следовало ожидать, у некоторых новых членов команды было образование в области информационных технологий, математики и других точных наук. Один из новых сценаристов, Билл Оденкирк, получил степень доктора наук по органической химии в Чикагском университете. В действительности он был одним из создателей 2,2’-бис(2-инденил) бифенила, который используется в качестве катализатора при производстве пластмасс.

На этапе формирования команды сценаристы мультсериала получили право вступить в профсоюз. Поскольку уже был один член профсоюза по имени Дэвид С. Коэн, а сценаристы – члены профсоюза не могли иметь одинаковые имена, автор «Футурамы» сменил свое имя на Дэвид Х. Коэн, где буква «Х» отображала то, что прежде всего представляло для Коэна интерес – научная фантастика и математика. Другими словами, Коэн был как Х-филом (любителем сериала The X-Files – «Секретные материалы»), так и x-филом (любителем алгебры).

Первый эпизод «Футурамы» вышел на экраны 28 марта 1999 года. Хотя все ожидали, что в этом научно-фантастическом сериале будет много научных фактов, более эрудированных зрителей впечатлило не это, а количество и качество нердовских ссылок.

Например, в эпизоде «Я, сосед» (I, Roommate, сезон 1, эпизод 3; 1999 год) рассказывается о том, как Фрай решает поселиться в одной квартире с Бендером – раздражительным роботом, склонным к сквернословию. На стене в их новой квартире висит табличка:

Это ссылка на язык программирования Бейсик (BASIC, Beginner’s All-purpose Symbolic Instruction Code – «универсальный код символических инструкций для начинающих»), в котором каждой команде присваивается номер и все инструкции выполняются по порядку. Команда GOTO часто встречается в программах на языке Бейсик; в данном примере команда 30 GOTO 10 означает вернуться к строке 10. Следовательно, надпись на табличке передает идиоматическое выражение «Дом, милый дом». Если полностью следовать логике этой надписи, она означает: «Дом, милый дом, милый дом, милый дом…».

Шутка о Бейсике – всего лишь часть общего фона для данной сцены, она подчиняется первому правилу команды сценаристов «Футурамы»: трудные для понимания ссылки применять только тогда, когда они не мешают сюжету. Такая же не совсем понятная шутка присутствует и в эпизоде «Марсианский университет» (Mars University, сезон 1, эпизод 11; 1999 год), в котором мы буквально мгновение видим доску с написанными на ней сложными уравнениями из области физики, известной как «суперсимметричная теория струн», только в «Футураме» эта теория носит название «супер-дупер-симметричная теория струн», а главная шутка связана с диаграммой под названием «собака Уиттена», что представляет собой шутливую ссылку как на Эда Уиттена, так и на кота Шредингера.

Эда Уиттена, одного из основателей теории суперструн, принято считать величайшим физиком-теоретиком и умнейшим ученым, который не удостоился Нобелевской премии. В качестве компенсации Уиттен может претендовать хотя бы на то, что его имя было увековечено в «Футураме». Кот Шредингера – это знаменитый мысленный эксперимент, который проводится в нашем воображении, а не в лаборатории. Эрвин Шредингер, получивший Нобелевскую премию по физике в 1933 году, задал такой вопрос: что произойдет внутри деревянного ящика, в котором находится кот, немного радиоактивного материала и механизм выпускания яда, который может сработать в результате непредсказуемого радиоактивного распада? Будет ли кот жив или мертв через минуту? Произойдет ли за эту минуту радиоактивный распад, запускающий механизм выделения яда? В XIX столетии физики сказали бы, что кот либо мертв, либо жив, но мы не знаем, какой из вариантов верен. Однако в первые десятилетия XX века была разработана новая квантовая теория устройства Вселенной, предлагающая весьма странную идею о том, что кот находится в так называемой суперпозиции состояний, а это означает, что кот и мертв, и жив одновременно… до тех пор, пока ящик не будет открыт и ситуация не станет очевидной.

Шредингер и его кот присутствуют еще в одном эпизоде «Футурамы» под названием «Закон и оракул» (Law and Oracle, сезон 6, эпизод 17; 2011 год). Дорожная полиция гонится за мчащимся с огромной скоростью Шредингером, который в конце концов попадает в аварию. Когда он выбирается из-под обломков, его спрашивают о коробке. Полицейские – это URL (произносится как Эрл) и Фрай, который временно покинул компанию «Межпланетный экспресс».

Эрл. Что в коробке, Шредингер?

Шредингер. Ммм… Кот, немного яда и атом цезия.

Фрай. Кот! Живой или мертвый? Живой или мертвый?

Эрл. Отвечай ему, болван!

Шредингер. Он одновременно и жив, и мертв, пока вы не откроете коробку и не вызовете коллапс волновой функции.

Фрай. Как бы не так! [Фрай открывает коробку, из которой выскакивает кот и нападает на него. Эрл поближе рассматривает коробку.]

Эрл. Кроме того, здесь полно наркоты.

Разумеется, это книга о математике, а не о физике, поэтому пора сфокусироваться на десятках сцен из «Футурамы», в которых есть все, от искривленной геометрии до бесконечно больших чисел. Одна из таких сцен включена в эпизод «Гудок» (The Honking, сезон 2, эпизод 18; 2000 год), в котором рассказывается о том, как Бендер отправляется в населенный привидениями замок покойного дяди Владимира, чтобы присутствовать при оглашении его последней воли. Когда робот сидит вместе с друзьями в библиотеке, на стене появляются написанные кровью цифры 0101100101. Бендер больше озадачен, чем испуган, но, увидев эти цифры в зеркале в обратном порядке, – 1010011010 – он приходит в ужас.

Хотя в самом эпизоде не дается никакого объяснения, зрители, знакомые с двоичной системой счисления, поняли внушающий ужас смысл этой сцены. Если перевести двоичное число 0101100101 в десятичную систему счисления, получается 357. У этого числа нет никакого неприятного глубинного смысла, но его зеркальное отражение действительно ужасает. Мы можем перевести число 1010011010 из двоичной в десятичную систему следующим образом:

Число 666 всегда ассоциируется с дьяволом, поскольку это – число зверя. Следовательно, число 1010011010 можно считать числом двоичного зверя.

Как ни странно, математики, которым не свойственна склонность к дьявольской нумерологии и поклонение дьяволу, испытывают привязанность к числу 666. Они даже нашли особое простое число, которое содержит такую серию цифр: 1 000 000 000 000 066 600 000 000 000 001. Это простое число Бельфегора, названное так в честь одного из семи князей ада. Кроме цифр 666 в самом центре, оно содержит тринадцать несчастливых нолей с каждой стороны числа зверя.

Это скрытое сообщение в эпизоде «Гудок» представляет собой ссылку на классический фильм ужасов The Shining («Сияние»), снятый в 1980 году. В одной из его самых знаменитых сцен мальчик по имени Денни заходит в спальню матери и рисует помадой на двери слово REDRUM. Мать просыпается и обнаруживает рядом с кроватью сына с ножом в руках, а затем замечает отражение этой надписи в зеркале туалетного столика, которая теперь читается как MURDER («убийство»).

Число 666, записанное в виде перевернутого двоичного числа, – изящный математический код, являющийся одним из многих закодированных сообщений, присутствующих в «Футураме». Все эти сообщения демонстрируют разные принципы криптографии – области прикладной математики, которая занимается вопросами создания и взламывания шифров.

Например, в нескольких эпизодах «Футурамы» есть рекламные щиты, таблички или граффити, содержащие надписи, составленные из инопланетных символов. Самый простой такой текст присутствует в эпизоде «Смертельный осмотр» (Lethal Inspection, сезон 6, эпизод 6; 2010 год), где мы видим следующую надпись:

Криптографы называют это подстановочным шифром, поскольку каждая буква алфавита заменяется на какой-либо другой символ, в данном случае – на инопланетный. Шифр такого типа впервые взломал математик IX столетия Абу аль-Кинди, который понял, что каждая буква имеет свои особенности. Более того, эти особенности переходят к тому символу, который используется вместо нее в закодированном сообщении. Определив их, можно расшифровать текст.

Например, частота встречаемости буквы – одна из ее самых важных особенностей. В частности, буквы e, t и a чаще всего встречаются в тексте на английском языке, тогда как самые распространенные символы в инопланетном сообщении – это и : оба символа встречаются по шесть раз каждый. Следовательно, они, по всей вероятности, используются вместо e, t или a, но как определить точнее? Полезная подсказка дана в первом слове, , в котором повторяется символ . В английском языке не так уж много слов с повторением букв «aa» или «tt», но зато масса с буквами «ee», например been, seen, teen, deer, feed и fees. Следовательно, есть все основания предположить, что = e. Проделав еще немного подобной детективной работы, можно расшифровать это сообщение так: «Need extra cash? Melt down your old unwanted humans. We pay top dollar» («Нужны наличные? Сдайте своих старых ненужных людей. Мы платим большие деньги»).

Неудивительно, что поклонники «Футурамы» из числа знатоков математики легко взломали этот инопланетный шифр, поэтому Джефф Уэстбрук (который писал сценарии как для «Футурамы», так и для «Симпсонов») разработал его более сложную версию.

Усилия Уэстбрука привели к созданию текстового шифра с автоключом, напоминающего шифр, впервые изобретенный Джироламо Кардано (1501–1576), одним из величайших итальянских математиков эпохи Возрождения. Шифр работает так: сначала присваиваются числа всем буквам алфавита: A = 0, B = 1, C = 2, D = 3, E = 4, …, Z = 25. После этого процесс шифрования требует выполнения еще двух шагов. Во-первых, каждую букву необходимо заменить на сумму чисел, соответствующих всем буквам всех слов до данной буквы включительно. Следовательно, словосочетание BENDER OK преобразуется следующим образом:

Второй и последний этап шифрования подразумевает замену каждой суммы чисел соответствующим символом из следующего списка:

Существует всего 26 символов, которым присвоены числа от 0 до 25. Тогда какой же символ соответствует буквам R, O и K, суммы чисел которых составляют 42, 56 и 66? Его следует выбирать по такому правилу[52]: числа больше 25 необходимо сокращать на 26 снова и снова до тех пор, пока они не попадут в диапазон от 0 до 25. Следовательно, чтобы найти символ для буквы R, мы вычитаем 26 из 42, что дает нам 16, а это число соответствует символу . Применив то же правило к оставшимся буквам, словосочетание BENDER OK будет зашифровано в таком виде: .

Однако если бы перед BENDER OK были другие слова, то это словосочетание было бы зашифровано совсем иначе, поскольку изменилась бы общая сумма чисел, соответствующая каждой букве. Все это сделало разработанный Уэстбруком шифр с автоключом крайне трудным для взлома. Он использовал его для кодирования различных сообщений в нескольких эпизодах, и они стали серьезным вызовом тем поклонникам «Футурамы», которые считали своим хобби взлом кодов, появляющихся в мультсериале. В действительности прошел целый год, прежде чем кто-то из зрителей «Футурамы» таки расшифровал эти сообщения.

* * *

Хотя вполне резонно было ожидать появления сложных зашифрованных сообщений в эпизоде «Футурамы» под названием «Код да Винчи» (The Duh-Vinci Code, сезон 6, эпизод 5; 2010 год), его математический аспект связан с совершенно другой областью математики. В этом эпизоде члены команды «Межпланетного экспресса» анализируют детали картины Леонардо да Винчи «Тайная вечеря» и вдруг замечают нечто необычное в изображении Иакова, одного из апостолов, сидящего у левого края стола. Мощная рентгеновская установка позволяет определить, что в первоначальном варианте да Винчи нарисовал деревянного робота. Для того чтобы выяснить, был ли Иаков первым роботом, члены экипажа отправляются в Рим, где находят могилу святого Иакова. Важно то, что они находят также склеп с такой зашифрованной надписью:

IIXI − (XXIII • LXXXIX)

На первый взгляд эти римские числа могут показаться обычной датой. Но если присмотреться повнимательнее, можно увидеть, что надпись включает скобки, знак минус и точку, символизирующую знак умножения. Здесь присутствует даже крайне необычное представление римских чисел: одно римское число, возведенное в степень, представленную другим римским числом (IIXI). Если записать все эти римские числа в более привычном виде, мы начнем понимать смысл надписи:

IIXI − (XXIII • LXXXIX)

2¹¹ − (23 × 89)

Поскольку 2¹¹ = 2048, а 23 × 89 = 2047, результат вычитания равен 1. В этом нет ничего особенного, но если немного видоизменить уравнение, оно покажется нам знакомым:

2¹¹ – (23 × 89) = 1

2¹¹ – 1= (23 × 89)

2¹¹ – 1 = 2047

Теперь мы видим, что число 2047 получено в соответствии с общей формулой 2p − 1. В данном случае p равно 11, но это может быть и любое другое число. Как было сказано в главе 8, формула 2p − 1 – это рецепт, который использует в качестве ингредиентов простые числа для образования новых простых чисел, и эти новые числа называются простыми числами Мерсенна. Однако формула 2¹¹ – 1 представляет особый интерес, так как дает в результате число 2047, которое не является простым, а является произведением чисел 23 и 89. В действительности число 2047 – это наименьшее число типа 2p − 1, которое не относится к категории простых чисел.

Эта ссылка полностью соответствует основным критериям классической шутки в режиме стоп-кадра. Во-первых, зашифрованная надпись не имеет никакого отношения к сюжету эпизода, а просто говорит о том, что сценаристам нравится развлекаться с числами. Во-вторых, невозможно быстро записать эти римские числа, перевести их в десятичную систему счисления и понять смысл надписи за те несколько мгновений, пока надпись видно на экране.

Еще одна шутка в режиме стоп-кадра появляется в эпизоде «Положи свою голову мне на плечо» (Put Your Head on My Shoulders, сезон 2, эпизод 7; 2000 год). Когда Бендер открывает компьютерное агентство знакомств, мы видим надпись, которая гласит, что оно «конфиденциальное и дискретное» (англ. discreet and discrete). Первое определение подразумевает, что Бендер намерен уважать неприкосновенность частной жизни клиентов, как и подобает агентствам такого типа. Но слово «дискретное» звучит более чем странно в контексте брачного агентства, поскольку в математических кругах это определение используется для обозначения области исследований, имеющей дело с данными, которые не меняются плавно или непрерывно. Задача на переворачивание блинов – одна из областей дискретной математики, поскольку в этом случае можно рассматривать один переворот или два переворота, а не полтора или любую другую долю переворота блинов. Возможно, на эту шутку в режиме стоп-кадра сценаристов вдохновил старый анекдот о дискретной математике.

Вопрос: Что вы скажете о математике, у которого много романтических связей, но который не любит об этом говорить?

Ответ: Дискретные данные.

Другие шутки в режиме стоп-кадра, присутствующие в «Футураме», связаны с надписями на вывесках, такими как «Студия 1²2¹3³» в эпизоде «Перерождение» (Rebirth, сезон 6, эпизод 1; 2010 год). Если вычислить результат этого выражения, получится 1²2¹3³ = 1 × 2 × 27 = 54, а это ссылка на знаменитый нью-йоркский ночной клуб 1970-х под названием «Студия 54». Точно так же мы на какое-то мгновение видим надпись «Историческая дорога √66» вместо «Историческая дорога 66» в эпизоде «Исход паразитов» (Parasites Lost, сезон 3, эпизод 2; 2001 год), а в эпизоде «Акционеры будущего» (Future Stock, сезон 3, эпизод 21; 2002 год) появляется улица с иррациональным названием «π-я авеню».

Хотя искушение назвать все эти математические шутки поверхностными довольно велико, во многих случаях сценаристы долго думали над идеями, положенными в их основу. Яркий тому пример – комплекс Madison Cube Garden, который присутствует в нескольких эпизодах «Футурамы». Когда Дэвид Коэн придумал концепцию воплощения нью-йоркского комплекса Madison Square Garden в XXXI веке, далее возник вопрос, как именно его нарисовать в контексте «Футурамы». Было очевидно, что это должен быть спортивный комплекс кубической формы с фундаментом, четырьмя стенами и стеклянной крышей. Однако Кен Килер и его коллега Джей Стюарт Бернс решили тщательно изучить геометрию куба, с тем чтобы выяснить, нет ли более интересного варианта для ориентации и дизайна комплекса Madison Cube Garden. В итоге сценаристы настолько серьезно отнеслись к этому вопросу, что потратили на изучение геометрии куба несколько часов, из-за чего остальным членам команды пришлось устроить перерыв.

Не особо задумываясь о том, к чему это их приведет, Бернс и Килер задались вопросом, какие сечения можно получить, разрезав куб в той или иной плоскости. Например, горизонтальный срез, разделяющий куб на две равные части, дает квадратное сечение. Если разрезать куб по диагонали от верхней грани до противоположного нижнего ребра, получится прямоугольное сечение. Если срезать угол, то треугольное, причем в зависимости от угла среза сечение может представлять собой равносторонний, равнобедренный или разносторонний треугольник.

По-прежнему движимые чистым любопытством, Бернс и Килер задумались над тем, нельзя ли получить сечение более экзотической формы. Отложив в сторону блокноты для зарисовок, они начали строить бумажные кубы, а затем резать их. После жарких споров и кипы смятой бумаги на Бернса и Килера снизошло озарение. В конце концов они поняли, что можно создать шестиугольное сечение, разрезав куб под определенным углом. На первый взгляд это кажется неправдоподобным, но представьте, что вы проводите линию между средними точками двух смежных ребер куба, как показано пунктиром на представленном ниже рисунке. Далее остается только сделать срез от этой линии до линии, отмеченной точечным пунктиром, и в результате будет получено сечение в форме правильного шестиугольника. Сечение имеет шесть сторон, поскольку срез проходит через все шесть граней куба.

Существует еще один способ получить такое сечение. Представьте, что куб изготовлен из куска хлопчатобумажной ткани, прикрепленной к одному из его углов. Сделайте горизонтальный срез ровно посредине свободно свисающего многогранника. Если бы куб можно было каким-то образом оставить нетронутым после разрезания… если бы его можно было мягко опустить на поверхность… если бы самый нижний угол можно было как-то прикрепить к этой поверхности, то вы получили бы почти идеальную модель комплекса Madison Cube Garden. Для того чтобы завершить ее построение, область над сечением необходимо представить в виде прозрачной крыши, тогда как нижнюю область можно использовать в качестве наклонной поверхности для размещения сидений.

За время, прошедшее с момента создания Бернсом и Килером комплекса Madison Cube Garden с уникальной геометрией, он был местом проведения матчей Лиги смертельных боев роботов, боев гигантских муравьев, а также Олимпийских игр 3004 года. На самом деле комплекс Madison Cube Garden появляется в десяти эпизодах, что делает его самым известным фрагментом математики в «Футураме», хотя и не самым интригующим.

Эта честь принадлежит числу 1729.

Глава 15

Число 1729 и романтическое происшествие

Герой «Футурамы» Зепп Бранниган – это 25-звездный генерал и капитан звездолета «Нимбус». Хотя у Браннигана много восторженных поклонников, считающих его храбрым воином, в действительности он одержал большинство побед в борьбе против более слабых соперников, таких как пацифисты из Туманности Ганди или пенсионеры из Туманности пожилых людей. Бранниган – по сути своей позер, тщеславие и невежество которого вызывают раздражение у членов его экипажа. В действительности терпеливый помощник Браннигана лейтенант Киф Крокер изо всех сил старается скрыть свое презрение к некомпетентному руководителю.

Киф – обитатель планеты Амфибиус 9, появление которого в эпизодах «Футурамы» зачастую связано с его сложными отношениями с Бранниганом или романтическими – со стажером «Межпланетного Экспресса» Эми Вонг. Всякий раз, когда Киф и Эми оказываются в одной области Вселенной, они делают все возможное, чтобы встретиться и провести немного времени вместе. В эпизоде «Киф, похоже, залетел» (Kif Gets Knocked Up a Notch, сезон 4, эпизод 1; 2003 год) Эми посещает Кифа на борту «Нимбуса», где Киф ведет ее в голозал, который используется для моделирования реальности посредством проецирования трехмерных голографических изображений различных объектов и существ. Эми визжит от радости, когда в голозале появляется знакомое ей животное.

Эми. Спирит! Киф, я всегда мечтала об этом пони, но родители сказали, что у меня и так их слишком много.

Киф. Да, я запрограммировал его для тебя. Четыре миллиона команд на Бейсике!

В эпизоде «Я, сосед» мы уже встречались с шуткой, в основу которой положено знание языка программирования Бейсик. Хотя ссылки на компьютерные науки – традиция «Футурамы», один из сценаристов сериала, не принадлежащий к числу нердов, не оценил строку диалога с упоминанием о четырех миллионах команд на Бейсике. Он посчитал эту шутку слишком трудной для понимания и предложил ее удалить. Но Эрик Каплан (сценарист, который изучал в свое время философию науки) сразу же отверг эту идею. Патрик Веррон, присутствовавший тогда на совещании, вспоминает об этом так: «Эрик Каплан высказал там знаменитое замечание. Кто-то сказал: “Четыре миллиона команд на Бейсике – кто это поймет?” И Каплан в сердцах выпалил: “Да ну их к черту!” С тех пор это стало мантрой. Если зрители не понимают чего-то, они получат следующую шутку».

В том же эпизоде есть еще более непонятная математическая ссылка, находящаяся на боковой стороне космического корабля «Нимбус». Проницательные фанаты «Футурамы» обязательно заметят, что регистрационный номер корабля – BP-1729. Было бы проще всего проигнорировать этот номер, считая его произвольным числом, но сценаристы «Футурамы» никогда не упускают случая воздать должное математике, поэтому было бы правильнее исходить из предположения, что каждое число появляется на экране неспроста.

На самом деле число 1729 должно иметь определенный смысл, так как оно возникает в различных ситуациях в нескольких эпизодах «Футурамы». Например, в эпизоде «Рождественская история» (Xmas Story, сезон 2, эпизод 4; 1999 год) появляется Мамочка, коварная владелица компаний MomCorp и Mom’s Friendly Robot Company. Учитывая, что Мамочке принадлежит завод, построивший Бендера, она считает себя его матерью, поэтому присылает ему открытку с серийным номером:

Кроме того, в эпизоде «Парабокс Фарнсворта» (The Farnsworth Parabox, сезон 4, эпизод 15; 2003 год) экипаж «Межпланетного экспресса» втягивается в авантюру с параллельными вселенными, причем каждая вселенная заключена в коробку с определенным номером. Проверяя коробки в поисках своей вселенной, Фрай запрыгивает в одну из них и оказывается во вселенной 1729.

Так что же делает число 1729 таким особенным? Может, оно появляется в различных эпизодах «Футурамы» по той причине, что указывает на особый фрагмент числа е? Если мы точно определим 1729-й десятичный знак числа е, то увидим, что с него начинается первая последовательность всех десяти цифр в этом знаменитом иррациональном числе:

Однако кто-то наверняка посчитает это наблюдение тривиальным, тогда, может, это одно из чисел харшад – категории чисел, которую выделил авторитетный индийский математик и школьный учитель Даттатрея Рамчандра Капрекар (1905–1986). На древнеиндийском языке санскрит слово «харшад» означает «даритель радости», а ее причина в том, что такие числа без остатка делятся на сумму своих цифр. Следовательно, если мы сложим цифры числа 1729, то получим 1 + 7 + 2 + 9 = 19, а 1729 действительно делится на 19 без остатка.

Кроме того, 1729 – особое число харшад, так как оно является результатом умножения суммы своих цифр на число, обратное этой сумме: 19 × 91 = 1729. Это делает данное число примечательным, но не уникальным, потому что есть еще три числа с аналогичным свойством: 1, 81 и 1458. Но поскольку авторы «Футурамы» не одержимы числами 1, 81 или 1458, должна быть другая причина того, почему число 1729 неоднократно появляется в сценариях к разным эпизодам мультсериала.

На самом деле сценаристы выбрали число 1729 в качестве регистрационного номера звездолета «Нимбус», серийного номера Бендера и номера параллельной вселенной потому, что оно упоминается в одной из самых знаменитых бесед за всю историю математики, которая состоялась в конце 1918 – начале 1919 года между двумя величайшими математиками ХХ столетия, Годфри Харди и Шринивасой Рамануджаном. Трудно даже себе представить, что у двух людей с такими разными биографиями столько общего.

Годфри Харолд Харди (1877–1947) вырос в семье учителей в графстве Суррей (Англия). В двухлетнем возрасте он записывал числа, достигающие миллионов, а чуть позже вычислял делители чисел из церковных гимнов, чтобы немного развлечься во время церковных служб. Харди получил стипендию для обучения в престижном Уинчестерском колледже, а затем учился в Тринити-колледже Оксфордского университета, где стал членом тайного общества под названием «Кембриджские апостолы». К тридцати годам Харди уже был одним из немногих британских математиков мирового уровня. На самом деле в начале ХХ столетия французы и немцы (среди прочих) превзошли британцев в плане математической строгости и амбиций, но исследования и лидерские качества Харди помогли восстановить репутацию страны в этой области. Всего этого уже было достаточно для того, чтобы Харди занял достойное место среди великих математиков, но он сделал еще более весомый вклад, открыв талант гениального юноши по имени Шриниваса Рамануджан, которого считал самым одаренным математиком современной эпохи.

Шриниваса Рамануджан родился в 1887 году в южном индийском штате Тамил-Наду. В возрасте двух лет он заболел оспой, но выжил, в отличие от троих младших братьев и сестер, которые умерли в младенческом возрасте. Бедные родители посвятили всю свою жизнь единственному ребенку и записали его в местную школу. Со временем школьные учителя начали замечать, что Рамануджан демонстрирует поразительные способности к математике и порой даже ставит их в тупик. Интерес Рамануджана к математике в значительной мере связан с тем, что однажды в библиотеке он наткнулся на книгу Джорджа Шубриджа Карра A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics («Сборник элементарных результатов чистой математики»), в которой были собраны доказательства тысяч теорем. Мальчик анализировал эти теоремы и методы их доказательства, но ему приходилось выполнять громоздкие вычисления с помощью мела и грифельной доски, используя загрубевшие локти в качестве ластика, поскольку он не мог позволить себе бумагу.

Единственный недостаток такой одержимости математикой состоял в том, что Рамануджан пренебрегал другими предметами. В итоге, когда пришло время сдавать экзамены, Рамануджан получил плохие оценки, из-за чего индийские колледжи отказали ему в предоставлении стипендии, необходимой для продолжения учебы. В итоге Рамануджан нашел работу клерка и пополнял свой скудный доход за счет преподавания математики студентам. Парень отчаянно нуждался в дополнительном доходе, после того как в 1909 году женился (ему исполнился тогда двадцать один год, а его невесте Джанакиаммал – всего десять).

В тот период Рамануджан в свободное от работы время начал развивать новые математические идеи. Он чувствовал, что они важные, но ему не к кому было обратиться за советом и поддержкой. В отчаянном стремлении глубже изучить математику и получить признание Рамануджан стал писать английским математикам в надежде на то, что кто-то из них согласится быть его наставником или хотя бы выскажет свое мнение по поводу открытых им теорем.

Одна партия писем дошла в конце концов до Микая Джона Мюллера Хилла из Университетского колледжа Лондона. Содержание писем произвело на Хилла определенное впечатление, но он сделал молодому индийцу замечание по поводу применения устаревших методов и элементарных ошибок. Хилл в менторском тоне написал, что работы Рамануджана должны быть на понятном языке и без ошибок, а также что он не должен использовать символы, которых не может объяснить. Хотя это была безжалостная оценка, но по крайней мере Хилл ответил, в отличие от Генри Фредерика Бейкера и Эрнеста Уильяма Хобсона, вернувших работы Рамануджана без каких-либо комментариев.

В 1913 году Рамануджан написал письмо Годфри Харди, в котором объяснял: «У меня нет университетского образования, но я прошел обычный школьный курс. После окончания школы я использовал свободное от работы время для занятий математикой. Я не изучал традиционный официальный курс, предшествующий университетскому курсу, но я прокладываю для себя новый путь».

Когда пришло второе письмо, Харди обнаружил, что Рамануджан прислал ему в общей сложности 120 теорем для анализа. Молодой индийский гений впоследствии рассказывал, что многие из этих теорем ему нашептывала во сне Намагири, воплощение индийской богини Лакшми: «Во сне со мной произошло нечто необычное. Там был экран, как будто сделанный из текущей крови. Я смотрел на него. Вдруг какая-то рука начала на нем писать. Я внимательно следил за происходящим. Эта рука написала несколько эллиптических интегралов. Я их запомнил и записал сразу же после того, как проснулся».

Когда Харди углубился в работы Рамануджана, его оценка менялась от «мошенничества» до «гениальности настолько редкой, что в это трудно поверить». В итоге он пришел к выводу, что эти теоремы «должны соответствовать истине, поскольку если бы это было не так, ни у кого не хватило бы воображения их придумать». Харди называл Рамануджана «математиком высочайшего качества, человеком исключительной оригинальности и силы». В конечном счете он начал готовить почву для того, чтобы 26-летний Рамануджан приехал в Кембридж. Харди очень гордился тем, что стал человеком, который спас столь редкостный талант, и впоследствии называл это одним из самых романтических происшествий в своей жизни.

В апреле 1914 года два великих математика наконец встретились и совместно сделали ряд открытий в нескольких областях математики. В частности, они внесли большой вклад в изучение такой математической операции, как разбиение. Как следует из названия, операция разбиения сводится к разделению совокупности объектов на отдельные группы. Ключевой вопрос: сколько способов разбиения существует для заданного количества объектов? На представленном ниже рисунке показано, что есть только один способ разбиения одного объекта, но для группы из четырех объектов таких способов уже пять.

В случае небольшого количества объектов найти способы их разбиения не составляет труда, но по мере увеличения числа объектов уровень сложности задачи повышается. Это объясняется тем, что количество возможных вариантов разбиения стремительно увеличивается без какой-либо закономерности. Десять объектов можно разделить всего 41 способами, для 100 объектов существует уже 190 569 292 способов, а в случае 1000 объектов получается поразительное количество способов разбиения – 24 061 467 864 032 622 473 692 149 727 991.

Настоящим прорывом стало создание Харди и Рамануджаном формулы для определения количества способов разбиения очень большого числа объектов. Так как эта формула требует трудоемких вычислений, Харди и Рамануджан придумали также приближенную формулу, позволяющую получить хорошую оценку количества способов разбиения любого заданного числа объектов. Кроме того, Рамануджан сделал очень интересное наблюдение, которое до сих пор будоражит умы ученых: если число объектов заканчивается цифрой 4 или 9, то количество способов разбиения всегда делится на 5. В качестве иллюстрации этого утверждения можно привести такой пример: 4, 9, 14, 19, 24 и 29 объектов дают 5, 30, 135, 490, 1575 и 4565 способов разбиения соответственно.

Рамануджан добился многочисленных, сложных и блестящих достижений, а его гениальность получила признание в 1918 году, когда он был избран самым молодым членом Королевского общества. Переезд в Кембридж позволил разуму Рамануджана пережить невероятный расцвет, а вот суровая английская зима и изменение рациона питания негативно сказались на его здоровье. В конце 1918 года Рамануджан покинул Кембридж и лег в частную лечебницу Colinette House в пригороде Лондона Патни. Именно в этих условиях и состоялась та самая беседа, которая связывает Рамануджана с «Футурамой».

Вот что говорил об этом Харди: «Помню, как я однажды отправился проведать его в Патни. Я приехал на такси с номером 1729 и заметил, что это число кажется мне довольно скучным и что я надеюсь, в нем нет никакого плохого предзнаменования. “Нет, – ответил он, – это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно представить в виде суммы кубов двумя разными способами”».

Эти двое явно не относились к любителям светской болтовни и сплетен. Как всегда, их разговор был посвящен числам, а его суть можно выразить так:

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Другими словами, если бы у нас было 1729 маленьких кубиков, мы могли бы сложить их в виде двух кубов со сторонами 1 × 1 × 1 и 12 × 12 × 12 или 9 × 9 × 9 и 10 × 10 × 10. Только немногие числа можно разделить на два куба, и еще меньше чисел, которые можно разделить на два куба двумя разными способами…, а число 1729 – минимальное число с таким свойством. В честь комментария Рамануджана по поводу номера такси, в котором ехал Харди, в математических кругах это число принято называть «числом такси».

Импровизированное замечание Рамануджана пробудило у математиков такой интерес, что они поставили вопрос несколько иначе: чему равно минимальное число, которое можно представить в виде суммы двух кубов тремя разными способами? Ответ – 87 539 319, поскольку:

Это число, которое тоже называют числом такси, присутствует в полнометражном мультфильме «Большой куш Бендера» (Bender’s Big Score, 2007 год). Когда Фрай вызывает такси, на его крыше красуется номер 87 539 319. Безусловно, это вполне естественно, когда в качестве номера такси (в обычном смысле) выступает число такси (в математическом смысле).

Таким образом, неоднократно упоминая число 1729 в эпизодах «Футурамы», а также включив в один из эпизодов число 87 539 319, сценаристы мультсериала отдают дань уважения Рамануджану, история которого мало кому известна за пределами мира математики. Эта вдохновляющая история о гениальном человеке, который стал знаменитым благодаря преподавателю Кембриджского университета, увы, имеет трагический конец. В 1919 году Рамануджан, страдавший от различных болезней, в том числе от авитаминоза и туберкулеза, вернулся в Индию в надежде, что более теплый климат и привычная вегетарианская диета помогут ему восстановить здоровье. Однако, прожив в Индии около года, 26 апреля 1920 года он умер в возрасте тридцати двух лет.

Тем не менее идеи Рамануджана до сих пор остаются и навсегда останутся в самом сердце современной математики. Отчасти это объясняется универсальностью языка математики, а отчасти абсолютным характером математических доказательств. В отличие от идей в области искусства и гуманитарных наук, математические теоремы никогда не выходят из моды. Сам Харди сказал об этом следующее: «Архимеда будут помнить даже тогда, когда Эсхила забудут, потому что языки умирают, а математические идеи бессмертны. Возможно, “бессмертие” – глупое слово, но, по всей вероятности, математик имеет на него наибольшие шансы, что бы оно ни означало».

* * *

Присутствующие в «Футураме» ссылки на числа такси можно связать с Кеном Килером, которого считают одним из самых математически одаренных сценаристов как «Симпсонов», так и «Футурамы». По словами самого Килера, его увлеченность математикой сформировалась под влиянием отца, Мартина Килера – врача, любившего играть с числами. Каждый раз, когда они всей семьей ходили в ресторан и получали счет в конце ужина, отец искал в этом чеке простые числа и предлагал детям присоединиться к поискам. Кен Килер помнит, как когда-то он спросил отца, существует ли быстрый способ сложения квадратов целых чисел. Например, чему равна сумма квадратов первых пяти чисел, или первых десяти чисел, или первых n чисел? Доктор Килер подумал немного, а затем дал совершенно правильный ответ в виде формулы: n³/3 + n²/2 + n/6. Формулу доктора Килера можно проверить с помощью примера, скажем, когда n = 5:

Сумма квадратов первых пяти чисел: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.

Формула доктора Килера:

Для математика это не особо трудная задача, но не забывайте, что доктор Килер таковым не был. Кроме того, он решил ее с помощью оригинального и в высшей степени интуитивного подхода, короткое формальное объяснение которого, сформулированное Кеном Килером, представлено в Приложении 3.

Именно увлеченность отца математикой стала одной из причин, побудивших Кена Килера изучать прикладную математику в университете, а затем получить по этому предмету докторскую степень. Однако потом для него настали трудные времена, подталкивающие сделать выбор: Кен буквально разрывался между научной карьерой и попытками попробовать свои силы в написании комедий – еще одной области, которой он увлекался. Хотя Килер получил престижную работу в AT&T Bell Labs в Нью-Джерси, еще раньше он отправил резюме продюсерам шоу Late Night with David Letterman («Позднее шоу с Дэвидом Латтерманом»). Это был переломный момент. Когда Килеру предложили присоединиться к команде сценаристов шоу, он бросил научную работу и никогда об этом не пожалел. Килер написал сценарии для телесериалов «Крылья» (Wings) и «Критик», а затем влился в команду сценаристов мультсериала «Футурама», работая бок о бок с десятком других авторов, увлеченных математикой. Вряд ли еще где-либо в Голливуде привязанность Килера к числу 1729 получила бы столь полное понимание.

Килер внес еще один математический вклад в сериал «Футурама» – кинотеатр под названием Loews ℵ_0-Plex (кинотеатр ℵ_0-плекс Loews), который впервые появляется в эпизоде «Бешеный Бендер» (Raging Bender, сезон 2, эпизод 8; 2000 год). В ХХ веке компания Loews владела крупнейшей сетью многозальных кинотеатров (мультиплексов), но обозначение «ℵ_0-плекс» подразумевает, что в XXXI столетии масштаб ее деятельности вырос многократно. Обозначение «ℵ_0» (произносится как «алеф-ноль») – это математический символ, который представляет бесконечность. Следовательно, название кинотеатра означает, что в нем бесконечное число залов. По словам Килера, когда кинотеатр ℵ_0-плекс Loews впервые появился в «Футураме», в черновом варианте сценария был комментарий, который гласил, что этот кинотеатр с бесконечным числом залов «все равно был бы недостаточно большим, для того чтобы показать фильм “Рокки” и все его сиквелы одновременно».

Хотя символ ℵ_0 наверняка неизвестен большинству читателей, еще один символ для обозначения бесконечности – ∞ – мы все прекрасно знаем. Вы можете вполне резонно спросить, чем же они отличаются Символом ∞ обозначается общая концепция бесконечности, тогда как символ ℵ_0 применяется только к бесконечности определенного типа!

Концепция «бесконечности определенного типа» может показаться неправдоподобной, но представленная в одной из предыдущих глав история об отеле Гильберта продемонстрировала два очевидных вывода:

1. Бесконечность + 1 = бесконечность

2. Бесконечность + бесконечность = бесконечность

Вывод о том, что ничего нет больше бесконечности, а также что у всех бесконечностей, так сказать, одна и та же величина, был бы слишком прост. Однако на самом деле бесконечности бывают разных размеров, что можно продемонстрировать с помощью достаточно простого доказательства.

Давайте для начала рассмотрим множество десятичных чисел в диапазоне от 0 до 1. К ним относятся как простые десятичные числа, такие как 0,5, так и числа с гораздо большим количеством десятичных знаков, например 0,736829474638…. Очевидно, что таких десятичных чисел бесконечное множество, поскольку у любого десятичного числа (скажем, 0,9) есть число еще больше (0,99), затем еще больше (0,999) и т. д. Далее мы можем сопоставить бесконечное множество десятичных чисел от 0 до 1 с бесконечным множеством натуральных чисел 1, 2, 3, …. Одно бесконечное множество больше другого или они имеют одинаковую величину?

Для того чтобы определить, какая из бесконечностей больше (в случае, если это вообще возможно), давайте представим, что произойдет, если мы попытаемся сравнить все натуральные числа со всеми десятичными числами от 0 до 1. На первом этапе следует составить список всех натуральных чисел, а затем – отдельный список всех десятичных чисел от 0 до 1. В контексте данного доказательства все натуральные числа должны располагаться по порядку, тогда как десятичные могут находиться в любом порядке. Затем эти списки необходимо разместить рядом друг с другом, по принципу один к одному.

Гипотетически, если бы мы могли сопоставить натуральные и десятичные числа таким способом, то должно быть одинаковое количество чисел обоих типов, а значит, оба бесконечных множества имели бы одну и ту же величину. Однако установление такого взаимно однозначного соответствия невозможно.

Это становится очевидным на последнем этапе анализа бесконечности, который подразумевает создание числа, состоящего из первой цифры первого десятичного числа (в данном случае 7), второй цифры второго десятичного числа (5) и т. д. Это дает нам последовательность 7–5–3–4–1…. Затем, прибавив 1 к каждой цифре (0 → 1, 1 → 2, …, 9 → 0), мы получим новую последовательность: 8–6–4–5–2…. И наконец, ее можно использовать для создания десятичного числа – 0,86452….

Число 0,86452… интересно тем, что оно, по всей вероятности, не может входить в предположительно исчерпывающий список десятичных чисел от 0 до 1. На первый взгляд это утверждение кажется слишком смелым, но его можно проверить. Новое число не может быть первым числом в списке, поскольку мы знаем, что первые цифры не совпадают. Точно так же оно не может быть вторым числом в списке, потому что вторые цифры не совпадают, и т. д. В общем виде это число не может быть n-м числом в списке, так как n-е цифры не совпадают.

Незначительно измененные варианты этого доказательства могут продемонстрировать, что есть еще много других чисел, которые отсутствуют в исходном списке десятичных чисел. Иными словами, если мы попытаемся сопоставить два бесконечных множества, список десятичных чисел от 0 до 1 не может не быть неполным, предположительно потому, что бесконечное множество десятичных чисел больше бесконечного множества натуральных чисел.

Это доказательство представляет собой упрощенную версию диагонального метода Кантора – неопровержимого доказательства, опубликованного Георгом Кантором в 1892 году. Доказав, что некоторые бесконечные множества больше других, Кантор был уверен в том, что бесконечное множество натуральных чисел – это минимальная бесконечность, поэтому обозначил его как ℵ_0, где ℵ – первая буква древнееврейского алфавита. Кантор также считал, что множество десятичных чисел от 0 до 1 – это следующее по величине бесконечное множество, поэтому обозначил его как ℵ_1 (алеф-один). Поскольку существуют бесконечные множества большего размера, их было бы логично записать как ℵ_2, ℵ_3, ℵ_4,….

Таким образом, хотя в кинотеатре ℵ_0-плекс Loews из «Футурамы» бесконечное количество залов, мы теперь знаем, что это минимальное бесконечное множество. Если бы это был кинотеатр ℵ_1-плекс, в нем было бы гораздо больше залов.

В «Футураме» есть еще одна ссылка на предложенную Кантором классификацию бесконечных множеств. Математики называют множество ℵ_0 счетным бесконечным множеством, потому что оно описывает масштаб бесконечности, который ассоциируется с натуральными числами, тогда как бесконечные множества большей величины обозначаются термином «несчетные бесконечные множества». Как отметил Дэвид Х. Коэн, второй термин упоминается в эпизоде «Мебиус Дик» (Möbius Dick, сезон 6, эпизод 21; 2011 год): «Мы ненадолго попадаем в эту странную четырехмерную вселенную, где встречаем множество копий Бендера, вращающихся вокруг друг за другом, а затем он возвращается в реальный мир и говорит: “Это была самая крутая несчетная бесконечная толпа парней, которую я когда-либо встречал”».

Глава 16

Односторонняя история

В эпизоде «Мебиус Дик» космический корабль «Межпланетный экспресс» путешествует по галактике и случайно попадает в Бермудский тетраэдр, космическое кладбище десятков знаменитых исчезнувших кораблей. Экипаж «Межпланетного экспресса» решает исследовать эту область пространства, но тут на них нападает внушающий ужас четырехмерный космический кит, которому Лила дает имя Мебиус Дик.

В этом имени содержится как ссылка на роман Германа Мелвилла «Моби Дик», так и на удивительный математический объект, известный как лента Мебиуса, или петля Мебиуса. Ленту Мебиуса независимо друг от друга открыли в XIX столетии немецкие математики Август Мебиус и Иоганн Листинг. Воспользовавшись следующими простыми инструкциями, вы сами можете построить такую ленту. Вам понадобится:

1) полоска бумаги;

2) скотч.

Сначала возьмите полоску бумаги и переверните ее на пол-оборота, как показано на рисунке ниже. Затем склейте два конца полоски скотчем, чтобы получить ленту Мебиуса. Вот и все. Лента Мебиуса – это, по сути, петля с поворотом.

На первый взгляд в ленте Мебиуса нет ничего особенного, но простой эксперимент позволяет раскрыть одно ее удивительное свойство. Возьмите маркер и нарисуйте линию вдоль ленты, не отрывая кончик маркера от бумаги и не пересекая край, до тех пор пока не вернетесь в исходную точку. Вы заметите две вещи: во-первых, для того чтобы вернуться в исходную точку, вам понадобится пройти два круга; во-вторых, ваша линия пройдет по каждой стороне ленты. Это очень странно, поскольку мы исходим из предположения, что у листа бумаги две стороны, на которых можно нарисовать линию только тогда, когда вы можете оторвать перо от бумаги или обогнуть край. Так что же происходит в случае ленты Мебиуса?

Лист бумаги имеет две стороны (верхнюю и нижнюю), и сделанная из бумаги петля также имеет две стороны, но лента Мебиуса отличается наличием одного необычного свойства: у нее только одна сторона. Две стороны исходной полоски бумаги превратились в одну после того, как один конец полоски был перевернут перед соединением. Это необычное свойство ленты Мебиуса лежит в основе моей третьей любимой математической шутки:

Вопрос: Зачем цыпленок перешел ленту Мебиуса?

Ответ: Чтобы попасть на другую сторону… ну… в общем…

Хотя на самом деле мы не видим ленту Мебиуса в эпизоде «Мебиус Дик», это весьма прозрачный намек на планы включить эту необычную математическую шутку в следующий эпизод «Футурамы». Когда я осенью 2012 года встречался с Дэвидом Х. Коэном в офисе «Футурамы», он рассказал мне об одном из эпизодов следующего сезона[53] под названием «Двумерное шоссе» (2-D Blacktop)[54], в котором главную роль играет профессор Фарнсворт. Коэн объяснил, что по сюжету эпизода пожилой владелец компании «Межпланетный экспресс» превращается в помешанного на скорости типа, который увеличивает мощность двигателя космического корабля для того, чтобы принять участие в гонках по гоночной ленте Мебиуса. Интересное свойство такого маршрута состоит в том, что Фарнсворту понадобится пройти два круга, прежде чем он сможет попасть в исходную точку.

Коэн раскрыл несколько деталей сюжета: «Лила злится на профессора, и между ними возникает спор, который заканчивается гонкой по ленте Мебиуса. Лила выигрывает, но у профессора в запасе есть отличный гоночный ход под названием “дрифт между измерениями”. Фарнсворт выкручивает руль, одновременно задействуя аварийный тормоз, что выбрасывает его в пространство, в котором на одно измерение больше, чем было раньше. Так он вылетает из третьего измерения, на какое-то время попадает в четвертое, а затем снова появляется в третьем измерении дальше по трассе».

К сожалению, переход из одного измерения в другое и обратно приводит к тому, что профессор теперь движется в направлении, противоположном направлению движения Лилы. Их корабли сталкиваются друг с другом, из-за чего попадают во второе измерение! Следующая сцена происходит в двумерном пространстве.

Во многих отношениях сюжет эпизода «Двумерное шоссе» противоположен сюжету «Трехмерного Гомера». В эпизоде «Симпсонов» речь идет о последствиях перехода в более высокое измерение, по аналогии с сюжетом одного из эпизодов сериала «Сумеречная зона». Напротив, в «Двумерном шоссе» исследуются последствия перехода в пространство меньшей размерности, причем этот сюжет также написан под влиянием классического произведения в жанре научной фантастики.

Сюжет эпизода «Двумерное шоссе» – дань уважения научно-фантастическому роману Эдвина Эббота[55] под названием Flatland (подзаголовок «Роман о многих измерениях»). Действие начинается в двумерном мире, известном как Флатландия. Этот мир состоит из единственной поверхности, населенной различными фигурами, такими как сегменты линий (женщины), треугольники (мужчины рабочего класса) и квадраты (мужчины среднего класса). По сути, чем больше количество сторон у фигуры, тем выше ее статус. Следовательно, у женщин в этом мире самый низкий статус, многоугольники представляют высшие слои общества, а окружности – это верховные жрецы. Будучи теологом, изучавшим математику в Кембриджском университете, Эббот стремился к тому, чтобы читатели воспринимали его «Флатландию» и как социальную сатиру, и как приключения в мире геометрии.

Главный герой и рассказчик – Квадрат, которому снится сон о путешествии в Лайнландию, одномерный мир, обитатели которого (точки) могут перемещаться только по одной линии. Квадрат беседует с точками и пытается объяснить им концепцию второго измерения, а также разнообразие фигур, населяющих Флатландию, но точки остаются в недоумении. Они даже не могут понять истинную природу самого Квадрата, поскольку его форма непостижима с их одномерной точки зрения. Точки видят Квадрат в форме линии, так как это и есть то сечение, которое образует квадрат, перемещаясь по Лайнландии.

После того как Квадрат просыпается и понимает, что снова находится в своей родной Флатландии, его приключения продолжаются после посещения Сферы – объекта из экзотического третьего измерения. Безусловно, в этот раз именно Квадрат сбит с толку, поскольку он может воспринимать Сферу только как окружность, ведь именно такую форму имеет сечение, образуемое Сферой при перемещении по Флатландии. Однако происходящее начинает обретать смысл, когда Сфера переносит Квадрат в трехмерное пространство. Когда Квадрат смотрит из третьего измерения вниз на своих земляков, обитающих в Флатландии, он уже может рассуждать о четвертом, пятом и даже более высоких измерениях.

Вернувшись во Флатландию, Квадрат пытается всем рассказать о третьем измерении, но никто не желает его слушать. Более того, власти стремятся прекратить это богохульство. На самом деле лидеры Флатландии уже знают о существовании Сферы, поэтому берут Квадрата под арест, с тем чтобы сохранить информацию о третьем измерении в тайне. У этой истории трагический конец: Квадрата сажают в тюрьму за то, что он сказал правду.

Так каким же образом эпизод «Двумерное шоссе» воздает должное роману «Флатландия»? Когда корабли профессора Фарнсворта и Лилы сталкиваются, в результате прямого удара они превращаются в плоские версии себя и перемещаются в плоском мире с плоскими животными, растениями и облаками.

Анимация в этом фрагменте эпизода строго придерживается правил двумерного мира, а это значит, что ни один объект не может перемещаться мимо другого объекта; в таком мире они могут только обходить друг друга. Однако когда я смотрел предварительный монтаж этих кадров вместе с редактором Полом Колдером, он заметил, что пушистый край одного облака слегка накладывается на край другого облака. В двумерном мире такое наложение невозможно, поэтому этот фрагмент необходимо подкорректировать, прежде чем эпизод выйдет на экраны.

Пытаясь понять последствия пребывания в новом мире, Лила и профессор постепенно осознают, что при переходе из третьего во второе измерение у них исчезли каналы пищеварительной системы. Это необходимая часть процесса перехода, поскольку пищеварительный канал в двух измерениях – верный путь к беде. Для того чтобы понять суть проблемы, представьте себе профессора в виде плоской, вырезанной из бумаги фигуры, повернутой лицом направо. Затем проведите линию от рта до ягодиц, символизирующую желудочно-кишечный канал. И наконец, разрежьте фигуру вдоль этой линии и слегка отодвиньте две части тела профессора друг от друга: пищеварительный канал представляет собой трехмерный тоннель, но в двух измерениях это просто щель. Теперь вы видите, в чем проблема. При наличии пищеварительной системы в двумерном пространстве тело профессора просто распалось бы на две части. Очевидно, что то же самое произошло бы и с Лилой.

Однако без пищеварительного тракта профессор и Лила не могут есть. Другие обитатели двумерного мира каким-то образом впитывают питательные вещества, в отличие от поглощения пищи и выделения продуктов ее переработки, но профессор и Лила не умеют этого делать.

Короче говоря, для профессора и Лилы сложилась ситуация, когда и с пищеварительным трактом не выжить, и без него не жить. Единственный выход – бежать из двумерного мира, пока они не умерли голодной смертью. К счастью, им на помощь приходят сценаристы. Коэн объясняет это так: «Профессор и Лила поняли, что происходит. Они могут использовать дрифт между измерениями, чтобы переместиться из второго в третье измерение. И здесь появляется удивительная последовательность кадров, когда они пролетают сквозь огромный фрактальный ландшафт, представляющий собой область между вторым и третьим измерением. Эта сцена содержит фрагмент поразительной компьютерной графики».

Фрактальный ландшафт в данной ситуации особенно уместен, поскольку фракталы как раз и демонстрируют фрактальную (дробную) размерность. Фрактальный ландшафт появляется в процессе перемещения из двумерного в трехмерный мир; именно здесь и можно рассчитывать на присутствие дробной размерности.

Если вы хотите узнать о фракталах больше, прочитайте Приложение 4, в котором приведен краткий обзор этой темы и уделяется особое внимание тому, как объект может быть представлен в виде фрактальной размерности.

* * *

Лента Мебиуса из «Двумерного шоссе» перекликается с математической концепцией, присутствующей в эпизоде «Путь всех зол» (The Route of All Evil, сезон 3, эпизод 12; 2002 год). Во второстепенной сюжетной линии эпизода рассказывается о том, что Бендер превращает себя в пивоварню. Идея возникает у него после посещения магазина 7¹¹, куда он с коллегами по «Межпланетному экспрессу» заходит за выпивкой. В магазине есть напиток, который обычно пьет Бедер, – пиво Olde Fortran, названное так в честь разработанного в 1950-х годах языка программирования FORTRAN (сокр. от FORmula TRANslation – «перевод формул»). Кроме того, на полках также выставлено пиво St. Pauli’s Exclusion Principle Girl («Эксклюзивная девушка настоятеля святого Паули), в названии которого присутствует ссылка на реальное пиво St. Pauli Girl, а также на один из фундаментальных законов квантовой физики – принцип исключения Паули. Самый большой интерес представляет третий сорт пива – Klein’s, которое разлито в бутылки странной формы. Истинные ценители необычных геометрических фигур узнают в ней бутылку Клейна, которая тесно связана с лентой Мебиуса.

Эта фигура названа в честь Феликса Клейна, одного из величайших немецких математиков XIX столетия. По всей вероятности, судьба Клейна была предопределена еще в момент его появления на свет, поскольку каждый элемент даты его рождения (25 апреля 1849 года) представляет собой квадрат простого числа:

Клейн занимался исследованиями в разных областях, но самой знаменитой является его так называемая бутылка Клейна. Как и в случае ленты Мебиуса, вам будет легче понять форму и структуру бутылки Клейна, если вы сами сконструируете ее модель. Вам понадобятся:

1) лист резины;

2) скотч;

3) четвертое измерение.

Если у вас, так же как и у меня, нет доступа к четвертому измерению, тогда попробуйте себе представить, как теоретически построить псевдобутылку Клейна в трех измерениях. Сначала представьте, что вы скручиваете лист резины в цилиндр и склеиваете его скотчем по длине, как показано на первом рисунке ниже. Затем отметьте два конца цилиндра стрелками, указывающими в противоположных направлениях. Далее (и это самый сложный этап) цилиндр необходимо изогнуть таким образом, чтобы можно было соединить два его конца со стрелками, указывающими в одном направлении.

Именно здесь пригодилось бы четвертое измерение, но вместо этого вам придется проявить смекалку. Как показано на двух средних рисунках, необходимо изогнуть цилиндр, а затем представить себе, что вы просовываете один его конец через отверстие в его же стенке и разворачиваете его внутри вверх. И наконец, после этого самопересечения заверните выступающий конец цилиндра вниз (как показано на четвертом рисунке), для того чтобы соединить два конца цилиндра. Важно, чтобы после такого соединения стрелки на каждом конце цилиндра указывали в одном направлении.

И бутылка Клейна, и бутылка пива Klein’s в «Футураме» – это самопересекающиеся фигуры, поскольку они существуют в трехмерном пространстве. Напротив, в четырехмерном мире бутылке Клейна нет необходимости пересекаться с самой собой. Для того чтобы объяснить, как дополнительное измерение позволяет избежать самопересечения, давайте рассмотрим аналогичную ситуацию с участием меньшего количества измерений.

Вообразите фигуру в форме восьмерки, нарисованную ручкой на бумаге. В этом случае чернильная линия неизбежно пересечет сама себя в центре восьмерки, подобно тому как цилиндр пересекает сам себя посредине бутылки Клейна. Такое пересечение имеет место потому, что линия расположена в двумерной плоскости. Однако эта проблема не возникнет, если добавить третье измерение и сделать восьмерку из куска веревки. Один ее фрагмент можно поднять в третье измерение, поскольку он накрывает второй фрагмент веревки, а значит, ей нет необходимости пересекаться с самой собой. Следовательно, если бы цилиндр из резинового листа можно было переместить в четвертое измерение, то появилась бы возможность сконструировать бутылку Клейна без самопересечения.

Еще один способ понять, почему бутылка Клейна пересекает сама себя в трехмерном пространстве, но не пересекает в четырехмерном, сводится к сравнению нашего восприятия ветряной мельницы в трех и двух измерениях. В трехмерном измерении мы видим, как лопасти ветряной мельницы вращаются перед вертикальной башней. Однако ситуация меняется, если взглянуть на тень ветряной мельницы на траве. В этом двумерном представлении лопасти как будто проносятся сквозь башню снова и снова. В двумерной проекции они пересекают башню, чего не происходит в трехмерном мире.

Очевидно, что форма бутылки Клейна отличается от формы обычной бутылки, что, в свою очередь, указывает на одно удивительное свойство бутылки Клейна, которое становится очевидным, если мы представим, что перемещаемся по поверхности бутылки Клейна, как показано на рисунке ниже. В частности, вообразите, что вы движетесь в направлении, которое указывает черная стрелка, расположенная на внешней поверхности бутылки Клейна.

Стрелка перемещается вверх, затем поворачивает вокруг внешней поверхности горлышка бутылки и уходит за точку пересечения, где конец стрелки становится серым. Это говорит о том, что теперь она проходит по внутренней поверхности бутылки. Переместившись вперед, стрелка возвращается в исходную точку, за исключением того, что теперь она находится внутри бутылки. Если стрелка продолжит свое путешествие вверх, к горлышку бутылки, и снова вниз, к основанию, то она вернется на внешнюю поверхность и в конце концов выйдет на исходную позицию. То, что стрелка может без отрыва перемещаться между внутренней и внешней поверхностью бутылки Клейна, означает, что на самом деле обе поверхности представляют собой фрагменты одной и той же поверхности.

Безусловно, без четко выраженной внутренней и внешней поверхности бутылка Клейна не отвечает основным критериям, по которым ее можно бы было считать бутылкой в привычном понимании. В конце концов, как можно налить пиво в бутылку, у которой внутри – это то же самое, что снаружи?

В действительности Клейн никогда не называл свое творение бутылкой. Первоначально этот объект обозначался термином Kleinsche Fläche («поверхность Клейна»), что вполне уместно, поскольку он состоит из одной поверхности. Однако англоязычные математики, по всей вероятности, неправильно перевели этот термин, прочитав его как Kleinsche Flasche, что означает «бутылка Клейна» – и это название прижилось.

И наконец, вернемся к вопросу, который уже поднимался выше: бутылка Клейна и лента Мебиуса тесно связаны друг с другом. Самая очевидная связь заключается в том, что у них есть одно любопытное свойство: у обеих только одна поверхность. Вторая (хотя и менее очевидная) связь состоит в том, что бутылка Клейна, разрезанная на две половины, образует пару лент Мебиуса.

К сожалению, вы не сможете выполнить этот трюк, потому что бутылку Клейна можно разрезать только в случае доступа к четырехмерному пространству. Однако вы можете разрезать ленту Мебиуса. На самом деле я бы даже рекомендовал вам разрезать ее по длине, чтобы посмотреть, что получится в результате.

Если вам понравилось разрезать ленты, вот вам еще одна идея для вашего нового хобби – геометрической хирургии. Сделайте ленту, перевернув ее на 360 градусов (а не на пол-оборота, как в ленте Мебиуса). Что произойдет, если разрезать ее вдоль? Для того чтобы понять столь изощренное рассечение, понадобится изощренный ум.

Глава 17

Теорема Футурамы

Из-за старческих выходок профессора Хьюберта Дж. Фарнсворта легко забыть о том, что он – математический гений. На самом деле в полнометражном мультфильме «Зверь с миллиардом спин» (The Beast with a Billion Backs, 2008) мы узнаем о том, что Фарнсворт лауреат высшей награды в области математики – Филдсовской премии, порой именуемой Нобелевской премией по математике, причем титул ее обладателя считается еще более престижным, поскольку она присуждается только один раз в четыре года.

Профессор регулярно обсуждает свои математические идеи во время курса лекций под названием «Математика квантовых нейтринных полей» в Марсианском университете, пожизненным профессором которого он является. Постоянная должность в штате университета – это, по сути, работа на всю жизнь, а это означает, что профессору Фарнсворту нужно избегать присутствующего в таких случаях риска умственного застоя. Это распространенная проблема в академических кругах, на которую обратил внимание американский философ Дэниел Деннетт в книге Consciousness Explained («Объясненное сознание»): «Молодая асцидия скитается по морю в поисках скалы или коралла, к которому можно было бы прикрепиться и сделать своим домом. Для выполнения этой задачи у нее есть рудиментарная нервная система. Когда она находит такое место и пускает там корни, мозг ей больше не нужен – и она его съедает! (То же самое происходит в случае получения пожизненной должности.)»

Однако вместо того, чтобы впасть в умственный застой, профессор Фарнсворт использовал свою пожизненную должность для проведения исследований в других областях. Так, будучи математиком, он еще и изобретатель. В действительности Грейнинг и Коэн не случайно назвали профессора по имени Фило Тейлора Фарнсуорта (1906–1971) – плодовитого американского изобретателя, обладателя более сотни патентов США, от телевизионной технологии до мини-устройства для управления процессом ядерного синтеза.

Одно из самых причудливых изобретений профессора – «крутометр», который точно измеряет присущий человеку уровень крутости в таких единицах, как мегафонзи. Один фонзи – это мера крутости, присущая герою комедийного сериала «Счастливые дни» (Happy Days) Артуру Фонзарелли. Выбранная Фарнсвортом единица измерения, связанная с культовой фигурой, напоминает другую насмешливо-ироническую единицу измерения такого типа – миллиелену, единицу красоты, основанную на знаменитой ссылке на Елену Троянскую в пьесе Кристофера Марло Doctor Faustus («Трагическая история доктора Фауста»): «Вот этот лик, что тысячи судов гнал в дальний путь, что башни Илиона сжег некогда дотла!»[56] Следовательно, миллиелену можно формально определить как “единицу измерения красоты, соответствующую количеству красоты, необходимой для отправки одного корабля”».

С математической точки зрения самое интересное изобретение профессора Фарнсворта – это мозгообменник, который появляется в эпизоде «Узник Бенды» (The Prisoner of Benda, сезон 6, эпизод 10; 2010 год). Как следует из названия, это устройство перемещает разум одного разумного существа в тело другого. Математика не связана непосредственно с обменом разумами, а необходима скорее для того, чтобы помочь распутать неразбериху, возникающую в результате такого обмена. Прежде чем обсуждать характер этой ментальной арифметики, давайте подробно проанализируем сам эпизод, для того чтобы понять, как именно работает мозгообменник.

Эпизод «Узник Бенды» начинается с надписи, которая гласит: «Что произошло в Лебеде Х-1, останется в Лебеде Х-1», что напоминает известный афоризм «Что произошло в Вегасе, останется в Вегасе». В случае Лебедя X-1 это верно в буквальном смысле слова, поскольку именно так называется черная дыра в созвездии Лебедя, а что бы ни происходило в черной дыре, обречено оставаться там же. Возможно, сценаристы выбрали черную дыру под названием Лебедь X-1 по той причине, что именно она стала предметом знаменитого пари. Математик и космолог Стивен Хокинг сначала сомневался, что этот объект действительно является черной дырой, поэтому заключил пари со своим коллегой Кипом Торном. Однако когда в ходе тщательных наблюдений выяснилось, что Хокинг ошибался, ему пришлось купить Торну годовую подписку на журнал Penthouse.

Название эпизода – это игра слов, основанная на романе Энтони Хоупа The Prisoner of Zenda[57], написанном в викторианскую эпоху. В этом романе Рудольфа, будущего короля Руритании (вымышленной страны), похищает накануне коронации его злой брат. Для того чтобы корона не попала не в те руки, английский кузен Рудольфа использует свое внешнее сходство с будущим королем и выдает себя за него. В общем, весь сюжет романа «Узник Зенды» строится вокруг событий, связанных с тем, что кто-то примеряет на себя новую личность, а это и есть центральная тема эпизода «Узник Бенды».

Обмен личностями начинается с того, что профессор Фарнсворт, воспользовавшись мозгообменником, меняется разумом с Эми, с тем чтобы снова испытать радость молодости, оказавшись в ее теле. Эми также охотно совершает обмен, поскольку теперь она может насладиться едой, зная, что тощее тело профессора может себе позволить набрать немного веса.

Сюжет усложняется, когда Бендер и Эми обмениваются разумами. Разумеется, перед этим в теле Эми находился разум профессора, поэтому теперь он перемещается в тело Бендера, а разум Бендера – в тело Эми. Это позволяет Бендеру совершить ограбление, соблазнив охранников; причем он точно знает, что никто не сможет установить его личность. Тем временем профессор сбегает в Робо-цирк. Ситуация запутывается еще больше после множества дальнейших обменов разумами. Ниже представлен полный список вариантов обмена, имевших место на протяжении эпизода (каждая пара имен обозначает тела, принимавшие участие в обмене разумами, причем не всегда разум находился в своем теле).

1. Профессор Фарнсворт ↔ Эми.

2. Эми ↔ Бендер.

3. Профессор Фарнсворт ↔ Лила.

4. Эми ↔ Ведро[58].

5. Фрай ↔ Зойдберг.

6. Лила ↔ Гермес.

7. Ведро ↔ Император Николай[59].

Хотя обменов было всего семь, такое жонглирование разумами привело к существенной путанице. Разобраться в происходящем поможет диаграмма Сили, изобретенная доктором Алексом Сили – большим поклонником «Футурамы» из Лондона. Беглый взгляд на нее позволяет определить, что после семи обменов разумами в теле профессора оказывается разум Лилы, тело Лилы содержит разум Гермеса и т. д.

К концу эпизода все устают от новых тел и хотят опять стать сами собой. К сожалению, из-за сбоя в работе мозгообменника возникает серьезная проблема: если два тела обменялись разумами, устройство больше не может выполнить между ними обмен. В итоге становится не совсем понятно, как вернуть разумы в свои тела.

Сценаристы включили в эпизод сбой в работе мозгообменника, чтобы сделать сюжет интереснее. Однако кому-то надо было найти способ решить эту проблему и обеспечить счастливый конец истории. Ответственность легла на Кена Килера, ведущего сценариста данного эпизода. Килер понимал, что единственный выход из создавшегося тупика – включить в сценарий новых персонажей, способных обеспечить косвенные пути, с помощью которых профессор и остальные герои могли бы вернуться в свои тела. Но вместо того чтобы заняться самим сценарием «Узника Бенды», Килер сфокусировался на более общей задаче: сколько новых людей необходимо включить в группу любого размера, чтобы распутать неразбериху, возникшую в результате обмена разумами?

Эта диаграмма Сили демонстрирует процесс обмена разумами. Кружочками отмечены разумы, квадратиками – тела, а расположенные внутри них буквы соответствуют различным персонажам. Сначала девять пар «разум-тело» совпадают, поскольку каждый разум изначально находится в своем теле. Затем разумы переходят в другие тела после очередного обмена. Например, после первого обмена тело профессора получает разум Эми, и наоборот. Тела всегда остаются на одной горизонтальной линии, тогда как разумы перемещаются в случае обмена либо вверх, либо вниз.

Когда Килер начал исследовать проблему, у него не было никаких догадок по поводу ее решения. Будет ли количество новых людей зависеть от численности членов группы? Если да, то, может, количество новых людей будет прямо пропорционально численности группы или оно находится в экспоненциальной зависимости от ее размера? Или, возможно, существует некое волшебное количество новых персонажей, которые могли бы решить проблему в группе любого размера?

Эту фотографию сделал Патрик Веррон 9 декабря 2009 года, во время вычитки сценария эпизода «Узник Бенды». Кен Килер делает набросок доказательства теоремы Футурамы, стоя на диване в офисе «Футурамы».

Из личного архива Патрика Веррона

Поиск ответа на эти вопросы оказался непростым даже для человека со степенью доктора наук в области прикладной математики. Это напомнило Килеру о нескольких еще более трудных задачах, с которыми он сталкивался в университете. После продолжительного мозгового штурма Килер сформулировал неопровержимое доказательство, которое обеспечивало бесспорный результат. Решение оказалось на удивление изящным. Килер пришел к выводу, что включения всего двух персонажей будет достаточно, чтобы распутать любую неразбериху с обменом разумами, при условии, что оба человека будут задействованы правильно. Доказательство Килера, носящее несколько формальный характер, получило известность как теорема Футурамы, или теорема Килера.

В эпизоде «Узник Бенды» это доказательство представляют «Милейший» Клайд Диксон и Итан «Баблгам» Тейт, два баскетболиста с планеты Мир Глобтроттеров, которые известны также своими способностями к математике и другим точным наукам. На самом деле Баблгам Тейт – старший преподаватель физики в Глобтроттерском университете и профессор прикладной физики в Марсианском университете. Оба персонажа появляются в нескольких эпизодах «Футурамы» и постоянно демонстрируют свои математические таланты. Например, в полнометражном мультфильме «Большой куш Бендера» Баблгам Тейт дает Милейшему Клайду совет по поводу решения уравнения, описывающего путешествия во времени: «Милейший Клайд, используй вариации переменных и выполни разложение детерминанта Вронского»[60].

Когда эпизод «Узник Бендера» приближается к развязке, Милейший Клайд пишет доказательство на зеленой флуоресцентной доске, а затем заявляет: «В принципе не важно, насколько переставлены ваши разумы; они могут быть возвращены с помощью максимум двух дополнительных игроков».

Теорема Футурамы, записанная на доске Милейшим Клайдом в конце эпизода «Узник Бенды». Баблгам Тейт внимательно изучает детали доказательства, тогда как Бендер (в теле которого находится разум профессора Фарнсворта) восхищенно смотрит на доску. Расшифровку представленного на доске доказательства можно найти в Приложении 5.

FUTURAMA © 2002 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Лучший способ понять доказательство, сформулированное в специальных терминах, – сфокусироваться на том, как оно может помочь героям эпизода «Узник Бендера» найти выход из трудного положения, в которое они попали. Фактически это доказательство описывает хорошо продуманную стратегию устранения путаницы, которая начинается с осознания того, что всех людей, обменявшихся разумами, можно отнести к однозначно определенным множествам; в случае «Узника Бенды» таких множеств два. Тщательный анализ диаграммы Сили позволяет сделать вывод, что в первое множество входят Фрай и Зойдберг. Это становится понятно по двум нижним строкам диаграммы, которые говорят о том, что разум Фрая находится в теле Зойдберга, а разум Зойдберга – в теле Фрая. Данную совокупность можно считать множеством, поскольку мы видим, что для каждого тела есть разум, и единственная проблема состоит в том, что эти тела и разумы перепутаны.

Во второе множество входят все остальные персонажи. Диаграмма Сили показывает, что разум профессора оказался в теле Бендера, разум Бендера – в теле Императора, разум Императора – в теле Ведра, разум Ведра – в теле Эми, разум Эми – в теле Гермеса, разум Гермеса – в теле Лилы, а разум Лилы – в теле профессора, что замыкает множество. Эта совокупность тоже считается множеством, поскольку для каждого тела есть разум, но тела и разумы перемешаны.

Определив множества, Килер включил в общую совокупность еще двоих человек, Баблгама Тейта и Милейшего Клайда, которые затем совершают обмен разумами в каждом из двух множеств. Для того чтобы увидеть процесс в действии, давайте начнем с меньшего множества и упорядочим его.

На представленной ниже диаграмме Сили показано, что именно происходит в эпизоде. Мы видим, что этап возврата разумов в свои тела начинается с обмена разумами между Милейшим Клайдом и Фраем (в теле которого находится разум Зойдберга); затем Баблгам Тейт обменивается разумом с Зойдбергом (в теле которого разум Фрая). После еще двух обменов разум Фрая возвращается в свое тело, а разум Зойдберга – в свое.

Милейший Клайд и Баблгам Тейт все еще перепутаны, поэтому очевидно, что на следующем этапе необходимо вернуть их разумы в свои тела, выполнив всего один обмен – и это возможно, потому что они еще не менялись разумами друг с другом. Однако пока это преждевременно. Маскетбольные гении включены в общую совокупность персонажей, обменявшихся разумами, с целью распутать два множества, поэтому их миссия еще не закончена. Следовательно, они должны оставаться с перепутанными телами и разумами, пока не решат проблему со вторым множеством.

Ниже представлена диаграмма Сили, на которой показано девять обменов разумами в процессе упорядочивания второго множества. Нет надобности анализировать ее пошагово, но общая закономерность показывает, как включение Милейшего Клайда и Баблгама Тейта создает место для маневра, необходимое для разрешения ситуации. Оба персонажа вовлечены в каждый обмен разумами, что объясняет высокую плотность диаграммы в нижней четверти. Милейший Клайд и Баблгам Тейт выступают в качестве сосудов для тех разумов, которые ищут свой дом. Получив тот или иной разум, они тут же совершают такой обмен, чтобы этот разум оказался в конечном счете в подходящем теле. Какой бы разум Клайд и Тейт ни получили, они сразу же передают его в соответствующее тело во время следующего обмена и т. д.

Хотя Килер проделал отличную работу, решив задачу обмена разумами и доказав теорему Футурамы, тем не менее важно отметить, что он либо упустил один момент, либо сознательно проигнорировал его, для того чтобы сделать финал эпизода «Узник Бендера» более эффектным. Речь идет о еще одном, более коротком пути решения этой задачи. Если вы помните, для того чтобы распутать любую ситуацию, необходимо ввести двух новых персонажей. Однако в сценарии, который мы анализируем, одно из упорядочиваемых множеств состоит всего из двух человек (разум Фрая в теле Зойдберга и разум Зойдберга в теле Фрая). Следовательно, они могли бы выступить в качестве двух новых персонажей по отношению к более крупному множеству. Это возможно, поскольку Фрай и Зойдберг еще не обменивались разумами ни с одним персонажем, входящим в него.

Двухэтапный процесс возвращения разумов в свои тела, который имеет место в эпизоде, потребовал сначала четырех обменов, а затем еще девяти, что в сумме дает тринадцать обменов. Напротив, если использовать более короткий путь, то все разумы можно было бы вернуть в свои тела посредством всего девяти обменов.

Использование существующего множества для получения двух дополнительных персонажей, необходимых для распутывания другого множества, впервые проанализировал Джеймс Крайм, математик из Кембриджа (Англия). Поэтому некоторые называют этот метод следствием Крайма, которое представляет собой математическое утверждение, вытекающее из теоремы Футурамы.

Теорема Килера вдохновила Рона Эванса, Лихуа Хуана и Туан Нгуен на написание научной работы по теме обмена разумами под названием Keeler’s Theorem and Products of Distinct Transpositions («Теорема Килера и результаты различных транспозиций»), которая была опубликована в журнале American Mathematical Monthly. В этой работе анализируются пути наиболее эффективного разрешения любой ситуации с обменом разумами.

Сам Килер решил не публиковать результаты исследований по задаче с обменом разумами. Он скромно называет свою теорему обычной математической задачей и не очень охотно поддерживает разговоры относительно ее доказательства. По его словам, самое подробное описание ее доказательства было в поддельном сценарии, который он раздал коллегам: «Когда сценарист сдает свой вариант сценария, первый этап процесса редактирования состоит в том, что все остальные сценаристы получают копии и около получаса читают сценарий. В качестве розыгрыша на трех страницах в самом начале сценария я описал сцену, в которой Милейший Клайд во всех подробностях объясняет свою теорему профессору. Некоторые сценаристы с трудом одолели все это описание, ничего не заподозрив, прежде чем поняли, что настоящий сценарий начинается на четвертой странице».

Шутливый сценарий, который Килер использовал для розыгрыша коллег, подчеркивает тот факт, что в основе настоящего сценария к эпизоду «Узник Бендера» лежит поистине интересная и новаторская математическая теорема. Во многом этот эпизод – вершина всех математических ссылок, присутствующих как в «Симпсонах», так и в «Футураме». Майк Рейсс и Эл Джин начали с включения математических шуток в режиме стоп-кадра в эпизоды первого сезона «Симпсонов», а два десятилетия спустя Кен Килер создал совершенно новую теорему, чтобы помочь экипажу «Межпланетного экспресса». На самом деле Килер может претендовать на звание первого сценариста в истории телевидения, который вывел новую математическую теорему исключительно для целей комедийного сериала.

ЭКЗАМЕН V

ЭКЗАМЕН НА УРОВНЕ ДОКТОРА НАУК

Шутка 1

Вопрос: Что пурпурное и коммутирует?

Ответ: Абелев виноград.

1 балл

Шутка 2

Вопрос: Что лиловое и коммутирует?

Ответ: Абелев полувиноград.

1 балл

Шутка 3

Вопрос: Что питательное и коммутирует?

Ответ: Абелев суп.

1 балл

Шутка 4

Вопрос: Что пурпурное, коммутирует, и ему поклоняется ограниченное количество людей?

Ответ: Конечно, почитаемый абелев виноград.

1 балл

Шутка 5

Вопрос: Что пурпурное, опасное и коммутирует?

Ответ: Абелев виноград с автоматом.

1 балл

Шутка 6

Вопрос: Что большое, серое и доказывает неисчислимость десятичных чисел?

Ответ: Диагональный слон Кантора.

2 балла

Шутка 7

Вопрос: Какая самая длинная в мире песня?

Ответ: «ℵ_0 бутылок пива на стене».

2 балла

Шутка 8

Вопрос: Что означает «Б.» в имени «Бенуа Б. Мандельброт»?

Ответ: Бенуа Б. Мандельброт.

4 балла

Шутка 9

Вопрос: Как называется молодой собственный баран? (Англ. eigensheep («собственный баран») созвучно с eigen shift – «сдвиг спектра собственных чисел».)

Ответ: Понятное дело, ягненок!

1 балл

Шутка 10

Однажды управляющего королевской фабрики по производству доспехов попросили прислать образец, для того чтобы попробовать получить очень большой заказ на выпуск туник и рейтуз.

Хотя образец туники был утвержден, управляющему сказали, что рейтузы слишком длинные. Он подал новый образец; на этот раз рейтузы были лучше, но чересчур короткие. Он подал еще один образец; теперь рейтузы тоже были лучше, но снова слишком длинные.

Управляющий обратился к математику за советом и, воспользовавшись его инструкциями, сшил еще одну пару рейтуз для доспехов. На этот раз образцы оказались идеальными.

Управляющий спросил математика, как ему удалось рассчитать параметры, на что тот ответил: «Я просто использовал тест на униформную сходимость для расчета подгиба каркаса штанов». (Англ. uniform означает «униформа», а uniform convergence – это «равномерная сходимость».)

4 балла

Шутка 11

Бесконечное число математиков заходят в бар. Бармен спрашивает: «Что желаете?» Первый математик говорит: «Мне полкружки пива». Второй математик говорит: «Мне четверть кружки пива». Третий математик говорит: «Мне одну восьмую кружки пива». Четвертый математик говорит: «Мне одну шестнадцатую кружки пива». Бармен прерывает их, наливает одну кружку пива и говорит: «Знайте свои пределы».

2 балла

Всего – 20 баллов

Эπилог

За прошедшие годы мультсериал «Футурама» получил множество наград, в том числе шесть премий «Эмми». Это одна из причин того, почему он вошел в Книгу рекордов Гиннеса как мультсериал, заслуживший самое большое признание критиков.

«Симпсоны» тоже не остались в стороне, удостоены более двух десятков премий «Эмми» и считаются самым продолжительным телесериалом за всю историю. В последнем номере 1999 года, посвященном величайшим достижениям XX века, журнал Time назвал «Симпсонов» лучшим телевизионным сериалом столетия, а также включил Барта в список ста наиболее влиятельных людей столетия, причем Барт Симпсон в нем – единственный вымышленный персонаж. Кроме того, Барт и члены его семьи вошли в историю, став в 2009 году первыми героями телесериала, в честь которых были выпущены марки Почтовой службы США, когда сериал еще был в эфире. В связи с чем Мэтт Грейнинг гордо заявил: «Это самая большая и самая клейкая награда, которую когда-либо получали “Симпсоны”».

Однако помимо столь широкого и вполне заслуженного признания общественности мультсериал пользовался особой популярностью и уважением среди сообщества нердов. Для нас величайшим достижением «Симпсонов» и «Футурамы» было то, что эти мультсериалы превозносят математику и играют с ней. Оба сериала обогатили гикосистему.

Тот, кто не принадлежит к числу нердов, вполне мог бы назвать математические шутки, присутствующие в «Симпсонах» и «Футураме», поверхностными и легкомысленными, но это оскорбило бы ум и самоотверженность двух самых математически одаренных команд сценаристов за всю историю телевидения. Они неизменно пытались донести до зрителей суть самых разных математических концепций, от последней теоремы Ферма до собственной теоремы Футурамы.

Наше общество вполне обоснованно восхищается великими музыкантами и писателями, но мы редко слышим упоминания о скромных математиках. Очевидно, что математика не считается частью нашей культуры. Вместо этого математиков часто боятся и над ними часто насмехаются. Несмотря на это, авторы «Симпсонов» и «Футурамы» вот уже почти четверть века продвигают сложные математические идеи на телевидении в лучшее эфирное время.

Когда пришло время прощаться со сценаристами, я понял, что они гордятся своим математическим наследием. Хотя некоторые из них испытывали чувство грусти в связи с тем, что не смогли реализовать свой потенциал как ученые. Открывшиеся в Голливуде перспективы заставили их отложить мечты о доказательстве великих теорем.

Когда я поднял вопрос о возможном сожалении, Дэвид Х. Коэн высказал свою точку зрения относительно отказа от научной карьеры в пользу телевидения: «Это напоминает о мучительных сомнениях, свойственных нам, сценаристам, особенно тем, кто отказался от карьеры ученого. Для меня высшая цель образования состоит в открытии чего-то нового. Я считаю, что самый достойный способ оставить свой след в этом мире – это расширить представления человека о нем. Мог ли я достичь этой цели? По всей вероятности, нет, поэтому я, скорее всего, принял мудрое решение».

Хотя Коэн не изобрел никакой кардинально новой компьютерной технологии и не решил загадку «P = NP или P ≠ NP», он все же считает, что мог внести косвенный вклад в научные исследования: «Я действительно предпочел бы всю жизнь заниматься научными исследованиями, но все же я считаю, что “Симпсоны” и “Футурама” делают математику и другие точные науки увлекательными, что может оказать влияние на новое поколение, а значит, кто-то после меня сумеет достичь того, чего не удалось мне. Безусловно, я могу утешить себя такими мыслями и спокойно спать по ночам».

Что касается Кена Килера, то он оценивает тот период, когда всерьез занимался математикой, как возможность для развития на пути к профессии комедийного сценариста: «Все, что с нами происходит, оказывает на нас определенное влияние. Я уверен в том, что учеба в магистратуре помогла мне стать хорошим сценаристом. И я ни в коем случае не сожалею об этом. Например, я выбрал в качестве серийного номера Бендера число 1729, исторически значимое число в математике. Я считаю, что уже одна только эта ссылка полностью оправдывает мою докторскую степень. Правда, я не знаю, согласен ли с этим мой научный руководитель».

Приложение 1

Использование саберметрики в футболе

Билли Бин начал размышлять о применении методов саберметрики в футболе вскоре после того, как владельцы Oakland Athletics заинтересовались покупкой английских футбольных клубов, таких как Liverpool, Arsenal и Tottenham Hotspur.

Тем не менее еще до Билли Бина некоторые люди анализировали футбол с точки зрения математики. В частности, было проведено тщательное исследование влияния игроков, получивших красные карточки. Этот вопрос заинтересовал бы Лизу Симпсон, которой вручил красную карточку отец во время футбольного матча в эпизоде «Мардж – геймер» (Marge Gamer, сезон 18, эпизод 17; 2007 год).

Три голландских профессора, Г. Риддер, Дж. С. Крамер и П. Хопстакен, написали работу под названием Down to Ten: Estimating the Effect of a Red Card in Soccer («Десять игроков: оценка влияния красной карточки в футболе»), которая была опубликована в 1994 году в Journal of the American Statistical Association. В ней авторы предлагают «модель оценки влияния красной карточки с учетом исходных различий между сильными сторонами команд, а также количества голов, забитых во время матча. Точнее говоря, мы предлагаем неоднородную по времени пуассоновскую модель с учетом воздействия на счет любой стороны в конкретном матче. Мы определяем дифференцированное воздействие красной карточки методом условной оценки максимального правдоподобия вне зависимости от результатов матча».

Авторы работы утверждали, что защитник, который идет на преднамеренное столкновение с нападающим вне штрафной площадки, вносит положительный вклад в игру своей команды, предотвращая гол, однако у этого вклада есть и отрицательный аспект, поскольку данного игрока удалят с поля и он не сможет играть до конца матча. Если инцидент происходит в последнюю минуту матча, то положительный вклад перевешивает отрицательный, потому что игрока удаляют с поля перед самым окончанием матча. Однако если инцидент имеет место в первую минуту матча, то отрицательный вклад превосходит положительный, так как в команде остается всего десять игроков почти на весь матч. Общее воздействие в таких крайних случаях соответствует здравому смыслу, но что происходит, если возможность предотвратить гол посредством преднамеренного столкновения появляется посредине матча? Стоит ли идти на такой шаг?

Профессор Риддер и его коллеги использовали математический подход для определения точки перехода, или того момента матча, после которого удаление с поля становится целесообразным, если подразумевает шанс предотвратить гол.

Если исходить из предположения, что команды хорошо подобраны и нападающий почти наверняка забьет гол, тогда целесообразно пойти на столкновение в любое время после шестнадцатой минуты матча продолжительностью девяносто минут. Если вероятность гола составляет 60 процентов, тогда защитнику следует подождать до сорок восьмой минуты матча, и только потом идти на столкновение с нападающим. Если вероятность гола всего 30 процентов, то защитнику необходимо подождать до семьдесят первой минуты матча, прежде чем делать свое грязное дело. Это не самый достойный способ применения математики в спорте, но все же данный результат можно считать полезным.

Приложение 2

Анализ тождества Эйлера

eiπ + 1 = 0

Тождество Эйлера примечательно тем, что оно объединяет пять фундаментальных математических констант: 0, 1, π, e и i. Наше краткое объяснение поможет пролить свет на то, что значит возвести e в мнимую степень, что, в свою очередь, позволит показать, почему тождество верно. Но для этого необходимо иметь общее представление о некоторых специальных математических понятиях, таких как тригонометрические функции, радианы и мнимые числа.

Начнем с ряда Тейлора, который позволяет представить любую функцию в виде суммы бесконечного числа членов ряда. Если вы хотите больше узнать о построении ряда Тейлора, вам придется изучить этот вопрос самостоятельно, но для наших целей достаточно того, что функцию ex можно представить в следующем виде:

Здесь x может иметь любое значение, поэтому мы можем подставить ix вместо x, где i² = −1. Таким образом, мы получим следующий ряд:

Далее сгруппируем члены ряда в зависимости от того, есть ли в них i или нет:

В качестве на первый взгляд неуместного отступления можно также найти пару рядов Тейлора, представляющих функции синуса и косинуса, что дает следующий результат:

Следовательно, мы можем записать eix через sin x и cos x:

eix = cos x + i sin x

В формуле Эйлера присутствует eiπ, и теперь мы можем подставить π вместо x:

eiπ = cos π + i sin π

В данном контексте π – это угловой размер в радианах, так что 360° = 2π радиан. Стало быть, cos π = −1, а sin π = 0. Это означает, что:

eiπ = −1

Следовательно,

eiπ + 1 = 0

Профессор Кит Девлин, британский математик из Стэнфордского университета и автор блога Devlin’s Angle («Угол Девлина»), придерживается такого мнения: «Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви или картина показывает внутреннюю красоту человека, так тождество Эйлера проникает в самые глубины существования».

Приложение 3

Формула доктора Килера для поиска суммы квадратов

В беседе с доктором Сарой Гринволд из Аппалачского университета Кен Килер рассказал следующую историю, связанную с его отцом Мартином Килером, которому было присуще интуитивное понимание математики:

Самое большое влияние на меня оказал отец, который был врачом… Он изучал высшую математику только на первом курсе, но я помню, как однажды спросил его, чему равна сумма квадратов первых n чисел, и он за несколько минут смог вывести формулу: n³/3 + n²/2 + n/6.

Что меня до сих пор удивляет, так это то, что он сделал это не посредством геометрического (как обычно выводят сумму первых n целых чисел) или индуктивного доказательства. Он предположил, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен с неизвестными коэффициентами, а затем определил эти коэффициенты, решив системы из четырех линейных уравнений, выведенных путем вычисления первых четырех сумм квадратов. (И он решил их вручную, без определителей.) Когда я спросил его, как он понял, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен, он сказал: «А чем еще она может быть?»

Приложение 4

Фракталы и фрактальные размерности

Обычно мы представляем себе фракталы как структуры, состоящие из самоподобных структур в любом масштабе. Другими словами, общая структура объекта сохраняется, когда мы увеличиваем или уменьшаем его масштаб. Как отметил первооткрыватель фракталов Бенуа Мандельброт, такие самоподобные структуры можно найти в природе: «На примере цветной капусты видно, что объект может состоять из множества частей, каждая из которых подобна целому, но имеет меньший размер. Многие растения обладают таким свойством. Облако представляет собой нагромождение форм, напоминающих облака. Приблизившись к облаку, вы увидите не что-то однородное, а такие же неоднородные структуры, только в меньшем масштабе».

Фракталы также известны тем, что имеют дробную (фрактальную) размерность. Для того чтобы получить представление о том, что это такое, проанализируем конкретный фрактальный объект, а именно треугольник Серпинского, который можно построить следующим образом.

Сначала берем обычный равносторонний треугольник и вырезаем из него центральный треугольник, что приведет к образованию первой из четырех фигур с треугольниками, показанных на рисунке ниже. Эта фигура состоит из трех треугольников, в каждом из которых тоже удаляем центральный треугольник, и в результате получаем вторую из четырех фигур. Затем центральные треугольники снова нужно вырезать, что образует третью фигуру с треугольниками. В случае бесконечного повторения этой процедуры будет построена четвертая фигура, которая и является треугольником Серпинского.

Один из способов получить представление о размерности – проанализировать изменение площади объектов при изменении их длины. Например, увеличение длин сторон обычного двумерного треугольника в два раза приводит к увеличению его площади в четыре раза. В действительности увеличение длин сторон любой двумерной фигуры в два раза приводит к увеличению площади этой фигуры в четыре раза. Однако если мы удвоим длины сторон треугольника Серпинского, показанного на рисунке выше, для того чтобы получить показанный ниже треугольник Серпинского большего размера, это не приведет к четырехкратному увеличению его площади.

Увеличение длин сторон треугольника Серпинского в два раза приводит к увеличению его площади в 3 (а не 4) раза, поскольку треугольник большего размера можно построить только из трех экземпляров исходного треугольника меньшего размера, изображенного на рисунке серым цветом. Не вдаваясь в математические детали, можно сказать, что треугольник Серпинского имеет размерность 1,585 (точнее говоря, log 3/log 2 измерений).

Хотя размерность 1,585 кажется нонсенсом, это имеет смысл в контексте процесса построения треугольника Серпинского, который начинается с обычного двумерного треугольника с большой видимой площадью, но последующее неоднократное (бесконечное число раз) удаление центрального треугольника означает, что полученный в результате треугольник Серпинского имеет нечто общее с сетью одномерных волокон или даже с совокупностью одномерных точек.

Приложение 5

Теорема Килера

В эпизоде «Узник Бенды» Милейший Клайд Диксон пишет доказательство теоремы Килера (также известной как теорема Футурамы) на флуоресцентной зеленой доске. Вот расшифровка этого доказательства.

Во-первых, пусть π представляет собой k-циклическую перестановку на множестве [n] = {1, …, n}. Без потери общности запишем:

Пусть <a, b> означает перестановку, которая обеспечивает обмен содержимого a и b.

Согласно предположению, π образуется посредством k отдельных перестановок на множестве [n].

Введем два новых элемента и запишем:

Для любого i = 1, …, k пусть σ представляет собой серию перестановок «слева-направо»:

σ = (< x, 1> < x, 2> … < x, i>) (< y, i + 1> < y, i + 2> … < y, k>) (< x, i + 1>) (< y, 1>)

Обратите внимание, что каждая перестановка приводит к обмену элемента из [n] на один из элементов {x, y}, а значит, все они отличны от перестановок в пределах множества [n], которые привели к образованию π, а также от <x, y>. Обычная проверка показывает, что теперь:

Другими словами, σ возвращает k-цикл в прежнее состояние и оставляет x и y на своих местах (без выполнения < x, y>).

Пусть теперь π представляет собой произвольную перестановку на множестве [n]: оно состоит из независимых (ненулевых) циклов, каждый из которых может быть поочередно возвращен в исходное состояние так, как показано выше, после чего x и y можно в случае необходимости поменять местами посредством <x, y>, что и требовалось доказать.

От автора

Я не смог бы написать эту книгу без поддержки сценаристов мультсериалов «Симпсоны» и «Футурама», которые нашли время для интервью и во многих случаях делали гораздо больше, чем от них требовалось, для того чтобы мне помочь. Я особенно признателен таким людям, как Дж. Стюарт Бернс, Эл Джин, Кен Килер, Тим Лонг, Майк Рейсс, Мэтт Селман, Патрик Веррон, Джош Вайнштейн и Джефф Уэстрбук. Дэвид Х. Коэн проявил невероятное дружелюбие и терпение и не жалел своего времени для меня с тех самых пор, как я написал ему первое электронное письмо еще в 2005 году. Должен также отметить, что Кен, Майк, Эл и Дэвид предоставили свои личные фотографии для включения в книгу, так же как и Майк Бэннен. Я искренне признателен компании Fox и Мэтту Грейнингу за разрешение использовать изображения из «Симпсонов» и «Футурамы».

Я благодарен Рони Брунн за информацию о математическом клубе, а также Эми Джо Перри, которая помогла организовать интервью и чувствовать себя как дома во время пребывания в Лос-Анджелесе. Я признателен также профессору Саре Гринволд и профессору Эндрю Нестлеру за то, что нашли время побеседовать со мной. Я советую читателям посетить их сайты, где они найдут еще много интересного о «Симпсонах» и «Футураме».

Это моя первая книга, написанная после того, как я стал отцом, поэтому я благодарю своего трехлетнего сына Хари Сингха, который провел прошедший год, стуча по клавиатуре моего компьютера и пуская слюни на рукопись книги, когда я этого не видел. Он был для меня лучшим отвлекающим фактором из всех возможных.

Когда я закрывался в своем кабинете, миссис Сингх (известная также как Анита Ананд) занималась важной работой: развлекая Хари, пекла кексы, рисовала картинки, ловила бабочек, запускала бумажного змея и играла в прятки. Когда Анита закрывалась в кабинете, чтобы писать свою книгу, Хари либо бегал без присмотра на улице, либо за ним присматривал кто-то другой. Я благодарен за это бабушке Сингх, дедушке Сингху, бабушке Ананд, Натали, Исааку и Махалии.

Как всегда, Патрик Уолш, Джейк Смит-Бозанкет и их коллеги из литературного агентства Conville & Walsh были неизменным источником советов и поддержки. Я получил истинное удовольствие от сотрудничества с новым британским редактором Натали Хант, и мне было вдвойне приятно снова работать с Джорджем Гибсоном, который поверил в меня как в начинающего писателя еще тогда, когда я опубликовал свою первую книгу о последней теореме Ферма.

В своих исследованиях я полагался на различные интернет-источники, созданные преданными поклонниками «Симпсонов» и «Футурамы». Информацию о них можно найти в разделе «Онлайн-ресурсы». Я признателен Дону Дзедзи и Майку Уэббу за советы, касающиеся бейсбола, Адаму Рутенфорду и Джеймсу Крайму за различные идеи, Алексу Сили за интересные предложения, Джону Вудраффу за еще большее количество предложений, а также Лоре Стук за расшифровку моих интервью. Я хотел бы также поблагодарить Сьюзан Пера, которая занималась организацией бумажной и административной работы на протяжении последних десяти лет и даже больше и уходит на пенсию в этом году. Она всегда была суперзвездой и не позволила моей жизни развалиться на части, и я не знаю, как буду без нее обходиться.

И последнее, что мне хотелось бы отметить. Я планировал выпустить эту книгу еще в 2005 году, но мне помешали необоснованные иски, которые выдвинули против меня многие представители альтернативной медицины, от гомеопатов до хиропрактиков. В итоге, вместо того чтобы писать книгу о «Симпсонах» и «Футураме», я в соавторстве с профессором Эдзардом Эрнстом написал книгу под названием Trick or Treatment? Alternative Medicine on Trial («Обман или лечение? Исследование альтернативной медицины»).

После публикации статьи о хиропрактике в Guardian Британская ассоциация хиропрактиков выдвинула против меня иск по обвинениям в клевете. Наряду с делами о клевете против доктора Питера Уилмхерста, доктора Бена Голдакра и многих других это помогло начать кампанию за либеральную реформу в Великобритании. На то чтобы отстоять это дело в суде, понадобились два трудных года, но за это время я понял, что у меня уже есть много верных друзей и появилось много новых.

Первое собрание движения за либеральную реформу организовал Дэвид Аллен Грин вместе с моим адвокатом Робертом Дугансом. Три сотни блогеров, скептиков и ученых собрались в пабе Penderel’s Oak на улице Холборн в Лондоне, где услышали выступления Трейси Браун, Ника Коэна, Брайана Кокса, Криса Френча, Дэйва Гормана и Эвана Харриса. Свои сообщения с выражением поддержки прислали Ричард Вайзман, Тим Минчин, Дара О’Бриэн, Фил Плейт, Сайл Лейн и многие другие. Большинство из этих людей впоследствии лоббировали политиков и выступали на других митингах движения за либеральную реформу.

Это было только начало. Впоследствии я получил поддержку со стороны Образовательного фонда Джеймса Рэнди в Соединенных Штатах Америки, журнала Cosmos в Австралии, групп общества Skeptics in the Pub («Скептики в пабе») во всем мире, фестиваля литературы и искусств Hay Festival, а также таких организаций, как QEDcon, Sense About Science, Science Media Centre, Index on Censorship, English PEN и многих других организаций и частных лиц. Совершенно неожиданно я стал частью большой семьи, члены которой выступают в защиту науки, рационализма и свободы слова. К этой семье принадлежал и доктор Робин Инс, который организовал мероприятие по сбору средств и всегда был готов помочь, как только в этом возникала необходимость. Этот человек – немного ворчливое сокровище нации.

Десятого февраля 2010 года, когда кампания за либеральную реформу отчаянно нуждалась в поддержке, я пообещал, что в своей следующей книге обязательно назову имена людей, которые сделали в том месяце все возможное, чтобы уговорить других подписать петицию в поддержку либеральной реформы. В итоге петицию подписали более шестидесяти тысяч человек, благодаря чему политики узнали о том, что общественность требует более справедливого закона о свободе слова. Как я и обещал, хочу поблагодарить таких людей, как Эрик Эгл, Терез Ахлстам, Жоао Ари, Леонардо Ассумпкао, Мэтью Бейкос, Дилип Банхатти, Дэвид Барретт, Джеймс Барвелл, Ричи Бичем-Патерсон, Сьюзан Бьюли, Рассел Блэкфорд, Роузи, Флориан и Ханс Брюэр, Мэтт Берк, Боб Бери, Коуби Кобб, Криспин Купер, Саймон Коттон, Ребекка Кроуфорд, Энди Ли Дэвис, Малкольм Додд, Тим Дойл, Джон Эмсли, Тони Флинн, Тереза Готт, Шейла Гривз, Шерин Джексон, Эллиот Йокль, Бронвин Климеч, Джон Ламберт, Дэниел Линч, Тоби Макфарлейн, Дункан Макмиллан, Эластар Макра, Кертис Паласюк, Анил Паттни, Микко Петтери Салминен, Колетт Филипс, Стив Робсон, Деннис Ридгрен, Марк Солтер, Джоан Скэнлон, Эдриан Шонесси, Дэвид Спрэт, Джон Старбак, Сара Сач, Райан Тана, Джеймс Томас, Стивен Тордофф, Эдвард Тернер, Айша У., Ли Уоррен, Мартин Вивер, Марк Вилкокс, Питер Уилсон, Билл Роут и Роджер ван Цваненберг.

Сейчас на стене паба Penderel’s Oak висит табличка с надписью: «После четырех лет проведения кампании с участием тысяч людей и сотен организаций старые законы отменены. 25 апреля 2013 года был принят новый Закон о клевете».

Онлайн-ресурсы

Профессора Эндрю Нестлер и Сара Гринволд предоставили прекрасные источники для желающих изучить математические ссылки, присутствующие в мультсериалах «Симпсоны» и «Футурама», в том числе материалы, предназначенные для преподавателей.

«Симпсоны» и математика

www.simpsonsmath.com

http://homepage.smc.edu/nestler_andrew/SimpsonsMath.htm

Задания с участием Симпсонов

http://mathsci2.appstate.edu/~sjg/simpsonsmath/worksheets.html

«Футурама» и математика

http://www.futuramamath.com

http://mathsci2.appstate.edu/~sjg/futurama

Кроме того, еще есть много сайтов, предлагающих общую информацию о «Симпсонах» и «Футураме». На некоторых из них ведутся серьезные дискуссии о математических ссылках, присутствующих в этих мультсериалах.

«Симпсоны»

http://www.thesimpsons.com/

http://simpsons.wikia.com/wiki/Simpsons_Wiki

http://www.snpp.com/

«Футурама»

http://theinfosphere.org/Main_Page

http://futurama.wikia.com/wiki/Futurama_Wiki

http://www.gotfuturama.com/[61]

Сноски

1

Халвани Р., Скобл Э. «Симпсоны» как философия. М.: У-Фактория, 2005.

2

В 1951 году в журнале Newsweek было напечатано, что «нерд» (nerd) – это пренебрежительное слово, получающее все большую популярность в Детройте. В 60-х годах ХХ столетия студенты Политехнического института Ренсселера отдавали предпочтение написанию knurd (drunk наоборот), подчеркивая тем самым, что они представляют собой полную противоположность любителей вечеринок. Однако за последнее десятилетие принадлежность к племени нердов стала престижной, и этот термин получил распространение в среде математиков и им подобных.

3

Гик (англ. geek) – шутливое и несколько пренебрежительное прозвище «зубрил», помешанных на учебе, особенно тех, кого ничего кроме компьютеров не интересует. Прим. ред.

4

В английском языке есть выражение Be there or be square (дословно: «Будь там – или будешь квадратом»), которое означает: «Будь там – или ты не с нами». Квадрат как фигура, символизирующая порядок, означает также нечто сдерживающее, консервативное. Следовательно, если ты «квадрат», значит, ты консервативен и не интересуешься ничем новым. Автор книги перефразировал это выражение так: Be there or be regular quadrilateral, что дословно переводится как «Будь там – или будешь правильным многоугольником». Прим. пер.

5

Возможно, тем читателям, которые подзабыли правила дифференциального и интегрального исчисления, необходимо напомнить следующее общее правило: производная от y = rn – это dy/dr = n × rn−1. Читателей, которые вообще не знакомы с высшей математикой, готов заверить в том, что это белое пятно не помешает им понять оставшуюся часть главы.

6

Кстати говоря, по случайному стечению обстоятельств Гарднер жил на улице Эвклида, когда писал Рейссу о том, что у Эвклида есть ответ на его вопрос.

7

Берд Г., Кенни Д. Пластилин колец. М.: Симпозиум, 2002.

8

В русском переводе «ботаноз». Прим. перев.

9

Подсказки для тех, кто окажется достаточно смелым, чтобы выполнить эти вычисления: не забудьте, что E = mc² и что необходимо перевести полученный результат в такую единицу энергии, как гигаэлектронвольт, ГэВ.

10

Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. ЛКИ, 2007.

11

Перевод Даниила Горфинкеля в сборнике «Сатанинская сила». М.: Крим-Пресс, 1992. Прим. перев.

12

Стиг Ларссон. Девушка, которая играла с огнем. М.: Эксмо, 2014.

13

В русском прокате – «Ослепленный желанием». Прим. перев.

14

Должен отметить, что эта история близка моему сердцу, поскольку я написал книгу и снял на BBC документальный фильм о последней теореме Ферма и доказательстве Эндрю Уайлса. По случайному стечению обстоятельств во время непродолжительного периода работы в Гарвардском университете Уайлс читал лекции, на которых присутствовал Эл Джин, ставший впоследствии сценаристом «Симпсонов». (Саймон Сингх. Великая теорема Ферма. МЦНМО, 2000).

15

Дэн Браун. Код да Винчи. М.: АСТ, Neoclassic, 2013.

16

Англ. bill означает и «клюв», и «счет». Утка говорит «запишите на мой счет», что можно понять как «запишите на мой клюв». Прим перев.

17

Мы можем записать эту шутку в математическом виде, приняв Pt в качестве розничной цены, Pw в качестве оптовой цены, а N в качестве количества арбузов, которые может перевозить грузовик. Формула прибыли (в долларах) выглядит так: $ = N × (Pt − Pw). Следовательно, если Pw = Pt, тогда очевидно, что покупка большего грузовика и увеличение числа N никак не скажется на прибыли.

18

Издана на русском языке: Стюарт Я. Концепции современной математики. Минск: Изд-во «Вышэйшая школа», 1980. Прим. ред.

19

Эти каламбуры, остроты и анекдоты с неожиданной концовкой передавались от одного поколения гиков к другому, поэтому имена авторов, как ни печально, затеряны во мгле веков (или же эти авторы по вполне понятным причинам пожелали сохранить анонимность).

20

Разумеется, я проанализировал и свои показатели. У меня число Эрдеша равно 4, а число Бэйкона – 2, что ставит меня в один ряд с Джеффом Уэстбруком. Более того, у меня еще есть число Sabbath, которое определяется по количеству людей, связывающих меня с участниками рок-группы Black Sabbath. В действительности, по данным Erdos Bacon Sabbath Project (http://ebs.rosschurchley.com), мое число Эрдеша-Бэйкона-Sabbath равно 10, что обеспечивает мне восьмое самое меньшее число Эрдеша-Бэйкона-Sabbath в мире и ставит в один ряд с Ричардом Фейнманом, в числе прочих!

21

Лига плюща (англ. The Ivy League) – ассоциация восьми частных американских университетов, расположенных в семи штатах на северо-востоке США, среди которых Гарвардский, Принстонский и Йельский университеты. Считается, что университеты – члены лиги отличаются высоким качеством образования. Прим. ред.

22

Бэттер – в бейсболе игрок из команды нападения, отбивающий броски питчера (подающего). Прим. ред.

23

Майкл Льюис. Moneyball. Как математика изменила самую популярную спортивную лигу в мире. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2013.

24

Кстати говоря, во время разговора Лизы с профессором Фринком в баре Мо профессор показывает ей видео с Биллом Джеймсом, которое озвучивает сам Билл Джеймс.

25

Пробежка до базы. Прим. ред.

26

Перевод С. Александровского. Прим. перев.

27

Ричард Фейнман. Радость познания. М.: АСТ, Neoclassic, 2013.

28

Лукасовский профессор математики (англ. Lucasian Professor of Mathematics) – именная профессура в Кембриджском университете. Одна из самых престижных академических должностей в мире. Прим. ред.

29

Ларри Флинт – американский издатель порнографии. После попытки убийства Флинта он остался парализованным и вынужден передвигаться на инвалидной коляске. Прим. ред.

30

Дословный перевод: «Хотел взглянуть на вашу утопию, но это скорее похоже на глупость». Прим. перев.

31

Это мюзикл по мотивам «Шоу Щекотки и Царапки» – мультфильма, который смотрят Барт и Лиза. Создание «Шоу Щекотки и Царапки» восходит к юному Мэтту Грейнингу, смотревшему диснеевский мультфильм «101 далматинец», в одной из сцен которого щенки смотрят телевизор. Несколько десятилетий спустя Грейнинг захотел воссоздать идею о мультфильме в мультфильме.

32

Здесь имеется в виду векторное произведение (скрещивание) двух векторов. Формула в ответе – это модуль векторного произведения, где θ – угол между векторами. Подобная «соль» в следующей шутке. Прим. ред.

33

Существует крупный публичный проект, нацеленный на поиск еще больших простых чисел Мерсенна. Сеть Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) позволяет участникам проекта загружать бесплатные программы и выполнять их на своих домашних компьютерах в то время, когда они не используются для решения других задач. Затем каждый такой компьютер просеивает свою группу чисел в поисках рекордно большого простого числа. Если вы примете участие в этом проекте, вам может посчастливиться открыть следующее самое большое простое число Мерсенна.

34

Самовлюбленные числа чаще называют числами Армстронга. Прим. ред.

35

«В расцвете лет» на английском – in her prime; слово prime входит также в состав термина prime number – «простое число». Прим. перев.

36

Discrete Applied Mathematics 58, no. 3 (1995): 239–52.

37

On the Problem of Sorting Burnt Pancakes, Discrete Applied Mathematics 61, no. 2 (1995): 105–20.

38

В этой и аналогичных фразах намеренно опущен предлог «из». Прим. ред.

39

По всей вероятности, это был Дэвид Миркин, бывший инженер, интересующийся математикой. Он был исполнительным продюсером этого и еще двух эпизодов 1993 года («Последнее искушение Гомера» и «Бутон розы»), в которых есть отсылки к «Волшебнику страны Оз».

40

Если вы все же забыли эту теорему, информацию о ней можно найти в работе профессора Харма Барта под названием Periodic Strongly Continuous Semigroups, опубликованной в Annali di Matematica Pura ed Applicata115, no. 1 (1977): 311–18.

41

Здесь перечислены числа 1, 2, 3 в двоичной системе счисления. Прим. ред.

42

Символом «!», который присутствует в этой формуле, обозначается такая операция, как факториал. Суть этой операции лучше всего объяснить на примере: 1! = 1, 2! = 2 × 1, 3! = 3 × 2 × 1 и т. д.

43

В русскоязычной математической литературе эта кривая чаще всего называется «цепная линия». Прим ред.

44

Дональд Эрвин Кнут. Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы. М.: Вильямс, 2015.

45

Google также в восторге от еще одного числа. В 2011 году начальное предложение цены за пакет патентов составило 1 902 160 540 долларов, что равно 1 миллиону долларов, умноженному на константу Бруна B_2. Это число представляет собой сумму обратных значений простых чисел-близнецов, то есть простых чисел, разделенных только одним четным числом. Поэтому B_2 = (1/3 + 1⁄5) + (1⁄5 + 1⁄7) + (1⁄11 + 1⁄13) + … = 1,902160540….

46

Умляут (нем. Umlaut – «перегласовка») – диакритический знак, указывающий на фонетическое явление умлаута гласных звуков в немецком и некоторых других языках. Обычно изображается в виде двух точек над буквой, в готическом шрифте традиционно выглядел как маленькая надстрочная буква e. Прим. ред.

47

Формула Мэчина для вычисления числа π была основана на следующих наблюдениях: ¼ π = 4cot−1(5) – cot−1(239). Здесь cot – это функция котангенса. Это уравнение не является бесконечным рядом, но его можно превратить в весьма эффективный бесконечный ряд посредством разложение в ряд Тейлора.

48

Бейли принимал участие в разработке алгоритма поиска цифр числа π, получившего название «краник», поскольку этот алгоритм, подобно водопроводному крану, генерирует ответы по одному. Это означает, что число π вычисляется капля за каплей, цифра за цифрой. Алгоритм «краник» можно настроить на вычисление любой конкретной цифры числа π с абсолютной точностью. Можно было бы предположить, что Бейли мог использовать свой алгоритм для получения сорокатысячной цифры. К сожалению, алгоритм Бейли работает только с шестнадцатеричной системой счисления, а не с десятичной.

49

Алекс Беллос. Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в мир математики. М.: КоЛибри, Азбука-Аттикус, 2012.

50

За вручением Нобелевской премии профессору Фринку наблюдает его воскресший отец, которого озвучивает легендарный комик Джерри Льюис. Это привело к образованию своего рода голосового цикла. Льюис озвучивал своего персонажа, опираясь на голос Фринка-младшего, озвученный Хэнком Азариа, который, в свою очередь, взял за основу голос главного героя Льюиса в фильме «Чокнутый профессор» (The Nutty Professor).

51

В теории алгоритмов класс задач NP определяется как содержащий те задачи, которые можно решить за полиномиальное время на недетерминированной машине Тьюринга. Задачи, имеющие полиномиальные по времени алгоритмы решения, можно решать с помощью компьютера значительно быстрее, чем путем прямого перебора, время которого экспоненциально. Это обусловливает практическое значение проблемы о равенстве классов задач P и NP. Прим. ред.

52

Это правило относится к области математики, известной как модульная арифметика (алгебра сравнений по модулю). Будучи весьма полезной в контексте криптографии, модульная арифметика играет также крайне важную роль в других областях математических исследований, в том числе в доказательстве последней теоремы Ферма.

53

Эпизод «Двумерное шоссе» (2-D Blacktop, сезон 7, эпизод 15) вышел на экраны 19 июня 2013 года. Прим. перев.

54

Название эпизода перекликается с названием культового фильма 1971 года «Двухполосное шоссе» (Two-Lane Blacktop) о двух стритрейсерах.

55

Эдвин Эббот. Флатландия. Дионис Бюргер. Сферландия. СПб: Амфора, 2015.

56

Перевод Н. Н. Амосовой. Прим. перев.

57

Энтони Хоуп. Узник Зенды. СПб: Композитор, 1993.

58

Ведро – это робот, представляющий собой ведро для мойки, который присутствует в четырех эпизодах «Футурамы».

59

Император Николай – это робот-император Робо-Венгрии.

60

Детерминант Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений и назван в честь французско-польского математика XIX столетия Юзефа Марии Хене-Вронского. Прим. ред.

61

В русском сегменте интернета есть три сайта, полностью посвященных мультсериалу «Симпсоны». Это:

http://ru.simpsons.wikia.com/wiki/Симпсоны_вики

http://www.prosimpsonov.ru/

http://www.simpsons.pw/

Но на других сайтах есть отдельные страницы (очень интересные), посвященные мультсериалу. Вот несколько ссылок:

http://quibbll.com/5846-sekrety-izvesnogo-multseriala-simpsony/

https://tjournal.ru/p/making-of-simpsons

https://tjournal.ru/p/making-of-simpsons

http://ru.simpsons.wikia.com/wiki/Симпсоны_вики

По мультсериалу «Футурама»:

https://ru.wikiquote.org/wiki/Футурама

https://ru.wikipedia.org/wiki/Портал: Футурама

http://ru.futurama.wikia.com/wiki/Футурама_вики

Content

Саймон Сингх
Симпсоны и их математические секреты

Глава 0 Вся правда о Симпсонах

Глава 1 Барт – гений

Глава 2 Хотите ли вы знать число π?

Глава 3 Последняя теорема Гомера

Глава 4 Загадка математического юмора

Глава 5 Теория шести рукопожатий

Глава 6 Лиза Симпсон – королева статистики и бейсбола

Глава 7 Бабгебра и женгоритмы

Глава 8 Шоу простых чисел

Глава 9 До бесконечности и дальше

Глава 10 Теорема страшилы

Глава 11 Математика в режиме стоп-кадра

Глава 12 Еще один кусочек числа π

Глава 13 Трехмерный Гомер

Глава 14 Рождение «Футурамы»

Глава 15 Число 1729 и романтическое происшествие

Глава 16 Односторонняя история

Глава 17 Теорема Футурамы

Эπилог

Приложение 1 Использование саберметрики в футболе

Приложение 2 Анализ тождества Эйлера

Приложение 3 Формула доктора Килера для поиска суммы квадратов

Приложение 4 Фракталы и фрактальные размерности

Приложение 5 Теорема Килера

От автора

Онлайн-ресурсы

Сноски