Кабальеро Карретеро Хуан Антонио

Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

Juan Antonio Caballero Carretero

Наука. Величайшие теории: выпуск 32: Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

Наука. Величайшие теории: выпуск 32: Темная сторона материи. Дирак. Антивещество. / Пер. с франц. — М.: Де Агостини, 2015. — 160 с.

ISSN 2409-0069

©Juan Antonio Caballero Carretero, 2012 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2014

© ООО «Де Агостини», 2014-2015

Введение

В Вестминстерском аббатстве 13 ноября 1995 года была установлена скромная мемориальная доска в честь Поля Адриена Мориса Дирака. На ней можно увидеть лишь дату рождения и смерти, имя, слово «физик» и короткое уравнение: его релятивистское уравнение электрона. Простота доски прекрасно отражает личность Дирака, который избегал света прожекторов и не любил показываться на публике. В отличие от других выдающихся физиков своего времени, Поль Дирак занимался только академической работой и не принимал участия в иной общественной деятельности. Под конец жизни, когда его имя уже гремело в научном мире, он не мечтал о публикации общих популяризаторских трудов, рассказывающих о его философских идеях и отношениях с коллегами. Дирак полностью посвятил себя научной работе и тщательно скрывал свою частную жизнь. Желая избежать всякой публичности, он даже сначала отказался от Нобелевской премии, а согласился принять ее лишь после слов Резерфорда о том, что его отказ вызовет еще больший резонанс.

Особенности характера Поля Дирака во многом объясняют то, почему широкая публика так мало о нем знает. Смерть ученого 20 октября 1984 года в Таллахасси (Флорида) была удостоена лишь краткого сообщения в The Times. Тем не менее научное сообщество считает Дирака одним из самых блестящих и значительных физиков в истории этой науки. Наряду с Ньютоном и Максвеллом он является одним из трех самых выдающихся физиков Соединенного Королевства. Может показаться удивительным, что после его смерти прошло целых 11 лет, прежде чем ему воздали национальные почести и установили мемориальную доску рядом с могилой Исаака Ньютона. В тот день Стивен Хокинг, открывая церемонию, произнес: «Дирак, наверное, более чем кто-либо, за исключением Эйнштейна, способствовал развитию физики и радикальному изменению нашего видения Вселенной в этом веке. Бесспорно, он заслуживает чести быть увековеченным в Вестминстерском аббатстве. Даже возмутительно, что этого момента пришлось ждать так долго».

В конце XIX века физика опиралась на два столпа — механику Ньютона и электромагнетизм Максвелла. Эти две великие теории позволяли объяснить практически все природные явления. Нетрудно представить себе настроения, царившие в среде физиков того времени: все казалось познанным, и роль ученых заключалась лишь в осуществлении специальных расчетов для решения конкретных проблем или же в проведении более детальных опытов в рамках существующих теорий. Физика не казалась притягательной областью исследований для молодых студентов, избравших научную стезю. Но такая картина омрачалась двумя «крошечными» проблемами, которые лорд Кельвин называл «облачками». Кто бы мог подумать тогда, что «облачка» разразятся самой сильной грозой из всех, что когда-либо видело человечество? Из противоречий между теорией Ньютона и теорией Максвелла родилась теория относительности; а излучение абсолютно черного тела, которое давно не давало покоя ученым, привело к рождению квантовой физики. Эти теории возникли в XX веке и произвели революцию. Если теория относительности стала плодом труда одного ученого — Альберта Эйнштейна, — то квантовая теория потребовала работы и совместных усилий самых блестящих умов того времени, среди которых был и Дирак.

Первые годы жизни Дирака совпали с этими серьезными переменами в мире физики. В 1900-м, за два года до его рождения, Планк представил свои работы по изучению излучения абсолютно черного тела, ознаменовавшие рождение квантовой физики. А Эйнштейн, помимо прочего, опубликовал в 1905 году свою специальную теорию относительности и смог объяснить фотоэлектрический эффект. Через десять лет, когда Дираку едва исполнилось 13, появилась на свет общая теория относительности. Молодой человек следил за этими изменениями — особенно за теми, что были связаны с теорией относительности,— с огромным интересом, но исключительно по собственной инициативе. Несмотря на врожденные способности к математике, во время учебы Дирака на инженерном факультете трудно было представить, что однажды он сыграет столь важную роль в области физики. Как часто случается, неожиданные перемены открыли для Поля новые перспективы и перевернули его судьбу. Глубокий экономический кризис, наступивший в Англии после Первой мировой войны, не позволил ему найти работу в качестве инженера; таким образом, Дирак закончил изучение математики в университете Бристоля и отправился в Кембридж, чтобы заняться физикой.

В 1923 году, вскоре после прибытия Дирака в Кембридж, в его жизни произошел еще один поворот. Будущий ученый был очарован общей теорией относительности, которую глубоко изучил во время университетских лет в Бристоле. Это подтверждает и его собственное замечание, сделанное годы спустя: «Если бы Эйнштейн не опубликовал в 1905 году специальную теорию относительности, это скоро сделал бы кто- нибудь другой. Зато все было совсем иначе с общей теорией относительности. Возможно, без Эйнштейна мы и сегодня еще только ждали бы ее». Однако Дирак не смог осуществить свое желание и заняться углубленным изучением данной теории: профессор Эбенезер Каннингхэм, руководивший исследованиями, решил не брать студентов. Дираку назначили другого руководителя — Ральфа Фаулера, который специализировался в только что появившейся квантовой теории. Дирак окунулся в странный квантовый мир, по его собственным словам, практически незнакомый ему. Полю понадобилось два года работы и усердных занятий, чтобы подготовиться к уже намечающимся потрясениям в области физики.

Важное событие, определившее научную карьеру Дирака, произошло в 1925 году, после его ознакомления с трудами Вернера Гейзенберга. Работы последнего на самом деле послужили толчком для построения новой квантовой теории, названной «квантовой механикой». Они оказали заметное влияние на Дирака и пробудили его творческий гений. Дирак в то время начал публиковать свои первые статьи и стал одним из основателей новой теории. В Кембридже он трудился в одиночестве, осуществляя исследования автономно и даже почти втайне. Свой подход к изучению проблемы он описывал так: «Большая часть моей работы в те годы заключалась в игре с уравнениями и наблюдением за тем, куда приведет меня эта игра». Результат оказался невероятным. Макс Борн описал его очень красноречиво: «Это было одно из самых больших потрясений за всю мою научную карьеру. Имя Дирака мне было совершенно незнакомо. Автор был очень молод, однако все в его подходе было прекрасным. Это было восхитительно». Такую почти болезненную склонность к секретности Дирак сохранил на всю жизнь. Когда он разрабатывал релятивистскую теорию электрона — одно из самых важных своих открытий, — даже его самые близкие коллеги по Кембриджу узнали о ней только из опубликованной статьи. Во время работы ученый не обмолвился о ней ни словом и не дал возможности даже предположить, что именно является предметом его изучения.

Период с 1925 по 1933 год известен как «героический» в жизни Дирака. Благодаря своей научной деятельности он стал одним из крупнейших физиков в истории. Всего за восемь лет из совершенно неизвестного ученого Дирак превратился в лауреата Нобелевской премии. Слава не изменила его привычек, он остался таким же отстраненным и недоступным — как для широкой публики, так и для своих студентов и коллег. За исключением физики и двух своих серьезных увлечений — путешествий и прогулок в горах, — Дирак не выказывал никакого интереса к любой другой деятельности или области знания. Его жизнь вращалась вокруг работы и научных публикаций; написание его биографии, таким образом, сводится по большей части к комментированию трудов ученого. Это и есть главная цель данной книги. В следующих главах мы представим и объясним ключевые научные открытия Дирака. Однако для лучшего понимания работы Дирака нужно знать и основные события его жизни.

Работы ученого во время его «героического периода» окончательно изменили физику того времени и заложили основы для будущего развития теоретической физики. На самом деле практически невозможно понять современную физику без учета вклада Дирака. Какими были его главные научные свершения и почему они считаются настолько важными? Дирак является одним из основателей квантовой физики. Независимо от немецких коллег он разработал новый формализм квантовой теории — «квантовую алгебру». Дирак придал квантовой теории самую строгую и универсальную математическую форму — «самое прекрасное представление квантовой механики», по словам Эйнштейна. Его теория преобразований включает три знаменитых формализма квантовой теории: матричную механику, волновую механику и квантовую алгебру. Квантовая теория благодаря Дираку получила единый и последовательный подход, а также физическую интерпретацию волновой функции. Таким образом, Дирак ввел в обиход представления и понятия, которые являются частью используемого сегодня языка любого текста по квантовой механике. Каждый студент, изучающий физику, должен знать «обозначения Дирака», или «обозначения бра и кет» и свойства функции (функции Дирака), прежде чем приступить к квантовой теории.

Самыми большими открытиями британского ученого, поразившими его коллег, стали, наверное, выведение квантового релятивистского уравнения электрона и теория взаимодействия излучения и вещества. Впрочем, оба эти открытия взаимосвязаны. Приложение релятивистской теории к квантовому миру ясно показывает, в чем заключается главная проблема: количество частиц не сохраняется. Принцип неопределенности Гейзенберга и принцип эквивалентности массы и энергии допускают существование процессов, во время которых частицы постоянно рождаются и разрушаются. Даже если это явление присутствовало в релятивистском уравнении электрона, Дираку понадобилось несколько лет для того, чтобы полностью осознать его. Вместе с уравнением Дирака появился мир античастиц, а вместе с ним возник способ объяснения и описания взаимодействия излучения с веществом. Сегодня стандартная модель считается актуальной «парадигмой» физики. Квантовая теория поля стала концептуальной и математической основой, позволяющей нам описать поведение природы, начиная с ее основополагающих составляющих. Огромный вклад Дирака в физику заключается в том, что он заложил фундамент и ввел в обиход главные понятия, которые позволили развить квантовую теорию поля и теорию элементарных частиц.

Связь квантового релятивистского уравнения электрона и квантовой теории излучения породила квантовую электродинамику — теорию, объясняющую поведение электронов и антиэлектронов и то, как они взаимодействуют со светом и между собой. Дирак указал физике направление развития. Он первым заговорил о взаимодействии частиц как о процессе обмена фотонами, первым сослался на понятия эффективной массы и эффективного заряда, равно как и на метод перенормировки. Работы, осуществленные им в «героический период», составляют основу квантовой теории излучения. Они послужили источником вдохновения для многих физиков, которые спустя 20 лет развили его идеи в «новую» квантовую электродинамику. Эта физическая теория остается одной из самых точных вплоть до наших дней. Именно квантовая теория поля стала великим наследием Дирака и одновременно, как мы увидим, его самым большим разочарованием.

В книге «Великие физики», написанной Уильямом Кроппером, собраны биографии некоторых важнейших представителей этой науки. Каждому жизнеописанию предшествует одна простая фраза, заключающая в себе основное качество или главную характеристику личности. Фраза перед биографией Дирака представляет собой одно-единственное уравнение (оно же воспроизведено и на мемориальной доске в Вестминстерском аббатстве). Редко случается такое отождествление физика и уравнения, исключение представляет собой лишь Эйнштейн и его знаменитое соотношение энергии и массы. Но глобальная разница заключается в том, что все знают формулу Эйнштейна, тогда как уравнение Дирака никому не известно — как того всегда и хотел Дирак. Речь идет о формально простом и лаконичном уравнении: (i·-М) = 0. Однако оно заключает в себе неожиданное открытие — антивещество, и объяснение решений уравнения Дирака привело к настоящей революции.

1902 Поль Адриен Морис, сын Шарля Адриена Л. Дирака, швейцарского эмигранта и преподавателя французского, родился в Бристоле (Англия) 8 августа.

1918 Начинает учебу на инженерном факультете в университете Бристоля и в 1921 году получает диплом.

1921 Изучает прикладную математику в университете Бристоля.

1923 Поступает в университет Кембриджа со стипендией Отдела научных и промышленных исследований. Начинает изучать квантовую теорию под руководством Ральфа Фаулера.

1925 Знакомство с работами Гейзенберга знаменует поворот в жизни Дирака. Начинает публиковать свои исследования в области квантовой механики и становится одним из «основателей» новой теории.

1926 Защита докторской диссертации. Первые поездки в Копенгаген и Геттинген. Публикует свои первые работы, посвященные взаимодействию излучения и вещества.

1928 Публикация статьи Дирака «Квантовая теория электрона» с первым релятивистским квантовым уравнением. Эта невероятно успешная работа порождает одновременно и большую путаницу: что делать с содержащимися в уравнении состояниями отрицательной энергии?

1929 Первые поездки в США и Японию.

1930 Дирак избран членом Королевского общества. Опубликованы его «Принципы квантовой механики», которые становятся основной книгой по этому предмету.

1931 Заявляет о существовании антиэлектрона и магнитного монополя.

1932 Занимает почетную Лукасовскую кафедру математики университета Кембриджа.

1933 Вместе со Шрёдингером получает Нобелевскую премию по физике «за открытие новых продуктивных форм атомной теории».

1937 Женится на Маргит Вигнер, сестре знаменитого теоретика физики Юджина П. Вигнера, матери двоих детей — Джудит и Габриеля. В этом браке родятся еще две девочки — Мари Элизабет и Флоренс Моника.

1939 Получает королевскую медаль Королевского общества. В последующие годы становится членом главных научных академий мира.

1969 Оставляет Лукасовскую кафедру математики университета Кембриджа и переезжает в США.

1972 Назначен профессором университета Таллахасси, Флорида.

1984 Умер 20 октября в Таллахасси, там же и похоронен.

ГЛАВА 1

Первые годы

В конце XIX века в области физики произошла настоящая революция, которой способствовало появление, с одной стороны, теории относительности, содержавшей новую концепцию времени и пространства, и с другой — квантовой теории со странными и поразительными законами. Самые ранние годы Дирака совпали с этими глубокими изменениями.

В первые годы жизни Поля Дирака в физике произошли невероятные события. До этого времени (до конца XIX века) классическая физика опиралась, главным образом, на механику Ньютона и электромагнетизм Максвелла. Однако ей пришлось уступить место «современной физике», которая предлагала новое видение мира, новые понятия и удивительные законы. Потрясения, вызванные теорией относительности и квантовой физикой, были столь глубокими, что затронули все области знания.

Биография ученого разворачивалась параллельно развитию двух этих новых теорий. Поль Адриен Морис Дирак родился 8 августа 1902 года в Бристоле (Англия). Его имя ясно говорит о французских корнях: отец, Шарль Адриен Л. Дирак, появился на свет в 1866 году в городе Монте франкоязычного кантона Вале в Швейцарии. Шарль начал учебу в университете Женевы, потом из-за напряженных отношений с родственниками оставил отчий дом. Он порвал все отношения с семьей, которая долгие годы не получала от него никаких известий. Его родители не узнали ни о его женитьбе, ни о рождении двух первых детей; только в 1905 году Шарль навестил мать в Женеве вместе с женой и двумя сыновьями. Около 1890 года он обосновался в Бристоле, где начал преподавать французский язык.

В 1896 году Шарля взяли на работу в Технический колледж (Merchant Venturers’ Technical College), а через три года он женился на Флоренс Ханне Холтен, уроженке Бристоля. В 1900 году родился их первый ребенок: Реджинальд Шарль Феликс. Через два года появился на свет Поль, а в 1906 году — дочь, Беатрис Изабель Маргерит. Поль получил среднее образование в школе Технического колледжа, который стал частью университета Бристоля в 1906 году.

Уже будучи взрослым, Дирак вспоминал, что поездка в Женеву в 1905 году совпала по времени с кульминацией творческого гения Эйнштейна в Берне, неподалеку от Женевы. В тот год Эйнштейн, используя только что появившуюся квантовую теорию, опубликовал пять статей, среди которых были статьи о специальной теории относительности и объяснение фотоэффекта. Через 23 года Дирак первым из физиков объединил эти две теории.

ОБРАЗОВАНИЕ И ЛИЧНОСТЬ

Шарль Дирак не отказался от своего женевского культурного наследия. В 1919 году он и его дети получили британское гражданство, а до этого сохраняли швейцарское. В его доме говорили, кстати, только по-французски, что являлось обязательным правилом. Авторитарная личность отца и уединенность, навязанная им своей семье, социальная жизнь которой была крайне ограничена, превратили дом Дирака в тюрьму, где не было места праздным разговорам. Это наложило значительный отпечаток на жизнь детей Шарля. В 1962 году Поль Дирак вспоминал:

«В детстве у меня не было никакой социальной жизни. Отец заставлял меня говорить с ним по-французски. Он считал, что это благоприятным образом скажется на моем воспитании. Поскольку я был не способен объясняться по-французски, то предпочитал молчать, нежели говорить по-английски. Именно так я стал очень молчаливым человеком».

По словам Дирака, семейные трапезы выглядели следующим образом: отец и сын сидели за столом в тишине, а мать, которая не говорила по-французски, оставалась на кухне с двумя другими детьми. Мы не знаем причин таких странных отношений, но точно известно, что семья редко собиралась за общим столом (Дирак неоднократно рассказывал об этом).

С самого начала все способствовало тому, чтобы я стал очень замкнутым человеком.

Поль Дирак

На всю жизнь Поль сохранил эту замкнутость и всегда с чрезвычайным трудом выстраивал отношения с окружающими. Товарищи по начальной школе рассказывали о его скрытности и необщительности. Юный Дирак мало с кем разговаривал и избегал игр, в том числе и спортивных. Его внимание было сосредоточено на собственном внутреннем мире, а также на изучении природы и математики, которая стала центром его жизни. Детство Поля, в частности его отношения с отцом, наложили неизгладимый отпечаток на всю дальнейшую судьбу ученого. Замкнутость и скрытность превратили Дирака в тяжелого человека, который порой мог демонстрировать полное отсутствие интереса к окружающим и даже нехватку такта.

В 1914 году, в начале Первой мировой войны, Поль Дирак получал среднее образование в Техническом колледже, где его отец преподавал французский. Некоторые воспоминания студентов того времени свидетельствуют о педантизме и строгости отца Дирака, который часто прибегал к наказаниям во имя дисциплины. Образование в колледже концентрировалось в основном на науках, современных языках и практических предметах. Гуманитарных дисциплин было очень мало.

С самого начала обучения Дирак продемонстрировал врожденный талант к наукам, особенно к математике. Он также интересовался техническим рисунком и геометрическим изображением трехмерных фигур. Гораздо позже он объяснял, что именно способность представлять проблемы геометрически позволила ему развить некоторые из самых важных его идей. Дирак быстро стал одним из самых блестящих учеников колледжа и достиг гораздо более продвинутого уровня в изучении математики и химии, нежели другие студенты его возраста. Отец и учителя Поля с самого начала поняли, что молодой человек интересуется наукой, обладает огромной работоспособностью и вниманием. Разумеется, это открытие привело к еще большему ужесточению и без того строгого режима, который Шарль Дирак навязал своему сыну в те годы, что лишь усилило его одиночество и замкнутость.

Поль Дирак посвятил себя исключительно науке и совершенно не интересовался другими областями знания, такими как литература или музыка. В то же самое время его школьные успехи, трудности в общении и отсутствие интереса к проблемам и чувствам других со временем сказались на его отношениях с братом, сошедших практически на нет.

В 1918 году Дирак получил аттестат о среднем образовании с самыми высокими оценками, но у него не было никакого представления о том, чем он хочет заниматься в жизни. Несмотря на математические таланты, Поль последовал примеру старшего брата, которого отец заставил получать инженерное образование в университете Бристоля вопреки его интересу к медицине.

КЛАССИЧЕСКАЯ И СОВРЕМЕННАЯ ФИЗИКА

В конце XIX века физика считалась прекрасно структурированной наукой, способной описать мир. Механика Ньютона объясняла движение тел; теория электромагнетизма Максвелла позволяла точно объяснить электрические и магнетические явления; развитие атомной теории и статистической механики, равно как и применение этих теорий в области термодинамики, дали химии, науке XX века, осуществить необычайный прорыв. В связи с этим легко можно понять слова лорда Кельвина: «В физике нечего открывать, можно лишь осуществлять все более точные измерения».

Уильям Томсон (лорд Кельвин), 1906 год.

Новые вызовы

И тем не менее ученые прекрасно осознавали, что оставалось два не проясненных вопроса. Первый был связан с некоторыми противоречиями между механикой и электромагнетизмом; второй вытекал из невозможности объяснения с помощью существовавших теорий «излучения черного тела». Первый вопрос привел к появлению теории относительности Эйнштейна — с новой концепцией пространства и времени и принципом эквивалентности массы и энергии. Второй вызвал появление и развитие квантовой теории с ее странными законами. Изменения были столь существенными, что затронули все области знания. Физика до конца XIX века называется классической, а в XX столетии началась эра «современной физики».

Альберт Эйнштейн во время конференции в Вене, 1921 год.

МЕХАНИКА ПРОТИВ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

Чтобы понять научные труды и открытия Дирака, надо хорошо понимать контекст физики во времена, когда он был студентом: в ней происходила настоящая революция вместе с расцветом новых теорий, радикально менявших преобладавшее до этих пор видение природы.

Галилей и Ньютон сформулировали законы, позволявшие объяснить движение тел. Одним из главных понятий этих теорий была «система отсчета», в рамках которой рассматривалось движение одного или нескольких тел. До XVI века считалось, что Земля как особая система отсчета находится в состоянии абсолютного покоя. Галилей (1564-1642) первым заявил, что никакой особой системы отсчета не существует. Кстати, одним из основных принципов физики был «принцип относительности» Галилея — Ньютона, согласно которому все законы физики (механики) одинаковы для всех инерциальных систем — систем отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга. Преобразования, позволяющие описать положения тел в разных инерциальных системах, называются «преобразованиями Галилея». Время во всех таких системах отсчета являлось абсолютным, то есть одинаковым для всех наблюдателей.

К середине XIX века британский физик Джеймс Клерк Максвелл (1831-1879) разработал свою теорию электромагнетизма. Ее основу составляли четыре уравнения, называемых «уравнениями Максвелла». В них учитывалась скорость света. Следовательно, возникал вопрос: в какой системе отсчета рассматривать скорость света? Согласно принципу относительности Галилея — Ньютона скорость зависит от выбранной системы отсчета. Однако изменение скорости света, в свою очередь, меняет уравнения Максвелла. Другими словами, законы электромагнетизма меняются, когда сталкиваются с преобразованиями Галилея. И это очевидным образом свидетельствует о том, что законы электромагнетизма и механики противоречат друг другу.

К XX веку все физики были убеждены: свет, как и любое другое волновое явление, для распространения нуждается в материальной среде, которая была названа «эфиром». Предполагалось, что он заполняет собой все пространство. Таким образом, эфир составлял особую систему отсчета (абсолютную), что противоречило принципу относительности Галилея. Главной задачей стало измерить скорость света по отношению к эфиру, именно это являлось целью опыта, осуществленного Альбертом А. Майкельсоном (1852-1931) и Эдвардом Морли (1838-1923) в 1887 году. Их опыт показал, что измеряемая скорость света всегда одинаковая, каким бы ни было ее направление в пространстве. Объяснения данного факта давались очень разные, и все они были связаны с возможными изменениями уравнений электромагнетизма. На самом деле большинство ученых оставались убеждены в релевантности уравнений Ньютона и преобразований Галилея — до тех пор, пока специальная теория относительности полностью не перевернула подход к проблеме и ее решению.

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Альберт Эйнштейн (1879-1955) полагал, что противоречия между электромагнетизмом и механикой вытекают из законов Ньютона. Он отказался от идеи эфира и возможного существования абсолютной системы отсчета. Эйнштейн разработал теорию относительности, исходя из двух основополагающих постулатов.

1. Принцип относительности. Все законы физики одинаковы для всех инерциальных систем отсчета.

2. Принцип постоянности скорости света. Скорость света в вакууме всегда одинакова, независимо от рассматриваемой инерциальной системы отсчета.

Первый постулат представляет собой обобщенный принцип Галилея — Ньютона и демонстрирует невозможность различать инерциальные системы. Второй постулат гораздо более странный, он очевидным образом противоречит преобразованиям Галилея, согласно которым скорость предмета зависит от системы отсчета, в которой эта скорость измеряется. Как это возможно, чтобы наблюдатели, двигающиеся по отношению друг к другу, видели одно и то же световое мерцание, перемещающееся с одинаковой по отношению ко всем скоростью? Поиски ответа на данный вопрос вели к совершенно новому восприятию таких основополагающих понятий, как пространство и время.

Рассмотрим понятие одновременности в свете специальной теории относительности. В механике Ньютона время абсолютно и, следовательно, одинаково для всех наблюдателей. В схеме Эйнштейна, напротив, одновременные события в одной системе отсчета обычно не одновременны в другой системе отсчета; другими словами, одновременность событий зависит от системы отсчета. Это означает, что время протекает (и измеряется) по-разному в зависимости от системы.

Из постулатов Эйнштейна следует, что измеряемое время может замедляться в движущихся инерциальных системах; иначе говоря, оно течет быстрее, когда мы измеряем его в той же системе отсчета, в которой и находимся (в «собственной» системе). Наконец, и длина предмета зависит от системы, в которой он измеряется, поскольку определить длину означает определить одновременно края этого предмета. Эйнштейн осуществил множество «мысленных экспериментов», чтобы данный аспект стал очевидным. И если релятивистские эффекты — сокращение длины и замедление времени — незаметны в повседневном мире, для которого механика Ньютона является достаточно точной, то они играют ключевую роль в объяснении субатомных процессов.

Еще один важный принцип, следовавший из теории относительности и оказавший серьезное влияние на квантовую теорию, — принцип эквивалентности массы и энергии. В релятивистской теории масса тела зависит от системы отсчета, она увеличивается вместе со скоростью и тяготеет к бесконечности, когда скорость тела приближается к скорости света. Соотношение между массой и общей энергией тела выражается знаменитым уравнением Эйнштейна: Е = mc^2. Оно описывает эквивалентность массы и энергии и означает, что излучение или взаимодействие, то есть энергия, могут переходить в массу (в частицы), и наоборот, что частицы (масса) могут разрушаться, производя энергию. Это уравнение сыграло огромную роль

Дирак в учебной аудитории.

Поль Дирак (четвертый слева) с коллегами во время VII Сольвеевского конгресса, который был организован в 1933 году и посвящен структуре и свойствам атомного ядра. в открытии взаимодействия излучения с веществом в рамках квантовой теории. Дирак стал первым ученым, сумевшим логично соединить релятивистскую теорию с квантовой моделью. Постулирование неинерциальных систем отсчетов привело Эйнштейна к разработке общей теории относительности, он опубликовал ее в 1916 году.

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КВАНТОВОМ МИРЕ

Время, в которое происходит какое-либо событие, так же как и длина предмета, зависят от инерциальной системы отсчета, в которой они измеряются. В свете теории относительности эти эффекты выражаются следующими уравнениями:

Δt = γΔt_0; L = L_0/γ

где Δt_0 и L_0 означают измеряемые время и длину в движущейся системе отсчета, а Δt и L показатели, измеряемые в неподвижной системе. Член уравнений у, называемый «фактором Лоренца», выражается так:

γ = 1/(√(1-(v/c)2)

В обычной жизни скорость предметов (V) слишком мала по отношению к скорости света (с). В этой ситуации фактор Лоренца практически равен 1. Таким образом, нет никакой разницы между длиной или временным интервалом, измеряемыми разными наблюдателями. Принципиально иная ситуация наблюдается в субатомном мире, где скорости сопоставимы со скоростью света. Фактор у там значительно больше 1, что влечет за собой растяжение времени (Δt > Δt_0 и сокращение длины (L < L_0). Данные эффекты хорошо заметны в случае мюонов. Эти элементарные частицы образуются, когда космические лучи (лучи из внешнего пространства) проникают в земную атмосферу. Как показано на схеме, мюоны появляются приблизительно на высоте 15 км от поверхности Земли. В среднем они распадаются за 2·10-6 секунд, если измерять время в их собственной системе. В механике Ньютона мюон, перемещаясь со скоростью, близкой к скорости света, мог пройти расстояние в 600-700 м до своего распада и, следовательно, никогда не мог достигнуть земной поверхности. Однако значительное количество мюонов достигало земли. Как такое возможно? Теория относительности объясняет данное явление. В инерциальной системе Земли средняя жизнь мюонов приблизительно в 20 раз дольше, чем в их собственной системе. Это означает, что мюон может преодолеть расстояние в 15 км (измеряемых в земной системе), совпадающее с толщиной атмосферы, через которую он должен пройти до своего распада на земной поверхности. Теория относительности предлагает похожее объяснение сокращения длины. В системе мюона в состоянии покоя толщина атмосферы значительно меньше, она уменьшается до 600-700 м (то самое расстояние, которое мюон проходит за свою среднюю жизнь, измеряемую в его собственной системе).

ПЕРВЫЕ ШАГИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Второй революцией в области физики, имевшей еще более серьезные последствия, нежели теория относительности, стало рождение квантового мира. Квантовая теория позволила объяснить поведение субатомного мира. Применение законов механики и электромагнетизма к таким системам было невозможно, все расчеты полностью опровергались результатами опытов.

ТРИ ПОРАЗИТЕЛЬНЫХ ОТКРЫТИЯ

В конце XIX века произошли три поразительных и неожиданных открытия; пришлось ждать многие годы, прежде чем удалось понять и объяснить их благодаря рождению и развитию квантовой теории. Эти открытия ознаменовали начало новой эры в физике, называемой с тех пор «современной физикой». Первым из них стало открытие в 1895 году икс-излучения немецким ученым Вильгельмом Рентгеном (1845-1923), которое было способно проходить сквозь предметы и позволяло получать изображение костей. Открытие вызвало большой энтузиазм, и Х-лучи стали использовать, не поняв их природы. В следующем 1896 году французский физик Анри Беккерель (1852-1908) случайно открыл новый тип излучения — радиоактивное излучение, понимание которого требовало глубоких знаний о внутренней структуре вещества. Наконец, в 1898 году британец Джозеф Джон Томсон (1856-1940) открыл электроны, носители электрического заряда и главные составляющие вещества. Три данных открытия, вместе с многолетними исследованиями Макса Планка (1858-1947) излучения черного тела, стали почвой, на которой взросла несколькими годами позже новая революционная квантовая теория.

Первая рентгенограмма, сделанная Рентгеном. Снимок руки его жены.

Годом рождения квантовой теории принято считать 1900 год: именно тогда Макс Планк опубликовал статью об излучении абсолютно черного тела. Классическая теория излучения не позволяла объяснить результаты экспериментов при высоких частотах. Планк смог дать приемлемое объяснение результатам опытов с помощью следующей гипотезы:

«Излучение испускается или поглощается целыми кратными числами некоторого ограниченного количества энергии — квантами».

Его объяснение, которое с трудом допускал и сам Планк, означало новый взгляд по сравнению с предшествующими теориями. Впервые допускалось, что излучение (или, другими словами, энергия) может просто периодически выпускаться или поглощаться. Несколько лет спустя, в 1905 году, Эйнштейн распространил гипотезу Планка на все виды энергии и все процессы вообще и смог объяснить фотоэлектрический эффект. Именно поэтому мы можем наблюдать высвобождение электронов, когда воздействуем излучением на определенные вещества. Это испускание (или отсутствие) зависит, однако, не от интенсивности применяемого излучения, как в классической теории, но от его частоты. Согласно гипотезе Эйнштейна свет состоит из частиц определенной энергии, называемых «фотонами» (кванты Планка). Эйнштейн получил Нобелевскую премию в 1921 году за свои работы в этой области.

Несмотря на простое объяснение Эйнштейна, его гипотеза означала возврат к корпускулярной теории света. Казалось, это противоречит волновой теории, которая была широко распространена. Как объяснить интерференцию света с помощью корпускулярной теории? В то время в данном вопросе царила путаница, и в этом смысле понятно утверждение американского физика Роберта Э. Милликена (1868-1953) по поводу объяснения Эйнштейном фотоэлектрического эффекта:

«Я посвятил десять лет своей жизни проверке теории Эйнштейна. Вопреки моим ожиданиям, в 1915 году я вынужден был однозначно признать ее справедливость, хотя казалось, что она противоречит всем известным свойствам интерференции света».

Открытие электрона Томсоном в 1898 году сразу же вызвало следующий вопрос: из чего состоят атомы? Их нейтральность вынуждала предположить существование внутри каждого атома равного числа положительных частиц и электронов (с отрицательным зарядом), которые уравновешиваются. На вопрос о структуре атома смог ответить Эрнест Резерфорд (1871-1937) благодаря своим знаменитым опытам по рассеянию альфа-частиц, осуществленным в 1911-1912 годах. Эти опыты были основаны на радиоактивности, открытой Беккерелем.

Анализ результатов экспериментов приводил к очевидному, но поразительному выводу: практически вся масса атомов сосредоточена в центре, и размер этого пространства в 10^5 раз меньше размера самого атома. Так родилось понятие атомного ядра, содержащего все положительные заряды (протоны), уравновешивающие отрицательный заряд электронов. Сами же электроны находятся на орбите вокруг атомного ядра. Однако такая «планетарная» модель представляла одну важную проблему: она не позволяла объяснить стабильность атомов. Каждая заряженная частица в круговом движении испускает энергию. Следовательно, электроны на орбите должны были бы постепенно приближаться к ядру и в итоге исчезать. Но в природе этого не происходило.

Датский физик Нильс Бор (1885-1962) предложил первое решение этой проблемы, разработав квантовую модель атома. Она опиралась на два следующих постулата.

1. Электрон находится только на «стационарных» орбитах, каждой из которых соответствует определенная энергия и на которых он не излучает электромагнитных волн.

2. Энергия, выделяемая при переходе с одной стационарной орбиты на другую, определяется формулой = где А — постоянная Планка, выведенная в 1900 году, а V — частота излучения.

Первый постулат позволял объяснить стабильность атомов, второй объяснял фотоэлектрический эффект. Модель Бора, приложенная к самому простому атому (водорода), смогла объяснить и прекрасно воспроизвести его энергетический спектр. Кстати, она представляла собой первое применение только что появившейся квантовой теории к структуре вещества. Эту модель ждал бесспорный успех, несмотря на значительные лакуны, содержавшиеся в ней. Работы Бора ознаменовали первый этап квантовой теории. Его постулаты были основополагающими, ибо позволяли объяснить некоторые явления атомного мира. Однако многие результаты опытов в то время оставались необъяснимыми, и ни модель Бора, ни изменения, которые внес в нее немецкий физик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951), не позволяли найти ответы на многие вопросы. Физика зашла в тупик, нужны были молодые и блестящие ученые, которые осмелились бы предложить новое видение природного мира, совершенно иное и даже противоречившее здравому смыслу.

УНИВЕРСИТЕТ БРИСТОЛЯ

Поль Дирак начал обучение инженерному делу в университете Бристоля. Казалось, склонность к математике явно указывала на то, что именно с математикой и связана его судьба, однако нехватка инициативы и особенно давление отца заставили его последовать по пути старшего брата. Три года обучения на инженерном факультете университета были сконцентрированы главным образом на изучении прикладных дисциплин: анализ вещества, токи, электрические устройства, электромагнитные волны и так далее. Эти предметы позволили Дираку получить глубокие знания в области математики и естественных наук, однако программа инженерного факультета не предусматривала изучение новых теорий физики (теории относительности или только что появившейся квантовой теории).

В 1919 году, когда Дирак был на втором курсе обучения, одно событие оказало сильное влияние на его дальнейшую карьеру. Некоторые газеты опубликовали 7 ноября результаты, полученные британской научной экспедицией под руководством астрономов Фрэнка У. Дайсона и Артура С. Эддингтона в Бразилии и на африканском острове Принсипи. Во время солнечного затмения ученые специально исследовали положение на небе одной звезды. Анализируя полученные результаты, они обнаружили, что те не соответствуют законам механики Ньютона, но прекрасно вписываются в общую теорию относительности Эйнштейна, согласно которой свет, излучаемый звездой, должен отклоняться из-за гравитационного поля Солнца таким образом, чтобы казалось, будто звезда смещена.

Новость быстро распространилась, превратив автора теории относительности Альберта Эйнштейна в настоящую знаменитость. Все заговорили о научной революции. Но в чем она на самом деле состояла? Мало кто мог ответить на данный вопрос — и Дирак не больше, чем все остальные. Однако молодой человек с самого начала был очарован теорией относительности. С тех пор он начал мечтать о том, чтобы изучить и понять ее. Это было непросто. В то время мало кто действительно знал теорию относительности, ей было посвящено не так много научных текстов. Прошел не один месяц, прежде чем Дирак вновь близко соприкоснулся с данной теорией.

Во время учебного года (1920-1921) Дирак слушал курс философа Чарли Данбара Броуда, преподававшего в то время в университете Бристоля, об общей и специальной теории относительности. В курсе рассматривались главным образом философские аспекты теории, а не математические описания, как предпочел бы Поль; однако эта теория быстро стала настоящей страстью Дирака. В последующие месяцы будущий физик внимательно изучил книгу, опубликованную в том же году Эддингтоном под названием «Пространство, время и тяготение». Год за годом Дирак все глубже погружался в теорию и осваивал ее. Теория относительности не шла у него из головы: она оказала влияние на всю его научную карьеру и присутствует во всех его трудах.

Дирак получил диплом инженера в области электричества в 1921 году с наивысшими баллами по теоретическим предметам. Зато его оценки по прикладным дисциплинам были далеко не столь хороши. Поль получил самый низкий балл за практику, которую он проходил на заводе города Рагби летом 1920 года.

ОТКРЫТИЯ ГАМИЛЬТОНА

Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865), ирландский математик, физик и астроном, переформулировал уравнения механики Ньютона, основываясь на вариационном исчислении и принципе наименьшего действия: в любом природном явлении количество «действия» тяготеет к минимальному; другими словами, предмет перемещается из одной точки в другую по траектории, при которой действие принимает стационарное значение. Действие определяется через «плотность лагранжиана», заданного разницей между кинетической и потенциальной энергиями наблюдаемой системы. Гамильтонова механика стала полезным инструментом для изучения уравнений движения и оказалась востребована при анализе квантовых систем.

Кватернионы

Гамильтон придумал также кватернион — состоящую из четырех элементов систему чисел, выражаемую в виде q = a + bi + cj + dk. Прогуливаясь по Королевскому каналу в Дублине 16 октября 1846 года, Гамильтон обнаружил основополагающее отношение, позволяющее определить правило умножения кватернионов: i^2 = j2 = k^2 = jk = -1. Умножение кватернионов не коммутативно; иначе говоря, результат зависит от порядка факторов. Гамильтон был убежден в важности кватернионов как базовых инструментов и для физики, и для математики, и потому посвятил свою карьеру практически исключительно применению кватернионов в динамике, оптике и астрономии. Они были забыты вместе с развитием векторного анализа. Формулировка квантовой механики Гейзенбергом с помощью некоммутирующих операторов, казалось, была напрямую связана с кватернионами; и тем не менее почти во всех исследованиях использовался язык матрицы (на самом деле эти системы эквивалентны). Дирак создал свою релятивистскую теорию электрона, ни разу не упомянув о кватернионе, хотя прекрасно знал о его существовании уже со времен учебы в университете Бристоля. Однажды один из студентов спросил его: «Профессор Дирак, Вы думали использовать кватернион, когда работали над релятивистской теорией электрона?» Несколько бесконечных секунд, казалось, Дирак был погружен в воспоминания и, наконец, ответил: «Нет». Разговор был закончен. Очень по-дираковски.

Брат Дирака жил в этом городе и работал на заводе. Некоторые его коллеги подчеркивали, что после данного инцидента отношения между двумя братьями сильно испортились.

Глубокий экономический кризис, поразивший Великобританию после Первой мировой войны, не позволил Полю Дираку найти работу по специальности. В сентябре 1921 года он приступил к изучению математики в университете Бристоля. Следующие два года, до лета 1923-го, Дирак посвятил себя исключительно наукам, в частности математике и физике. Врожденный талант и страсть к работе позволили ему закончить обучение за два года. Он получил возможность осуществить свое желание и изучить начертательную геометрию, а также механику Ньютона и электромагнетизм Максвелла. Также Поль изучил новую формулировку классической механики Уильяма Р. Гамильтона. Гамильтонова механика стала для Дирака основой при создании квантовой механики. Он также прослушал немало курсов о теории относительности и атомной теории.

Летом 1923 года Поль закончил обучение в университете Бристоля и получил стипендию, позволившую ему поступить в Кембриджский университет. Так начался новый этап в его жизни — как в личной (он впервые покидал родной дом и выходил из-под влияния отца), так и в профессиональной, поскольку Дирак обратился к карьере исследователя.

УНИВЕРСИТЕТ КЕМБРИДЖА

Узнав о своем принятии в Кембридж, Дирак сразу же попросил о работе под руководством профессора Эбенезера Каннингема (1881-1977), специалиста в области электромагнетизма и теории относительности. Поль вынашивал мысль развить теорию Эйнштейна. Однако Каннингем в тот год не брал студентов, и ему был назначен другой руководитель, профессор Ральф Фаулер (1889-1944). Это непредвиденное обстоятельство оказало серьезное влияние на жизнь Дирака и на развитие физики того времени. Каннингем был профессором старой школы, а Фаулер, зять Резерфорда, являлся основным представителем теоретической физики в Кембридже. Кроме того, он был единственным, кто поддерживал регулярные контакты с главными немецкими и датскими исследовательскими центрами, в частности с Нильсом Бором, который активно работал над развитием квантовой теории.

В отличие от Бристоля, у Кембриджа были серьезные научные традиции, университет являлся важным центром науки, в нем работали уважаемые исследователи и профессора, такие как Лармор, Томсон, Резерфорд, Эддингтон и Фаулер. Кроме того, теперь Дирак получил возможность общения с молодыми студентами (спустя несколько лет они стали знаменитостями): Чедвик, Блэкетт, Хартри, Капица, Леннард, Джонс, Томас, Слейтер, Леметр... В то время университет Кембриджа был эпицентром науки. В нем существовало множество клубов, и в каждом из них кипела научная деятельность: организовывались собрания, где обсуждались последние открытия, приглашались блестящие ученые для чтения лекций, посещались лаборатории, в которых проводились важные опыты. Дирак являлся завсегдатаем двух подобных клубов. Первый назывался

и был посвящен вопросам математической физики; второй основал молодой советский физик Петр Капица (1894— 1984), ученик Резерфорда. Позже Капица стал одним из самых близких Дираку людей и одним из очень немногих его друзей.

Профессора Фаулера в Кембридже не очень ценили в качестве научного руководителя; он много разъезжал, и студенты жаловались на то, что работать с ним трудно. Для Дирака же такой проблемы не существовало, поскольку он давно воспитал в себе привычку работать в одиночестве. Поль с самого начала оценил предоставленную ему автономность в изучении вопросов, которые он сам ставил перед собой. Дирак редко беседовал с Фаулером по поводу своих работ, зато часто обращался к нему, стремясь уведомить об их окончании.

Как бы то ни было, но под руководством Фаулера Дирак начал погружаться в новую квантовую теорию, о которой до сих пор имел лишь поверхностное представление. Он изучал атомные модели, разработанные несколькими годами ранее Бором и Резерфордом. Параллельно молодой человек продолжал углублять собственные знания математики с помощью «Аналитической динамики» Эдмунда Т. Уиттекера (1873-1956), ставшей для него одной из главных книг. В первые годы в Кембридже Дирак посещал также занятия Эддингтона по общей теории относительности и тензорному исчислению и курс Каннингема по электромагнетизму и специальной теории относительности. Даже если изначально исследования Поля были связаны с областью квантовой теории, очарование теории относительности не оставляло его.

Плодотворная научная среда Кембриджа и участие в разных видах деятельности помогли Дираку стать немного менее замкнутым, несмотря на то что он оставался закрытым человеком и поддерживал отношения лишь с немногими из студентов. Томас, один из его товарищей по Кембриджу, описывал Дирака следующим образом:

«Это был неразговорчивый человек. Когда его спрашивали о чем- то, он мог ответить: «О, это очень сложно», а через неделю появлялся с проработанным ответом».

Жизнь Дирака заключалась в работе и исследованиях. Большинство времени, с понедельника по субботу, он проводил в библиотеке, а по воскресеньям совершал длинные прогулки за городом, как всегда в одиночестве, чтобы, по его собственным словам, набраться сил перед новой рабочей неделей. Именно во время таких воскресных прогулок ученого посетили некоторые из самых блестящих его идей.

Усилия Дирака быстро начали приносить плоды. Через шесть месяцев после поступления в Кембридж он опубликовал свою первую статью в журнале «Записки Кембриджского философского общества» (Proceedings of the Cambridge Philosophical Society). В последующие два года также появилось шесть его статей на различные темы.

Я брал общую проблему, которую физика формулировала в нерелятивистской форме, и старался переформулировать ее согласно принципам теории относительности. Это напоминало игру. Иногда результат казался достаточно интересным для публикации.

Поль Дирак

Международное значение его статей было достаточно ограниченным, однако имя Дирака начало распространяться внутри сообщества британских ученых в области теоретической физики. В те же годы Дирак выработал свой стиль работы, которому следовал всю жизнь. Его статьи, созданные большей частью без соавторов и подписанные только его именем, характеризуются краткостью и прямотой изложения, концептуальной ясностью и логичностью. Дирак однажды сказал, что он всегда начинал писать только в том случае, когда в его голове складывалась общая и полная схема всей работы.

Такой системный подход, сильно отличавшийся от используемого другими великими учеными того времени, объясняет, почему Дирак практически никогда не правил свои труды.

Русский физик Игорь Тамм (1895-1971), один из самых близких коллег Поля, вспоминал о разговоре, состоявшемся после прочтения Нильсом Бором черновика одной из статей Дирака.

Датский физик спросил его: «Почему ты исправил лишь несколько мелких ошибок и ничего не добавил в текст? Ты написал его давно — неужели с того времени у тебя не появилось новых идей?» На что Дирак просто ответил: «Мать всегда говорила мне: сначала думай, а потом пиши».

За первые два года в Кембридже Дирак превратился в многообещающего ученого, демонстрирующего блестящие способности к решению проблем физики. Тем временем квантовая теория зашла в тупик. Модель Бора и Зоммерфельда давала результаты, релевантные только для атома водорода, и не могла объяснить результатов многочисленных опытов, полученных в то время. Кроме того, видимое несоответствие заключалось в корпускулярном поведении света, которое позволяло объяснить фотоэлектрический эффект, и его волновом поведении, необходимом для объяснения явления интерференции. Как объединить их? Французский физик Луи де Бройль (1892— 1987) предложил революционное объяснение:

«Подобно тому как фотоны обладают волновыми и корпускулярными свойствами, так, возможно, и любые частицы материи обладают этими характеристиками».

Это свойство вещества известно под названием «корпускулярно-волнового дуализма»; оно означает, что оба поведения не исключают, а дополняют друг друга. Согласно гипотезе Луи де Бройля, такие частицы, как электрон, обладают обоими свойствами: волновым и корпускулярным. Интерференционный спектр, рассматривавшийся только как волновой эффект, должен был также присутствовать и в случае с электроном. Правда, прошли многие годы, прежде чем результаты опытов подтвердили это. Квантовая теория и физика вообще были на пороге самой большой революции в их истории, которая влекла за собой философские идеи, с трудом воспринимаемые в то время.

Для Дирака 1925 год стал особенным. Родилась новая квантовая теория, и весь свой творческий гений и внимание он посвятил ее основополагающим проблемам. В том же году в семье ученого случилась страшная трагедия: его старший брат покончил с собой.

ГЛАВА 2

Квантовая механика

Начиная с 1925 года квантовая механика со своими особенными и такими далекими от классической физики понятиями начала выстраиваться в последовательную теорию, позволяющую объяснить самые разные явления атомного мира. Дирак стал одним из ее творцов. С помощью нового и оригинального подхода он попытался создать солидную математическую основу для этой теории.

В мае 1925 года Нильс Бор посетил Кембридж, где провел большое количество семинаров по вопросам, связанным с квантовой теорией. Датский ученый был в то время самой важной фигурой в этой области физики; он являлся неиссякаемым источником идей и вдохновения для молодых исследователей, занимающихся данной темой. Бор напомнил о проблемах, поставленных квантовой теорией, и о своей неспособности их решить. Он также поделился своей глубокой неудовлетворенностью тем, что приходилось рассматривать свет в одних случаях как нечто, состоящее из частиц, а в других — как волновое явление. Бор был убежден в необходимости совершенно иного подхода, найти который, по его мнению, могли только молодые и блестящие умы.

На Дирака, присутствовавшего на семинарах, личность датского ученого произвела большое впечатление, равно как и сила и убедительность его размышлений — настоящий поток идей, порой довольно трудно усваиваемый. Но Дирак критически относился к тому, как Бор занимался физикой. Его никогда особо не привлекал принцип соответствия датского ученого, поскольку он не был выражен ясным образом в математических формулах. Дирак выказывал некоторую сдержанность в отношении аргументов Бора, утверждая, что они слишком сконцентрированы на размышлениях философского характера и им не хватает солидной математической основы.

Спустя два месяца, в конце июля 1925 года, молодой немецкий физик Вернер Гейзенберг, который был старше Дирака всего на восемь месяцев, приехал в Кембридж, где провел семинар по атомной спектроскопии в рамках квантовой теории того времени (теории Бора — Зоммерфельда). В Кембридже никто не знал, что Гейзенберг предложил новую формулировку квантовой теории. Его работу еще не опубликовали, и немецкий физик никому не рассказал о ней, за исключением Фаулера в частной беседе. Фаулер попросил его прислать экземпляр статьи сразу же после публикации и, как только получил его, в конце августа, сразу же переслал Дираку с запиской: «Что ты думаешь по этому поводу? Жду твоих комментариев».

Хотя Бор произвел на меня огромное впечатление, его аргументы носили качественный характер. Я же искал аргументов, которые могли быть выражены в виде уравнения. Работа Бора редко выражалась подобным образом.

Поль Дирак

С того момента в физике случился невероятный поворот — и в научной жизни Дирака тоже, поскольку он наконец получил возможность сконцентрироваться на «основополагающих» проблемах. Среди молодых и самых блестящих физиков началось настоящее соревнование за выстраивание нового видения природы, которое объяснило бы поведение микроскопического мира и для которого интуиция больше не являлась хорошим советником. В результате такого соревнования разные группы и исследователи получили независимо друг от друга одинаковые результаты — позже или раньше всего на несколько месяцев или даже на несколько недель.

Между 1925 и 1927 годами в трех странах появились три разные по виду формулировки новой квантовой теории: в Геттингене (Германия) Гейзенберг, Борн и Йордан разработали «матричную механику», в Цюрихе (Швейцария) Шрёдингер создал «волновую механику», а в Кембридже (Англия) Дирак представил собственное видение новой теории. Упомянутых физиков, а также Паули, можно считать основателями квантовой механики. Другие ученые тоже работали в данной области и внесли вклад в ее развитие; но эти шестеро первыми заложили фундамент нового научного здания.

ГЕЙЗЕНБЕРГ: РОЖДЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Сначала Поль Дирак не смог осознать истинное значение статьи Гейзенберга. Напротив, она показалась ему преувеличенно сложной и несколько искусственной. Только углубившись в детали, он понял смысл революционного изменения, предложенного немецким физиком. Дирак начал усиленно изучать работу Гейзенберга, пытаясь понять ее и одновременно улучшить и превзойти.

Предложенная Гейзенбергом новая теория на самом деле противоречила принципу относительности, поэтому главной целью Дирака стало расширить данную теорию и снять это противоречие. Подобное намерение было исключительно амбициозным для того времени, даже для самого Дирака. Скоро ему пришла в голову главная идея, позволившая переформулировать теорию Гейзенберга. Она была связана с одним из аспектов теории, который сам немецкий физик считал достаточно спорным: некоммутативность переменных.

В чем заключалась новая теория, предложенная Гейзенбергом? Что сразу же сделало ее столь революционной? Косвенно ответ на данный вопрос давался во вступлении к статье:

«[Речь идет о том, чтобы] заложить основы квантовой механики, основываясь исключительно на соотношениях между величинами, которые являются, в принципе, наблюдаемыми».

В классической теории понятие траектории частицы четко задано, и траектория даже может быть определена. Модель атома Бора состоит из электронов, движущихся вокруг ядра по определенным траекториям — орбитам электрона.

ГЕЙЗЕНБЕРГ И ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В 1925 году Вернер Гейзенберг (1901-1976) опубликовал основополагающую статью, которая ознаменовала рождение квантовой механики.

Затем с Максом Борном и Паскуалем Йорданом он разработал матричную квантовую механику. В 1927 году Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, который выражается формулой

Δκ - Δρ ≥ ђ/2.

В квантовой механике этот принцип устанавливает предел точности, с которой может быть измерена пара величин, например местоположение и импульс. Принцип неопределенности, лежащий в основе «копенгагенской интерпретации» квантовой теории, является одним из основополагающих принципов современной физики. Он косвенно заключает в себе объяснение взаимодействия частиц. Принцип Гейзенберга не является ограничением, связанным с погрешностью измерений; наоборот, он — важнейшее следствие квантовой теории. Даже в случае идеального опыта принцип неопределенности все равно будет действовать.

Гейзенберг получил Нобелевскую премию в 1932 году за «создание квантовой механики». Немецкий физик также работал над квантовой теорией излучения и первым ввел понятие «изоспина» в ядерном взаимодействии. Несмотря на трудности, с которыми он столкнулся в период фашизма, Гейзенберг решил остаться в Германии во время Второй мировой войны и был вынужден участвовать в немецкой ядерной программе. Это был самый противоречивый период его жизни. В последующие годы он сконцентрировал усилия на развитии науки в Германии, участвуя в конференциях и публикуя научные труды. Как и Эйнштейн, и другие физики после него, Гейзенберг посвятил последние годы поиску единой формулы, описывающей фундаментальные взаимодействия.

Идея Гейзенберга заключалась в радикальном изменении модели Бора. Он полагал, что местоположение, скорость и траектория не являются напрямую измеряемыми величинами, и следовательно, их нужно заменить на другие, имеющие более удовлетворительную квантовую интерпретацию — такие, например, как энергетические уровни и амплитуда перехода. С помощью этой основополагающей идеи Гейзенберг рассмотрел простую ситуацию с одномерным гармоническим осциллятором, которым являются, например, маятник или груз на пружине, и доказал, что описание динамических свойств (таких как положение или скорость частицы) требует введения операторов, зависящих от целых чисел (квантовых чисел), связанных с переходом от одного определенного квантового состояния к другому определенному квантовому состоянию.

Из этой зависимости от двух показателей следовало, что изначальные величины можно представить в виде строгой таблицы чисел, составленной из строк и столбцов. Такая конфигурация устанавливала более чем странное свойство: результат не обладал свойствами коммутативного умножения. Другими словами, итоговый результат зависел от порядка сомножителей. Сначала Гейзенберг посчитал данный результат ошибкой, недостатком теории, который следует устранить. И все же он рискнул послать статью своему научному руководителю, Максу Борну, который немедленно решил опубликовать ее.

НА СЦЕНУ ВЫХОДИТ ДИРАК

То, что Гейзенберг считал слабым местом новой теории, Дираку казалось наиболее важной ее идеей. Он детально изучил классическую механику и формализм Гамильтона и прекрасно знал о существовании переменных и величин, которые не обладают свойствами коммутативного умножения. Но можно ли было провести аналогию между новыми квантовыми величинами Гейзенберга и переменными классической теории? Ответ на данный вопрос пришел Дираку внезапно, когда он вспомнил о «скобках Пуассона». Позднее он рассказывал:

«Это произошло во время одной из моих воскресных загородных прогулок в октябре 1925 года. Я не мог выкинуть из головы комбинацию квантовых переменныхху — ухи внезапно вспомнил о конструкции, называемой «скобками Пуассона», которую достаточно часто использовала классическая механика. Вернувшись домой, я перечитал все свои записи и имевшиеся книги, чтобы разрешить собственные сомнения, но все было напрасно. Ночью я практически не сомкнул глаз. На следующий день с самого раннего утра я отправился в библиотеку и там нашел то, что искал, — в «Аналитической динамике» Уиттекера, которую я детально изучал в прошлом».

После нескольких недель упорной работы Дирак вывел искомое соотношение:

xy - yx = ih/2π [x,y].

Это уравнение напрямую связывало квантовые величины, или операторы Гейзенберга, с классическими переменными, введенными благодаря скобкам Пуассона, [х, у]. В уравнении использовалась постоянная Планка h, коэффициент 2π и мнимая единица i = √-1. Уравнение можно было записать с помощью «редуцированной постоянной Планка», равной

ħ = h/2π

Данное понятие было введено Дираком в 1930 году.

Несмотря на проявленную ученым сдержанность в отношении принципа соответствия Бора, этот самый принцип представал здесь как основа теории. Соответствие между квантовыми переменными и классическими, а также Гамильтонов формализм быстро привели Дирака к его новой теории. Все обретало смысл, а результаты и основополагающие принципы, такие как принцип сохранения энергии и правило частот Бора, находили естественное объяснение.

Дирак закончил статью «Основные уравнения квантовой механики» в ноябре 1925 года и отправил ее Фаулеру, который тут же осознал важность и глубину работы своего студента.

СКОБКИ ПУАССОНА

Скобки Пуассона были введены в 1809 году французским физиком и математиком Симеоном Дени Пуассоном (1781-1840). Они представляют собой очень полезное понятие в аналитической механике: с их помощью можно вывести основные уравнения движения. Общее определение этого понятия следующее.

Возьмем две произвольные функции F и G, зависящие от обобщенных пространственных и временных координат: qj, рj. Скобки Пуассона определяются через

[F,G] = ∑(∂F/∂qj ∂G/∂pj - ∂F/∂pj ∂G/∂qj).

Отношение между классическими переменными задано: [qi,qj]=[pi,pj=0; [qi, pj] = δij, где δij является функцией дельты Кронекера, то есть δij = 0 для i ≠ j и δij =1 для i = j. В особых случаях функции Гамильтона (гамильтониан) H (qj,pj,t), то есть функции, определяющей энергию системы, скобки Пуассона позволяют получить следующие основные уравнения движения:

dqj/dt = [qj,H]; dpj/dt = [pj,H];

dF/dt = [F,H] + ∂F/∂t.

Методом Пуассона можно идентифицировать постоянные системы, то есть величины, которые сохранились. Любая функция, где скобки Пуассона с гамильтонианом равны нулю, соответствует постоянной движения. Соответственно, скобки Пуассона любой постоянной движения с гамильтонианом должны быть равны нулю.

Не прошло и трех недель, как она была опубликована в журнале Proceedings of the Royal Society. В то время имя Дирака было совершенно неизвестно международному научному сообществу, при этом его статья наделала много шума среди ведущих ученых в области квантовой физики. Бор выразил свое изумление «восхитительной работой» молодого неизвестного физика. А Гейзенберг, едва получив рукопись, отправил Дираку письмо с поздравлениями.

Несомненно, Дирак сделал огромный шаг вперед в своей научной карьере, расположившись в авангарде новой квантовой теории и войдя в небольшую группу ее создателей. В то время физики яростно соревновались за право считаться создателями основ новой теории, и неудивительно, что некоторые испытали разочарование после появления статьи Дирака. В связи с этим можно оценить тактичность, с которой после поздравлений Гейзенберг написал Дираку следующее:

«Надеюсь, Вы не будете огорчены, узнав, что существенная часть Вашей работы уже была проделана ранее и опубликована Борном и Йорданом. Это никоим образом не умаляет заслуг Вашей статьи; ее формулировки в некотором смысле превосходят полученные здесь».

На самом деле Борн, Йордан и Гейзенберг сформулировали то, что называется «матричным формализмом» квантовой механики. Благодаря работам, законченным незадолго до Дирака, они получили одинаковые с ним результаты без использования скобок Пуассона.

Дирака вовсе не разочаровал тот факт, что не он первым открыл основные уравнения квантовой механики (кстати, это был не последний раз, когда его обошли). Напротив, его уверенность в том, что его теория верна и корректна, а в некоторых аспектах и превосходит формулировку, выработанную немецкими коллегами, только возросла. Дирак последовал совету американского физика Джона X. Ван Флека («Я бы хотел увидеть, сможет ли одна из развившихся теорий воспроизвести энергетические уровни старой модели Бора для атома водорода») и решил проверить, может ли его модель воспроизводить энергетические уровни. Похожий результат был получен несколькими месяцами ранее Паули.

МАКС БОРН И ПАСКУАЛЬ ЙОРДАН

Борн и Йордан вместе с Гейзенбергом создали матричный формализм квантовой механики. Макс Борн (1882-1970) работал в разных центрах (Кембридж, Берлин, Франкфурт) и сотрудничал с блестящими физиками и математиками того времени: Томсоном, Лармором, Минковским, Планком и Штерном. В 1921 году он стал профессором физики университета Геттингена (Германия), где преподавал в течение следующих 12 лет. Это был наиболее плодотворный период его научной деятельности, в течение которого Борн превратил университет Геттингена в главный центр исследования квантовой теории. Его учениками и ассистентами были Гейзенберг, Паули, Йордан, Оппенгеймер, Ферми, Теллер, Вигнер и Вайскопф. Семеро его студентов получили Нобелевскую премию. Паскуаль Йордан (1902-1980) начал свое образование в техническом университете Ганновера, сменив его в 1923 году на университет Геттингена. Он стал первым ассистентом математика Рихарда Куранта, а затем Борна, под руководством которого и написал диссертацию.

Макс Борн.

Математическое основание квантовой механики

В кильватере первопроходческой работы Гейзенберга 1925 года Борн и Йордан (потом совместно с Гейзенбергом) разработали общую формулировку квантовой механики благодаря использованию матричного исчисления. В 1926 году Борн ввел вероятностную интерпретацию волновой функции, придав ей физическое значение. Этот вывод, вызвавший бесконечные споры об основах квантовой механики, лежит в основе «копенгагенской интерпретации». В 1933 году Борн переехал в Великобританию, где в 1936 году стал профессором университета Эдинбурга. В 1954 году он получил Нобелевскую премию по физике. Йордан со своей стороны работал над созданием солидной математической основы квантовой теории и вместе с Дираком сформулировал новаторские идеи в области квантовой теории поля. В 1933 году он вступил в партию нацистов, в результате чего Нобелевскую премию ему не присудили. В последние годы научная деятельность Йордана была связана главным образом с исследованиями в области геологии и биологии.

АЛГЕБРА КВАНТОВЫХ ЧИСЕЛ

Дирак разработал формализм квантовой механики независимо от своих коллег в университете Геттингена и ввел понятие «q-чисел» для квантовых переменных. Он также четко разграничил q-числа, в которых буква «q» отсылает к quantum (квантовый) или к queer (странный, причудливый), и с-числа, в которых буква «с» означает classics (классический) или commuting (коммутативный). Так он четко отделил квантовый мир от классического. Хотя Дирак был убежден в превосходстве своей версии квантовой теории над матричной механикой Гейзенберга, Борна и Йордана, он быстро осознал, что на самом деле оба подхода равносильны:

«Мне понадобилось время, чтобы убедиться: мои q-числа на самом деле не являются более общими, чем матрицы, и обладают теми же недостатками, что и математически доказанные недостатки матриц».

Летом 1926 года Дирак разработал новую версию своей квантовой теории, известной под названием «алгебры q-чисел». Представленная в виде чисто математической теории, без каких-либо отсылок к проблемам именно физики, данная работа не произвела особого впечатления на сообщество ученых-физиков. Только некоторые из них, интересовавшиеся исключительно математическими аспектами квантовой механики, такие как Йордан, проявили любопытство. Последний оценил теорию Дирака следующим образом: «Я нахожу публикацию Дирака крайне интересной. По моему мнению, математика столь же интересна, как и физика». Дирак ввел общее определение различения квантовых переменных (q-чисел) и из этой дифференциации вывел коммутативное соотношение между операторами положения (q), момента (р) и орбитального момента (L) — эти отношения уже были найдены в матричной механике Борна, Йордана и Гейзенберга. Данные результаты сегодня являются отправной точкой любой работы в области квантовой механики.

Таким образом, алгебра q-чисел появилась как альтернатива матричной механике. С момента публикации первой статьи Гейзенберга Дирак почти все свое время посвящал разработке собственной системы, стремясь показать, что его подход способен объяснить основные результаты, полученные в субатомном мире. Однако он занимался столь упорно, что не успевал обращать внимание на новые формулировки квантовой механики. Работы Дирака этого периода были приняты научным сообществом физиков с большим уважением, но произвели меньшее впечатление, нежели работы Гейзенберга, Борна и Йордана. Вникнуть в суть работы Дирака было нелегко, многим коллегам его стиль казался непонятным. Например, физик Джон Слейтер не скрывал своей неудовлетворенности:

«Существует два типа теоретических физиков. Первый объединяет таких людей, как я, — прозаичных и прагматичных, всегда пытающихся говорить и писать как можно яснее. Второй состоит из «волшебников», жестикулирующих так, словно сейчас достанут из шляпы кролика (как Дирак), и находящих удовлетворение только тогда, когда их тексты и объяснения выглядят глубоко таинственными ».

Начиная с весны 1926 года внимание всех, кто интересовался квантовой теорией, было приковано к университету Цюриха. Именно там практически никому не известный физик Эрвин Шрёдингер (1887-1961), до этого времени не принимавший никакого участия в разработке квантовой теории, предложил свой формализм квантовой механики. Большинству физиков того времени его описание показалось гораздо более понятным, нежели сложные матричные и алгебраические языки, использовавшиеся до тех пор.

ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ШРЁДИНГЕРА

Дирак, по всей видимости, впервые услышал о новой теории Шрёдингера тогда же, когда была опубликована его первая статья, — во время приезда Зоммерфельда в Кембридж в марте 1926 года. Но тогда он был слишком погружен в разработку собственного формализма квантовой теории, чтобы уделять достаточно внимания новым предлагаемым подходам. Кстати, Дирак не был впечатлен волновым уравнением Шрёдингера, которое поначалу счел обратной стороной теории Луи де Бройля, уже оставшейся в прошлом. Вот как Дирак писал об этом:

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

В теории Шрёдингера состояние квантовой системы определяется через сложную математическую функцию, называемую волновой функцией Ψ, которая зависит от времени и всех координат, определяющих наблюдаемую систему. Уравнение Шрёдингера представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка. Оно включает зависимость от времени, которая выглядит следующим образом:

Переменная Н является функцией Гамильтона, которая включает в себя всю информацию об общей энергии системы — кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия (связанная с движением) определяется дробью

где М является массой системы, а

— оператором Лапласа:

Наконец, величина V(ŕ,t) означает потенциальную энергию. Когда гамильтониан не зависит от времени, уравнение Шрёдингера может быть решено через определение того, что мы называем «стационарными состояниями». Независимое от времени уравнение Шрёдингера позволяет определить волновую функцию, зависящую от пространственных переменных:

В данном случае (то есть в стационарном состоянии) гамильтониан, действуя на волновую функцию, выражает общую энергию системы. Иначе говоря, энергия Е составляет собственную величину гамильтониана. Уравнение Шрёдингера несовместимо с теорией относительности. Мы увидим, что способ введения пространственно-временных переменных в уравнение разнится. Если время появляется как производная первого порядка, то пространственные координаты выражаются производными второго порядка. Этот аспект противоречит неотъемлемому принципу теории относительности — симметричному обращению с четырьмя составляющими (тремя пространственными составляющими и одной временной), которые образуют «четырехмерный вектор пространство — время».

«Сначала я испытал некоторую враждебность по отношению к теории Шрёдингера. Зачем надо было возвращаться к состоянию, предшествовавшему Гейзенбергу, если уже была квантовая механика? Меня глубоко беспокоил риск возврата назад и, возможно, забвения всего прогресса, осуществленного квантовой теорией. На протяжении некоторого времени я испытал настоящую враждебность по отношению к идеям Шрёдингера».

Доказательством полного отсутствия интереса к формализму Шрёдингера служит тот факт, что Дирак никак не упомянул о нем в диссертации, которую представил в мае 1926 года.

Несмотря на сдержанность Дирака, волновую механику ждал огромный успех, большинство физиков того времени были рады забыть сложный и непонятный язык матриц и q-чисел ради простоты дифференциального уравнения Шрёдингера. В серии статей, опубликованных весной-летом 1926 года, Шрёдингер сформулировал основы своей новой теории, учитывающей энергетические уровни атома водорода. У него вся информация о системе заключалась в «волновой функции» — сложной математической функции, значение которой тогда не было очевидным.

Язык Шрёдингера сильно отличается от языка, используемого Гейзенбергом, Борном и Йорданом, а также Дираком. Это расхождение в теориях, описывающих и объясняющих одни и те же природные явления, особенно трудно было принять Дираку, который всегда пытался найти последовательное и единое описание субатомного мира. Физическую интерпретацию волновой функции дал Борн летом 1926 года. Сегодня она известна как «вероятностная интерпретация». Согласно ей «плотность вероятности нахождения частицы характеризуется квадратом волновой функции». Что касается соотношения обеих теорий — волновой и матричной механики, — сам Шрёдингер доказал их математическую эквивалентность в третьей статье. Похоже, Паули доказал это немного раньше, хотя ничего на данную тему не опубликовал.

ДИРАК И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА

Доказательство математической эквивалентности волновой и матричной теории, или алгебры q-чисел, развеяло все сомнения, которые Дирак еще мог испытывать по поводу нового формализма. С тех пор ученый занял очень прагматичную позицию и признал, что некоторые проблемы значительно легче решаются с помощью волновой механики.

Так, очень скоро Дирак опубликовал новую статью под названием «О теории квантовой механики», в которой впервые использовал волновую теорию и применил ее к системам тождественных частиц.

Что такое «тождественные частицы» в квантовой теории и в чем именно состоит вклад Дирака? Чтобы ответить, нам надо ненадолго вернуться в предыдущий 1925 год и задаться другим вопросом: почему мы можем объединять химические элементы в определенные группы по их химическим свойствам? Паули объяснил, что химические свойства являются следствием того, каким образом электроны располагаются на соответствующих орбитах. Каждый электрон описывается серией квантовых чисел, характеризующих волновую функцию. Эти квантовые числа определяют энергию электрона, его орбитальный момент и новое свойство, которое пришлось ввести для объяснения результатов последних опытов, — «спин» (мы подробно рассмотрим его в следующей главе). Паули сформулировал следующий принцип:

«Два электрона не могут находиться в одном квантовом состоянии, то есть они не могут иметь одну и ту же совокупность квантовых чисел».

Данный принцип объяснил, почему атомные электроны располагаются на разных орбитах, занимая только те, которые свободны. На самом деле принцип Паули позволяет понять, почему вещество является таким, какое оно есть.

Другим важным свойством квантового мира является то, что мы не можем различить тождественные частицы. В классической физике положение частицы и ее состояние движения настолько прекрасно определяются, что даже при большом количестве частиц можно узнать, какое положение занимает каждая из них. Напротив, в квантовом мире положение четко определить невозможно и, соответственно, в случае с двумя электронами (назовем их a и b) и двумя квантовыми состояниями (m и n) невозможно узнать, в каком именно состоянии находится каждый электрон. На самом деле ситуация, соответствующая электрону a в состоянии m (обозначим ее am) и электрону b в состоянии n (bn)> имеет такую же вероятность, как и обратная комбинация, an,bm. Если использовать более техническую терминологию, обе комбинации представляют одно и то же квантовое состояние и таким образом должны быть пропорциональны, с коэффициентом пропорциональности +1 или -1. Добавим, что если мы поменяем два раза подряд положение двух электронов, то полученная комбинация должна быть тождественна изначальной комбинации.

Дирак заключил из этого, что наиболее общим описанием квантового состояния должна быть линейная комбинация двух возможностей: ambn ± anbm. Если мы рассмотрим знак «+» и поменяем состояния тип или электроны а и 6, то получим один и тот же результат. Данное свойство называется «симметричной комбинацией». Наоборот, знак «-» соответствует антисимметричной комбинации, в которой изменение состояний и электронов означает изменение знака.

Поведение двух решений, таким образом, очень разное. Какое решение соответствует принципу запрета Паули? Дирак заключил, что единственно возможным ответом является антисимметричная комбинация. В этом случае, если два электрона окажутся в одном состоянии (то есть если m = n), полученная комбинация тождественна нулю. Иначе говоря, такого состояния не существует.

Дирак распространил свое исследование на молекулы газа, ошибочно предположив, что их можно описать как электроны с антисимметричными волновыми функциями. С помощью статистических методов он в итоге получил энергетическое распределение молекул. Кроме того, он показал, что кванты света или фотоны могут быть описаны через симметричные комбинации. В отличие от электронов, принцип запрета Паули не применялся к излучению: фотоны собирались в группы и стремились принять одинаковое состояние. Описание этого типа частиц как симметричных комбинаций привело Дирака к «статистике Бозе — Эйнштейна», появившейся несколькими годами раньше.

ДИРАК И ЭФФЕКТ КОМПТОНА

В 1916 году Эйнштейн ввел понятие «кванта света», или «фотона», обладающего определенной энергией и моментом импульса. Опыт, который наиболее очевидно показал корпускулярную природу света, был осуществлен в 1923-1924 годах американским физиком Артуром X. Комптоном (1892-1962). Параллельно Луи де Бройль высказал идею о дуалистической природе (корпускулярно-волновой) излучения. Рассеивая лучи определенной частоты графитом, он заметил, что у излучения длина волны меняется в зависимости от угла рассеивания (как показано на рисунке). Его результат противоречил классической теории излучения. Комптон объяснил изменение длины волны рассеянного излучения, рассматривая процесс как упругое столкновение фотона (частицы) и электрона графита.

Анализ Дирака

Дирак знал об опыте Комптона и решил применить свою теорию к этому явлению. Ему удалось воспроизвести изменение длины волны рассеянного излучения; кроме того, ученый, рассчитав интенсивность данного излучения, обнаружил, что его результат слегка отличался от результата Комптона 1923 года. Его работа, опубликованная в конце апреля 1926 года, была восторженно встречена в сообществе физиков. Однако слишком лаконичный стиль письма Дирака, а также трудный математический язык сделали его труды практически не поддающимися расшифровке для большинства коллег. Дирак понял и указал: его вычисления различаются с данными Комптона, и из этой разницы «следует, что абсолютная величина показателей Комптона на самом деле примерно на 25% меньше». Почти сразу после публикации статьи Комптон сообщил в письме Дираку: новые опыты, осуществленные в университете Чикаго, полностью подтвердили его теорию.

СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА

Дирак опубликовал свою статью в августе 1926 года, вскоре после того, как Гейзенберг закончил похожее исследование атома гелия. Сразу же после выхода статьи Дирак получил письмо от итальянского физика Энрико Ферми, в котором были такие слова:

«В своей недавней работе Вы развили теорию идеального газа, основываясь на принципе запрета Паули. Я хотел бы привлечь Ваше внимание к похожей статье, которую я опубликовал в начале 1926 года».

Ситуация была достаточно неловкой для Дирака, который тут же извинился перед Ферми, признав, что видел его работу, но в то время не обратил на нее должного внимания:

«Когда я читал работу Ферми, я не смог оценить должным образом ее значение в связи с основными проблемами квантовой механики, которые меня интересовали. Во время написания собственной статьи об ассиметричных волновых функциях я просто забыл о его работе».

На рисунке изображено поведение бозонов (слева) и фермионов (справа). Все бозоны (целый спин) стремятся занять состояние минимальной энергии. Фермионы (полуцелый спин) подчиняются принципу запрета Паули и не могут занимать состояния, имеющие те же квантовые числа.

Снова другой физик опередил Дирака в решении научной проблемы. Однако, как и в прошлый раз, ученый не огорчился, а его работа, несмотря ни на что, была хорошо принята в научном сообществе. С тех пор статистика, применяемая к системам таких частиц, как электроны, называется «статистикой Ферми — Дирака». Позднее, в 1947 году, Дирак ввел понятия «фермионов» и «бозонов» для частиц, которые подчинялись правилам статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна (см. рисунок на предыдущей странице).

Хотя работа Дирака и была принята с большим интересом, кое-кто из физиков счел ее слишком сложной для понимания, как многие его прошлые и будущие статьи. Шрёдингер смиренно, но не без иронии заметил Бору:

«Я нашел работу Дирака очень важной, хотя многие места не понял. [...] У Дирака оригинальный и подходящий ему способ мыслить, который — по той же самой причине — наверняка приведет его к самым важным и неожиданным результатам, пусть даже они останутся непонятными для нас. Дирак не имеет представления о том, насколько сложно обыкновенным людям воспринимать его работы».

ПЕРВАЯ ПОЕЗДКА: КОПЕНГАГЕН

В сентябре 1926 года Дирак решил дополнить свое научное образование годовой стажировкой в университете Геттингена, где родилась квантовая механика. Однако, по совету Фаулера, он отправился сначала на пять месяцев в Копенгаген. В датской столице Дирак оказался рядом с самыми блестящими физиками того времени: Бором, Гейзенбергом, Клейном, Эренфестом, Паули и другими. Бор не сыграл решающей роли в развитии квантовой теории, но имел большое влияние в этой области физики. В Копенгагене его институт был одним из центров новой теории, местом встреч ученых, обсуждений и сотрудничества. Таким являлся метод работы Бора, заключавшийся в бесконечных дискуссиях и доказательствах, которые доводили до изнеможения его коллег — как случилось со Шрёдингером через несколько недель после приезда Дирака. Нет никаких сомнений в том, что новая рабочая обстановка, создающая контраст с жесткой системой Кембриджа, оказала влияние на Дирака. Несколькими годами позже он вспоминал:

«Бор, кажется, был самым глубоким мыслителем из всех, кого я когда-либо встречал. [...] В то время мы вместе осуществляли долгие прогулки и бесконечно разговаривали. Хотя я должен признать, что в основном говорил Бор».

Несмотря на живую атмосферу Копенгагена, Дирак не изменил своим привычкам. Он продолжал работать в одиночестве и держался в стороне от постоянных обсуждений, происходивших в институте. Его повседневная жизнь заключалась в работе с понедельника по субботу в библиотеке и привычных загородных прогулках по воскресеньям. Свидетельства студентов того времени хорошо описывают характер и рабочие привычки физика:

«Дирак всегда казался нам таинственным. Он часто сидел один в самом отдаленном углу библиотеки, в самой неудобной позе, полностью погруженный в свои мысли. [...] Он мог провести весь день в одной позе, за один присест написать целую статью, ни разу не оторвав глаз от своего документа».

Дирак с самого начала не выказывал особого желания к возможной совместной работе с коллегами, в частности с Бором. Если он участвовал в семинарах и конференциях, организованных в институте, то лишь в качестве простого слушателя. В то время оживленные дискуссии об основах квантовой механики и вытекавшие из них гносеологические споры не представляли большого значения в его глазах; математическая формулировка теории казалась Дираку более важной. Его подход к физике не мог быть еще более отличным от подхода Бора. Дирак считал, что Бор излишне озабочен размышлениями, которые невозможно было ясно сформулировать; он блуждал вокруг одного и того же вопроса и не приходил ни к какому выводу.

Портрет Поля Дирака (вверху) и Нильса Бора. Они много общались во время пребывания Дирака в Копенгагене.

Поль Дирак (слева) с физиками Вольфгангом Паули (в центре) и Рудольфом Пайерлсом в университете Бирмингема.

По мнению Дирака, математическая формулировка была единственным способом точно определить физические понятия.

Различие взглядов Бора и Дирака ясно демонстрирует один дошедший до нас анекдот. Завершив исследование, Бор имел привычку диктовать своим молодым помощникам полученные результаты, что было настоящим кошмаром, поскольку ученый бесконечно менял аргументы и никогда не был удовлетворен способом изложения. Вскоре после приезда в Копенгаген Дираку выпала «честь» помогать блестящему Бору в работе над его новой статьей. Через несколько минут после начала «диктовки» Дирак пришел к выводу, что у него есть более полезные занятия, нежели бесконечное переписывание одной и той же фразы в ожидании того, когда Бор решит, является ли формулировка достаточно точной. Единственное замечание, сделанное Дираком, было кратким и ясным: «В школе меня учили, что нельзя начинать фразу, если не знаешь, как ее закончить». Так он дал понять Бору, что тому нужно найти другого помощника.

ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Дирак оказался в Копенгагене во время разгара споров о вероятностной интерпретации волновой функции Шрёдингера. Месяцем раньше Борн разработал эту вероятностную интерпретацию, использовав квадрат значения волновой функции. Однако ее отвергли такие блестящие физики, как Эйнштейн и в том числе сам Шрёдингер. Зато вероятностная интерпретация была принята Бором и большинством его соратников. Хотя Шрёдингер доказал математическое соответствие волновой и матричной механики, значительная часть физиков полагала, что необходимо выработать единую схему, которая объединила бы различные формулировки квантовой механики, введя вероятностную интерпретацию волновой функции и ее соотношение с матричными операторами. Эта схема была разработана независимо друг от друга Дираком и Йорданом. Статья Дирака появилась в январе 1927 года под названием с Физическая интерпретация квантовой динамики». Она считается одной из самых важных и самых полных его работ. В частности, в статье была представлена самая строгая и самая общая математическая формулировка квантовой механики.

Дирак назвал ее «теорией преобразований». Ученый всегда испытывал некоторую гордость по поводу данной теории, которую он, по его собственным словам, шаг за шагом выстраивал, опираясь исключительно на логические рассуждения. «Эта работа доставила мне больше удовольствия, чем все другие, предыдущие или последующие»,— говорил Дирак. Коллеги признали общий и оригинальный характер его работы и были впечатлены неумолимостью его логики. Они увидели в ней «необычайный прорыв». Однако стиль Дирака остался неизменным, и такие крупные физики, как Оскар Клейн, не могли не заметить:

«Нам понадобилось некоторое время, чтобы понять его аргументы, поскольку на своих семинарах он тщательно писал на доске все формулы и рисовал графики, но практически не пояснял их. За ходом его рассуждений было действительно тяжело следить».

Матричная механика, или алгебра q-чисел, и волновая механика были очень разными теориями, которые описывали одни и те же природные явления. Требовалось соотнести их, чтобы показать, что они являются равнозначными. Дирак представил свою работу следующими словами:

«Вот общая схема, в ней сформулированы все вопросы, на которые квантовая теория может ответить однозначно. Она содержит всю физическую информацию, которую можно получить из квантовой динамики, и то, каким способом можно это осуществить».

Рассмотрим кратко некоторые основные аспекты новой теории Дирака. В рамках матричной механики Гейзенберга, Борна и Йордана утверждается использование канонических преобразований. «Каноническим преобразованием» называют любое преобразование, сохраняющее основные количественные отношения. Возьмем, например, случай с двумя квантовыми операторами, связанными с положением (q) и моментом (р), для которых qp -pq = iħI, где I является матрицей тождественного оператора. Каноническое преобразование заключается в определении оператора преобразования, который позволяет выстроить две новые динамические квантовые переменные (Р, Q), продолжающие соблюдать отношение квантования PQ - QP = iħI. Отношение между изначальными переменными и новыми выражается следующим образом:

Р=ТрТ-1, Q = TqT-1

где Т является оператором преобразования, а T-1 — его обратной величиной, то есть TT-1 = T-1T = I. Использование канонических преобразований подтверждается в процессе диагонализации гамильтониана, который позволяет определить энергии рассматриваемой системы.

Главной целью Дирака было определение «реального» значения оператора преобразования и его отношения к волновой функции Шрёдингера. Дирак заключил, что собственные функции волнового уравнения Шрёдингера соответствуют операторам преобразования, которые позволяют получить диагональный вид гамильтониана. Так физик соединил в одно целое формализм квантовых операторов Гейзенберга, Борна и Йордана и их правила квантования и формализм Шрёдингера с его дифференциальным уравнением и его волновой функцией. Теория преобразований вводила, кроме того, свойства и принципы, которые Дирак считал главными в любой квантовой теории. Эти свойства стали точкой отсчета значительной части его последующих работ.

Величие научной идеи зиждется на ее способности поощрять мысль и открывать новые направления для исследования.

Поль Дирак

В ходе разработки теории преобразований Дирак ввел новую важную переменную, которая со временем стала полезным инструментом развития современной физики, — функцию δ. Язык современной физики невозможно понять без ее использования. В наши дни любой текст по квантовой теории содержит специальные разделы, посвященные функции Дирака и ее главным свойствам, она участвует в решениях всех проблем, относящихся к субатомному миру. В статье «Физическая интерпретация квантовой динамики» Дирак писал о введении функции δ:

«Мы не можем двигаться вперед в развитии матричной теории с вереницей строк и столбцов, не введя для этого функцию с-числа, называемого х, которая равна нулю во всех точках — кроме точки, где x крайне мало, — и интеграл которой в любой окрестности x = 0 равен 1».

Дирак сформулировал свою функцию в следующем виде:

δ(x) = 0, если x ≠ 0;

+∞

∫δ(x)dx = 1,

-∞

и затем утверждал:

«Конечно, δ(x) не является собственно функцией числа х, но она может рассматриваться как предел последовательности ряда функций. Как бы там ни было, δ(x) может использоваться как собственно функция в практических целях разрешения любой проблемы квантовой теории, и полученные результаты никогда не будут ошибочными».

Работа Дирака в очередной раз показалась коллегам восхитительной, но он не первым пришел к подобному выводу. Йордан изучал ту же проблему и разработал собственную теорию преобразований. И если путь двух физиков был разным, выводы их совершенно совпадали. Через два месяца после публикации работ Дирака и Йордана Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, математическая формулировка которого основывалась большей частью на теории Дирака — Йордана. Дирак сформулировал в своей работе идею, близкую к принципу неопределенности Гейзенберга:

ФУНКЦИЯ δ ДИРАКА

Дирак не первым использовал функцию δ, но он обобщил ее применение, превратив ее в главный инструмент развития квантовой теории. Функция δ(x) не является математической функцией в обычном смысле слова, это не функция, которая имеет определенные значения в каждой своей точке. Напротив, она принимает значение 0 при всех значениях х, кроме точки, где х = 0 и где она превращается в бесконечность. Дирак называл ее «несвойственной функцией», чтобы отличить от обычных функций и показать, что ее использование должно ограничиваться определенным типом проблем, с которыми она совместима. Физик заметил, что его несвойственная функция при х=0 не имеет четко определяемого значения, поскольку она появляется как часть интегрирования, результат которого является прекрасно определяемой величиной. Строгий анализ функции δ(x) представлен в теории распределений, развитой в 1945 году математиком Лораном Шварцем (1915-2002). Поведение функции δ(χ) показано на рисунке 1, где видно, что она равна нулю на всем интервале величин х за исключением маленькой окрестности δ(χ) в самом начале. В представленном интервале максимум функции равен 1/ε. Следовательно, функция

РИС. 1

охватываемой окрестности равна 1. Функция δ(x) появляется как предел функции, представленной на рисунке, когда величина параметра ε стремится к 0 (ε → 0). Множество других функций могут образовывать функцию δ(x). Например, ширина знаменитой гауссовой функции, представленной на рисунке 2, определяется коэффициентом σ. Если величина этого параметра уменьшается, функция сужается все больше и больше, значительно увеличивая свое максимальное значение. Для предела, в котором ширина стремится к нулю, максимальная величина стремится к бесконечности. Математически это выражается следующим образом:

Самое важное свойство функции Дирака выражается через следующий результат:

+∞

∫f(x)δ(x-a) = f(a),

-∞

в котором f(x) соответствует любой продолжающейся функции и а — любому действительному числу. Так, умножая функцию х на δ(x - a) и особенно интегрируя x, мы возвращаемся к вычислению функции f в точке х = а. Интервал интегрирования необязательно должен расширяться от -∞ до +∞, но до любой окрестности, где находится критическая точка, в которой функция δ не обнуляется. Функция δ Дирака остается сегодня важным инструментом во всех областях физики.

РИС. 2

«В квантовой теории невозможно ответить ни на один вопрос, который отсылает к двум численным показателям двух квантовых переменных р и q (положение и начальный момент)».

ГЕТТИНГЕН И ЗАРОЖДЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

В начале февраля 1927 года Дирак отправился в Геттинген и провел там пять месяцев, оказавшись рядом с создателями матричной механики: Борном, Йорданом и Гейзенбергом. Университет Геттингена являлся одним из самых уважаемых исследовательских центров в мире: он был колыбелью новой квантовой теории и имел блестящие традиции в области математики. Гаусс, Риман, Дирихле, Клейн... Все они были профессорами университета Геттингена. В 1927 году в Геттингене находился и Давид Гильберт (1862-1943) — несомненно, самый влиятельный ученый-математик того времени. Некоторые из самых блестящих его учеников, такие как Джон фон Нейман (1903-1957) и Герман Вейль (1885-1955), позднее тоже сыграли важную роль в квантовой теории.

Дирак использовал пребывание в Геттингене, чтобы укрепить свои навыки и получить новые знания в разных областях математики. Он посещал занятия Вейля по теории групп. Речь идет об области математики, развившейся в XIX веке и получившей важное значение в теоретической физике благодаря работам Вейля и Юджина П. Вигнера (1902-1995). В последующие годы Вейль и Вигнер часто использовали теорию групп в рамках квантовой механики. Однако Дирак не выказывал особого интереса к этой теории, считая ее «поверхностной» для решения проблем физики.

В данном вопросе Дираку не хватило интуиции: теория групп стала краеугольным камнем в развитии современной физики. Однако Дирак оценил вклад этих ученых, особенно работу Вейля. Несколько лет спустя один журналист спросил его: «Профессор Дирак, Вам доводилось встречать кого-то, кого Вы не понимали?» Тот ответил: «Да, это был Вейль». Для части коллег Дирака, которые всегда жаловались на сложность его работ и невозможность понять его аргументацию, было откровением узнать, что существовал кто-то, чьи размышления не мог понять сам Дирак, и они наверняка испытали некоторое облегчение.

За время пребывания в Геттингене Дирак опубликовал две статьи, в которых развил основы квантовой теории излучения. Именно он считается основателем квантовой электродинамики. В главе 4 будет подробно рассказано о содержании этих двух статей. Дирак стал первым физиком, развившим квантовую теорию взаимодействия излучения и вещества. Данная теория стала для него большой наградой и еще большим разочарованием.

ВОЗВРАЩЕНИЕ В КЕМБРИДЖ

Пребывание Дирака в Геттингене закончилось в июне 1927 года. По пути в Кембридж он остановился в Лейденском университете (Нидерланды) по приглашению Пауля Эренфеста (1880-1933), с которым обсудил последние работы в области теории излучения. Эренфест неотступно стремился понять все существующие аспекты новой квантовой теории. Он был известен своей манерой превращать семинары в настоящие допросы выступающих. Его стремление все знать было настолько сильным, что часто повергало ученого в глубокую депрессию, связанную с невозможностью уследить за развитием всех открытий. Эренфест восхищался работами Дирака и считал их очень оригинальными, но трудными для понимания:

«Мы часами изучали несколько страниц его работы, в ней есть места столь же темные, как безлунная ночь».

Хендрик А. Лоренц (1853-1928), профессор Лейденского университета и старейшина голландских физиков, тоже восхищался работами Дирака. Он предложил ему должность в Лейденском университете на два года, однако Дирак вежливо отказался, поскольку получил новую стипендию в Кембридже. В июле 1927 года ученый вернулся в университет Кембриджа после десяти месяцев, проведенных на континенте.

За два года он стал одним из самых уважаемых физиков в международном сообществе. Его работы получили мировое признание. Они считались очень оригинальными и глубокими, хотя и совершенно непонятными. Однако, если физики и восхищались его работами, несомненно, именно из-за трудностей понимания последние оказывали меньшее влияние, нежели работы Гейзенберга, Борна и Йордана или Шрёдингера. Ситуация начала меняться в конце 1927 года, вместе с появлением двух первых статей Дирака о взаимодействии излучения и вещества. Но самая потрясающая работа была еще впереди. В начале 1928 года Дирак ошеломил своих коллег: он объединил теорию относительности и квантовую физику в одном уравнении. Оно знаменовало необыкновенные открытия и подняло проблемы, о которых прежде невозможно было и подозревать.

ГЛАВА З

Релятивистская теория электрона. Антивещество

Релятивистская теория электрона, возможно, стала самым значительным открытием Дирака. Ему удалось объединить в одном уравнении главные аспекты двух великих теорий XX века — теории относительности и квантовой физики. Уравнение Дирака естественным образом включало спин электрона и его магнитный момент.

Благодаря этому уравнению было открыто существование отрицательных значений энергии. Так впервые появилось понятие антивещества.

В октябре 1927 года в Брюсселе состоялся очередной Сольвеевский конгресс, на который был приглашен и Дирак — еще одно подтверждение признания его работ. Данный конгресс знаменит жарким спором, разгоревшимся между Бором и Эйнштейном, об основах квантовой механики и принципе неопределенности Гейзенберга. Дирак присутствовал на этих заседаниях. Там он лично познакомился с Эйнштейном, но занял достаточно пассивную позицию. Вспоминая, ученый написал:

«Я слушал аргументы, но не принимал участия в дискуссии; ее предмет мало интересовал меня. [...] Я считаю, что главная работа физика-математика заключается в получении верных уравнений; интерпретация же этих уравнений имеет минимальное значение».

Во время конгресса Дирак также сообщил Бору о своей работе над релятивистским уравнением электрона. Бор заметил, что эта проблема уже была решена Клейном. Его ответ очень удивил Дирака: он не мог понять, как теория Клейна, противоречившая основным законам квантовой механики, могла устраивать значительное число физиков. Через два месяца Дирак поразит научный мир новой теорией, и Бор осознает, что его комментарий был огромной ошибкой.

ПЕРВЫЕ ПОПЫТКИ: УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА

Дирак всегда был очарован теорией относительности и мечтал однажды применить ее к квантовому миру. Одну попытку он предпринял после публикации первой работы Гейзенберга, но неудачно. Несколько месяцев спустя, изучая эффект Комптона и волновую механику, он использовал релятивистскую версию уравнения Шрёдингера, которая известна под названием «уравнение Клейна — Гордона» (записываемого как уравнение КГ), по имени физиков Оскара Клейна (1894-1977) и Вальтера Гордона (1893-1939). В свое время Дирак не придавал особого значения данному уравнению, считая его просто «полезным математическим инструментом для расчета матричных элементов, которые таким образом могли быть интерпретированы в рамках матричной квантовой теории». Разработав свою теорию преобразований, Дирак заключил, что уравнение КГ было абсолютно непоследовательным, поскольку оно не соответствовало основным свойствам квантовой механики.

В чем же заключался смысл уравнения Клейна — Гордона, и почему оно было неприемлемо для Дирака? Чтобы понять это, нам надо вернуться в начало 1926 года, когда Шрёдингер занимался волновой механикой. Как и Дирак, австрийский физик осознавал важность включения релятивистской теории в свою работу. На самом деле полученное им первое волновое квантовое уравнение учитывало релятивистские эффекты и не противоречило классическому релятивистскому выражению для энергии. Однако Шрёдингер решил не публиковать это уравнение, поскольку заметил, что оно не ведет к постоянной тонкой структуры.

Эта постоянная, полученная Зоммерфельдом в 1915 году с помощью атомной теории Бора, прекрасно выражала энергетические уровни атома водорода. Таким образом, она представляла собой главный «тест» для любой квантовой теории. В марте 1926 года Шрёдингер опубликовал свое новое уравнение — то самое, которое сегодня носит его имя. Оно не только учитывало постоянную Зоммерфельда, но и полностью изменило облик квантовой механики; со временем оно стало, наряду с принципом эквивалентности массы и энергии Эйнштейна, самым знаменитым физическим уравнением. Однако уравнение Шрёдингера не включает в себя теорию относительности — оно согласовывается с классическими формулировками механики Ньютона.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА — ГОРДОНА

В релятивистской механике масса зависит от инерциальной системы отсчета. Обозначим собственную массу частицы, то есть массу частицы в ее собственной инерциальной системе отсчета, как m. Представим, что эта частица перемещается со скоростью ṽ. Для простоты допустим, что речь идет о свободной частице — не взаимодействующей с другими телами. В этой ситуации общая энергия и кинетический момент выражаются уравнениями

в которые вводится фактор Лоренца γ, описанный в главе 1. Соединяя выражения энергии и момента, получаем следующее уравнение:

Для частиц в состоянии покоя общая энергия равна Е=mc^2, а для частиц без массы (таких, как фотон) энергия задана как Е=ср. Можно вывести волновое квантовое уравнение через предыдущее выражение энергии, заменив классические переменные соответствующими квантовыми операторами (принцип соответствия):

Используя данный принцип, получаем в итоге следующее релятивистское квантовое уравнение:

Это и есть уравнение Клейна — Гордона, которое обычно записывается в более точном виде с использованием оператора Д’Аламбера:

Предыдущее выражение называется «ковариантной формой» уравнения КГ. Оператор остается неизменным при преобразованиях Лоренца, и отсюда следует, что волновая функция ф(ṽ,t) не должна зависеть от инерциальной системы отсчета.

Как правило, автор новой теории не является самым подходящим человеком для ее развития. Страх того, что что-нибудь не сработает, слишком силен и мешает ему найти в себе достаточную смелость для того, чтобы развить теорию или идею до ее последнего предела.

Поль Дирак

Весной 1926 года Оскар Клейн, работавший независимо от Шрёдингера, опубликовал первое релятивистское квантовое уравнение. Оно согласовывалось с тем уравнением, которое раньше получил австрийский физик. В последующие месяцы разные ученые — Владимир Фок, Гордон, де Бройль и сам Шрёдингер — работали над этим уравнением, анализировали его и интерпретировали его решения. То, что Шрёдингер не решился опубликовать свое первое релятивистское уравнение, поскольку оно противоречило экспериментальным данным, Дирак прокомментировал так:

«Это был пример того, как ученые, которые встают на правильный путь, не решаются идти по нему, боясь ошибиться».

Согласно Дираку, тот факт, что уравнение не согласовывается с опытом, не должен был беспокоить Шрёдингера. Уравнение Клейна — Гордона является дифференциальным уравнением с пространственными и временными переменными. Его решение задано волновой функцией, которая содержит всю физическую информацию об анализируемой системе. В отличие от уравнения Шрёдингера уравнение КГ согласуется с релятивистским выражением для энергии. Кроме того, оно соответствует теории относительности: не меняется при использовании преобразований Лоренца. Другими словами, уравнение остается релевантным вне зависимости от рассматриваемой инерциальной системы отсчета. Уравнение КГ является дифференциальным уравнением второго порядка одновременно по пространственным переменным (как и уравнение Шрёдингера) и по временной переменной. Данный факт, напрямую связанный с релятивистским выражением энергии, стал причиной постоянных проблем интерпретации результатов уравнения, поэтому оно было забыто на многие годы.

Волновая механика позволяет одновременно решить волновое уравнение, определив волновую функцию, и ввести плотность вероятности и плотность тока вероятности, которые должны удовлетворять «уравнению непрерывности» или «уравнению сохранения». Это случай уравнения КГ, где определена плотность тока, удовлетворяющая теории относительности. Однако главная проблема уравнения Клейна — Гордона возникает, когда необходимо вычислить плотность вероятности. В уравнении Шрёдингера плотность вероятности, согласно интерпретации Борна, задана квадратом волновой функции; таким образом, она определена как величина, имеющая положительное значение. Зато из уравнения КГ следует, что плотность вероятности может быть не только положительной, но и отрицательной, и нулевой. Это вытекает из его частной формулировки, включающей производную второго порядка по времени, и означает, что для того чтобы узнать волновую функцию в определенный момент, нужно знать не только волновую функцию в предыдущий момент, но и ее производную. Другими словами, из того, что уравнение КГ является уравнением второго порядка по времени, вытекает: для полного определения волновой функции должны быть известны два независимых условия. Следствием данного результата является то, что плотность вероятности может быть отрицательной. Но как объяснить, что вероятность обнаружения частицы в определенном месте может быть отрицательной? Для Дирака этот результат был отражением непоследовательности уравнения Клейна — Гордона, которое не удовлетворяло основным свойствам квантовой теории, сформулированным в его теории преобразований.

К концу 1926 года большинство физиков осознали слабые места уравнения КГ. Было не только трудно допустить существование отрицательной плотности вероятности, но также казалось невозможным включить в уравнение новое квантовое понятие — спин. Многие физики изучали проблему и пытались найти «улучшенную» версию уравнения КГ, введя в него эффекты спина в рамках теории Шрёдингера. Дирак поставил вопрос оригинальнее: исходя из основополагающих принципов, он разработал уравнение, в котором спин появлялся как естественное следствие теории относительности.

Стоит заметить, что уравнение Клейна — Гордона было пересмотрено в 1934 году Паули и Вайскопфом, которые переформулировали плотность вероятности в плотность заряда. Так сегодня уравнение Клейна — Гордона известно как «релятивистское квантовое уравнение для частицы с нулевым спином» и используется для описания поведения частиц без спина, таких как пионы (или пи-мезоны). Они имеют три разных состояния электрического заряда — положительное, отрицательное и нейтральное, — отражая значение, которое может принимать плотность заряда, определяемая уравнением.

СПИН ЭЛЕКТРОНА

Понятие спина было введено вследствие некоторых экспериментов, результаты которых не смогли объяснить существующие теории. Речь идет об эффекте Зеемана и опыте Штерна — Герлаха. В обоих случаях надо было ввести новое квантовое число, чтобы описать распределение электронов в атоме. В 1924 году Паули ввел четыре квантовых числа для описания состояний электрона: первые три определяли пространственное положение (n, l, ml,), а четвертое, обозначенное ms, физический смысл которого был еще не известен, могло принимать только два значения. В следующем году Паули представил свой знаменитый принцип запрета, позволявший понять, как распределяются электроны в разных атомах (расположение электронов).

Спустя несколько месяцев два молодых студента Лейденского университета (Нидерланды), Сэмюэл А. Гаудсмит (1902-1978) и Джордж Ю. Уленбек (1900-1988), присвоили новое квантовое число кинетическому моменту, соответствующему круговому движению электрона вокруг самого себя. Объяснение Гаудсмита и Уленбека было поставлено под сомнение из-за вытекавших из него последствий. Прежде всего, электрон должен был иметь конечный размер, чтобы вращение вокруг собственной оси имело смысл; то есть электрон не мог быть элементарной или точечной частицей. Впрочем, расчеты Лоренца показывали: угловая скорость на поверхности электрона должна значительно превосходить скорость света, что противоречило теории относительности. Эти результаты выглядели нелепо. Гаудсмит и Уленбек попросили своего руководителя Эренфеста не публиковать работу. И ответ последнего вошел в историю квантовой теории:

«Вашу статью я давно отослал. Не беспокойтесь, вы достаточно молоды и можете себе позволить некоторые глупости».

Спин является основным свойством, позволяющим понять поведение субатомного мира. У него нет эквивалента в классическом мире, это чисто квантовое явление. Следовательно, его нельзя интерпретировать как вращение электрона вокруг собственной оси в пространственных координатах; спин не зависит от уровней пространственной свободы; другими словами, он не зависит ни от координат, ни от моментов.

Уравнение Шрёдингера определяется исключительно в пространстве координат. Таким образом, волновая функция зависит только от пространственных и временных координат: Ψ(ṝ,t). Спин должен быть добавлен как новый уровень свободы. Он является единственным способом объяснить аномальный эффект Зеемана (расщепление спектральных линий) и результаты опыта Штерна — Герлаха, то есть разделение пучка на две симметричные части (см. рисунок).

К середине 1926 года большинство физиков считали, что наличие спина является прямым следствием приложения теории относительности к квантовому миру. Это объясняет, почему в уравнении Шрёдингера (которое соответствует классической теории) не содержится никакой информации о спине. Проблема, однако, была двоякой.

1. Как ввести спин в уравнение Шрёдингера?

2. Если существование спина вытекает из теории относительности, почему его нет в уравнении КГ, которое соответствует релятивистскому выражению энергии?

В мае 1927 года Паули нашел ответ на первый вопрос, развив свою теорию спина и включив его в уравнение Шрёдингера. Так родилось •«уравнение Паули». Но для того чтобы ответить на второй вопрос, надо было дождаться появления квантового релятивистского уравнения электрона — уравнения Дирака.

Опыт Штерна — Герлаха. Пучок выпускаемых из одного источника частиц разделяется на две отдельные части, проходя через неоднородное магнитное поле. Этот опыт подтвердил существование магнитного момента у частиц и доказал постулаты квантовой теории.

УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

Теория Паули известна сегодня как «нерелятивистская теория спина». Согласно Паули, спин электрона следует интерпретировать как его собственный кинетический момент. Поэтому он ввел три оператора для трех пространственных составляющих, соблюдающих общие отношения коммутативности квантовых операторов. Формулировка была аналогичной той, которая соответствовала операторам орбитального движения электрона. Паули также ввел в теорию Шрёдингера соответствующее спину квантовое число ms, которое может принимать только два значения. Паули предложил волновую функцию из двух составляющих, каждая из которых связана с возможным значением квантового числа ms. Таким образом, квантовые операторы спина должны описываться как матрицы 2x2. Паули вывел следующую формулу:

Si = ħ/2 σi

где показатель i относится к любой из трех составляющих х, у, z, а σi представляет собой «матрицы Паули»:

Два возможных значения числа

ms:±ħ/2.

Следующий этап после определения операторов спина был относительно простым для Паули. Электрон на орбите имеет орбитальный кинетический момент и также собственный момент импульса, связанный со спином. Этот момент импульса может приспосабливаться к любому внешнему магнитному полю. Паули приложил свою модель к атому водорода, установив, что наличие спина в гамильтониане приводит к взаимодействию с орбитальным кинетическим моментом электрона.

Теорию Паули ждал большой успех, поскольку она объясняла многие явления, среди которых — аномальный эффект Зеемана и опыт Штерна — Герлаха. Однако сам Паули осознавал слабые места своей теории. Он ввел спин в изначальное уравнение Шрёдингера как простую релятивистскую поправку. Кстати, теория Паули может воспроизвести лишь приближенное выражение (первого порядка) постоянной тонкой структуры Зоммерфельда. Кроме того, уравнение Паули противоречило принципу относительности. Он сам признавал, что «мы вправе требовать от окончательной теории, чтобы она была сформулирована в инвариантной релятивистской форме и позволяла делать расчеты более высокого порядка». Этой дорогой пошел Дирак: он хотел сформулировать уравнение, исходя из основополагающих принципов двух теорий — теории относительности и квантовой теории.

ВОЛЬФГАНГ Э. ПАУЛИ

Вольфганг Эрнст Паули (1900-1958) родился в Вене. В 1918 году он поступил в университет Мюнхена (Германия), где учился под руководством Зоммерфельда. Через два месяца после защиты диссертации Паули опубликовал монографию об общей теории относительности, которую сам Эйнштейн назвал прекрасной.

В 1921 году ученый перебрался в университет Геттингена, где ассистировал Борну. Там он познакомился с Гейзенбергом, с которым после этого у него возникли дружеские отношения на всю жизнь. Через год его пригласили на работу в Институт теоретической физики в Копенгагене, где Паули познакомился с Нильсом Бором. Между 1923 и 1928 годами он преподавал в университете Гамбурга. Именно в этот период были совершены его самые важные открытия в области квантовой теории. В 1924 году Паули ввел квантовое число, относящееся к спину, а в 1925-м опубликовал свою самую знаменитую статью о принципе запрета.

Квантовая физика и строгость

После появления первой работы Гейзенберга по квантовой механике Паули активно участвовал в выстраивании новой теории: он описал спектр атома водорода, развил собственную версию квантовой теории электромагнитного поля и ввел первое описание спина. В 1928 году его назначили профессором теоретической физики в Цюрихской высшей электротехнической школе (Швейцария), где после этого Паули провел всю оставшуюся жизнь (за исключением периода 1940-1945 годов, когда он эмигрировал в США и преподавал в Институте высших исследований Принстона). В 1930 году Паули выдвинул гипотезу существования новой частицы — нейтрино, — однако ее обнаружения пришлось ждать более 20 лет. Среди коллег Паули пользовался репутацией «очень критичного» ученого. Один из его типичных комментариев по поводу работ, которые он считал недостаточно обоснованными, был таким: «Это даже не дотягивает до ошибочного». Паули был одержим всем тем, что было связано с основами квантовой теории. Суровый критический взгляд, касающийся и его собственных трудов, а также глубочайшие познания в физике, наверное, помешали ему создать более оригинальные работы.

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Журнал Proceedings of Royal Society 2 января 1928 года получил через Фаулера статью Дирака под названием «Квантовая теория электрона», где автор писал:

«В статье показано, что недостатки предыдущих теорий (уравнение КГ и теория спина Паули) связаны с их несовместимостью как с относительностью, так и с общей теорией преобразований квантовой механики. Похоже, что самый простой гамильтониан для точечного электрона, соблюдающий основополагающие принципы относительности и теории преобразований, позволяет объяснить все экспериментальные результаты без дополнительных допущений».

Приведенный выше абзац раскрывает ход рассуждений Дирака в процессе выстраивания релятивистского уравнения. С одной стороны, уравнение должно соблюдать основополагающие принципы квантовой теории в том виде, в котором они сформулированы в теории преобразований: «Изначальное состояние системы полностью определяет ее состояние в последующий момент». Это означает, что волновое уравнение должно было быть дифференциальным уравнением первого порядка по времени. Так волновая функция в любой момент четко определяет волновую функцию в последующий момент. Данная формулировка, согласующаяся с уравнением Шрёдингера, но уводящая в сторону от уравнения КГ, ведет к вероятностной плотности, определяемой положительным значением. Этот результат кроме того связан с другим важным аспектом теории преобразований Дирака: гамильтониан системы должен быть самосопряженным оператором (эрмитовым оператором). Такое свойство гарантирует, что собственные значения оператора, то есть значения полной энергии системы, будут действительными.

С другой стороны, Дираку следовало учитывать принцип относительности. Квантовое релятивистское уравнение должно было действовать для любой инерциальной системы отсчета. Но как этого добиться? Решение Дирака своей красотой и простотой подтверждает его огромный творческий гений. В рамках релятивистской теории время и пространственные координаты являются составляющими «четырехмерного вектора пространство — время». Дирак заключил из этого, что нет причин обращаться по-разному с двумя видами переменных в квантовом волновом уравнении. Наоборот, если волновое уравнение должно было быть, согласно квантовой теории, уравнением первого порядка по производной по времени, то релятивистская теория требовала введения пространственных переменных в виде их первых производных. Это симметричное обращение со временем и пространством согласовывалось с релятивистской формулировкой, но уводило от нерелятивистского уравнения Шрёдингера, в котором временные и пространственные переменные появлялись по-разному: производная первого порядка по времени и второго порядка по пространственным переменным. Дирак считал симметрию главным условием релятивистской теории, которая в свою очередь должна согласовываться с релятивистским выражением для энергии:

E = √(c^2 р^2 + m^2с^4) (свободная частица).

САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ) И МАТРИЦЫ ПАУЛИ

Самосопряженные операторы (эрмитовы операторы) важны для квантовой теории, поскольку присущее им собственное значение является действительным. В случае оператора Гамильтона «самосопряженность» гарантирует нам, что энергия системы, которую мы изучаем, будет действительной. Оператор называют самосопряженным, когда он совпадает со своим сопряженным. Возьмем общий случай квантового оператора, представленного в матричной форме матрицы 2x2:

Сопряженный оператор задан матрицей, выстроенной из изначальной матрицы, в которой изменяются строки и столбцы, и каждый элемент заменен комплексно-сопряженным ему элементом. Такая матрица называется сопряженной:

Если две матрицы согласуются друг с другом, то есть если Ó = Ö, говорят, что матрица Ó является эрмитово-сопряженной, и в этом случае можно доказать, что ее значения являются действительными. Три матрицы Паули, σx,σy,σz, являются эрмитово-сопряженными, и они «антикоммутативны» между собой, то есть соблюдают общие отношения, вытекающие из уравнения Дирака. Однако можно доказать, что любая матрица размера 2x2 может быть записана в виде линейной комбинации трех матриц Паули плюс единичная матрица. Это означает, что невозможно найти четвертую матрицу, которая антикоммутативна каждой из трех матриц Паули. Иными словами, уравнение Дирака требует, чтобы размер каждого из четырех матричных коэффициентов, подлежащих определению, был больше 2x2. Кроме того, матрицы Дирака удовлетворяют антикоммутационным соотношениям, и их след равен нулю.

В итоге его требования к новому квантовому релятивистскому уравнению электрона можно описать следующим образом.

1. Это должно быть дифференциальное уравнение первого порядка по времени, которое симметрично включает пространственные переменные, то есть с производными первого порядка.

2. Оператор Гамильтона должен быть самосопряженным — так, чтобы плотность вероятности определялась положительным значением и чтобы энергии были действительными.

3. Оно должно согласовываться с релятивистским выражением для энергии и быть релевантным для любой инерциальной системы отсчета.

Таким образом, Дирак предложил следующее общее уравнение:

Заметим, что два вида переменных — пространство и время — включены одним способом. Кроме того, существует дополнительный член уравнения, ßmc^2, связанный с собственной массой электрона, то есть с массой в системе, в которой он находится в состоянии покоя. Уравнение зависит от четырех неизвестных коэффициентов: αx,αy,αz,β. Таким образом, вопрос состоит в том, как их определить. Для этого Дирак должен был доказать совместимость своего уравнения с релятивистским выражением для энергии.

Он полностью осознавал «эквивалентность» квантовых операторов и соответствующих классических величин. Кстати, именно это соответствие позволило объяснить форму уравнения Шрёдингера и уравнения Клейна — Гордона. Используя аналогию между классическим и квантовым миром, квантовое уравнение, предложенное Дираком, вело к следующему классическому уравнению для энергии:

Е= с (αxpx + αyрy + αzpz) + ßmc^2.

Как связать данное уравнение, линейное в трех составляющих кинетического момента со сложным релятивистским выражением энергии, в котором появляется квадратный корень? Дирак искал способ, позволивший бы ему записать в линейном виде релятивистское уравнение энергии, определив четыре неизвестных коэффициента. Первым большим шагом вперед в этом направлении было открытие того, что его квантовое уравнение может быть совместимым с релятивистским выражением для энергии, только когда введенные им коэффициенты не коммутируют между собой и, кроме того, если квадрат каждого оператора равен единице. Математически это выражается в следующей форме:

αiαj = - αjαi (i ≠ j); αiβ = - βαi;αi = β^2 = 1.

Индексы i,j относятся к любой из трех пространственных составляющих: х, у, z. Коэффициенты Дирак интерпретировал как матрицы. Последнее означало, что волновая функция Ψ содержит разные составляющие, помимо своей зависимости от временных и пространственных переменных. Это было новостью. В предыдущем 1927 году Паули уже представил волновую функцию с двумя составляющими, связанными с двумя возможными значениями спина.

Однако проблема была решена не до конца. Сопряженность гамильтониана означала, что четыре матрицы должны быть, в свою очередь, эрмитово-сопряженными. В первое время Дирак думал о матрицах Паули, которые отвечали всем необходимым условиям. Но матриц Паули было три, и Дираку надо было найти четвертую, чтобы окончательно сформировать уравнение. В результате он пришел к выводу, что найти четвертую матрицу для трех матриц Паули невозможно. Математики на самом деле уже знали этот результат, так как они доказали, что для квадратных матриц Nx N максимальное количество независимых эрмитово-сопряженных матриц, которые «антикоммутируют» между собой, равно N^2 -1. Следовательно, у Дирака оставалась единственная возможность — увеличить размер матриц. Доказав, что их размер обязательно должен быть парным, ученый наконец нашел четыре независимые эрмитово-сопряженные матрицы 4x4. Это минимальный размер, который согласуется с общими свойствами его уравнения. Дирак заметил:

«Мне понадобилось много недель, чтобы осознать, что необязательно использовать переменные с двумя строками и двумя столбцами. Почему бы не представить четыре строки и четыре столбца?»

МАТРИЦЫ И КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

Уравнение Дирака запечатлено на его мемориальной доске в Вестминстерском аббатстве. На самом делетам оно присутствует в своей «ковариантной форме». Это значит, что форма уравнения является одинаковой для любой инерциальной системы отсчета. Для упрощения записи уравнения в квантовой релятивистской теории принято одновременно считать редуцированную постоянную Планка, h, и скорость света, с, равными единице. Это называется «естественной системой единиц». В таком случае уравнение Дирака записывается так:

В него включен оператор Гамильтона,

, и использовано выражение:

Матрицы Дирака могут быть прямо выражены через матрицы Паули, оk, в следующей форме:

Вставляя выражение γ^0 ≡ β; γk ≡ ßak и умножая левую часть этого уравнения Дирака на матрицу β, мы в итоге получаем

Уравнение в рамке соответствует тому, что запечатлено в Вестминстерском аббатстве. Несмотря на кажущуюся простоту, оно на самом деле объединяет четыре дифференциальных уравнения. Данное уравнение известно как «ковариантная форма уравнения Дирака для свободного электрона» и включает в себя оператор

γ ∙ ∂ ≡ γ^0 ∂/∂t + γx ∂/∂x + γy ∂/∂y + γz ∂/∂z.

Ценность уравнения

Дираку не было достаточно просто формулировки своего уравнения в написанной им статье 1928 года: ученый также доказал, что оно соблюдает свойство инвариантности при преобразованиях Лоренца. Так, уравнение Дирака представляет собой действительно удовлетворительное описание квантового поведения субатомных частиц: оно соблюдает релятивистское соотношение момента и энергии, из него вытекает плотность вероятности, имеющая положительное значение, с действительными значениями энергии, и, наконец, оно согласуется с принципом относительности Эйнштейна.

Спустя годы Дирак удивлялся: «Не могу понять, почему мне понадобилось столько времени, чтобы решить такой элементарный вопрос». Дирак довел математику до ее предела. Необходимость ввести новые размеры заставила его принять волновые функции, описанные через четыре составляющие, физический смысл которых (отбросив два возможных состояния спина) в последующие годы стал новой головоломкой для физиков. Теория электрона Дирака является примером того, что Вигнер назвал «иррациональной действенностью математики в естественных науках».

НЕОБЫКНОВЕННЫЙ УСПЕХ, НЕОЖИДАННЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Уравнение Дирака ошеломило всех его коллег. Некоторые из них уже многие месяцы выводили квантовое релятивистское уравнение, и работа Дирака поставила их в тупик, породив глубокое чувство неудовлетворенности. Йордан заметил: «Я не прощу себе своей неспособности понять, что главным было найти линейное выражение». Тем не менее он признал качество работы Дирака: «Я бы предпочел сам вывести уравнение, но формулировка Дирака столь восхитительна, уравнение такое лаконичное, что мы все должны наслаждаться тем, что оно появилось на свет». Это мнение разделяли практически все физики. Гейзенберг заявил: «Я очень высоко ценю его последнюю работу о спине». А Эренфест сказал: «Я нахожу последнюю работу Дирака о спине электрона просто замечательной».

Работа о спине рассматривалась как чудо. Общее чувство было, что Дирак получил больший результат, нежели заслуживал. Никто до этого так не подходил к физике.

Леон Розенфельд, бельгийский физик, коллега Борна в Геттингене

Общее восхищение и уважение, вызванное уравнением Дирака, было связано не только с тем, каким именно методом ученый разработал его (главенство основополагающих принципов физики над всеми остальными эмпирическими методами), но также и с решениями этого уравнения. Свойство спина появлялось как естественное следствие самой структуры уравнения, которое в свою очередь было логическим результатом основополагающих принципов двух главных новаторских теорий физики — теории относительности и квантовой теории. Уравнение давало магнитный момент электрона и позволяло получить точное значение постоянной тонкой структуры.

Показатель взаимодействия между спином электрона и его кинетическим орбитальным моментом в атоме водорода также автоматически вытекал из уравнения. Это исключительно релятивистский эффект, связанный с преобразованием между системами отсчета, относящимися к электрону и протону (ядро), который надо было вводить «вручную» в уравнение Паули. Наконец, уравнение Дирака сводилось к уравнению Шрёдингера или уравнению Паули в пределах маленьких кинетических энергий, сопоставляемых с собственной энергией электрона. Оно несомненно было одним из самых значительных прорывов в физике XX века. Однако это же уравнение приводило в замешательство. Позднее Гейзенберг вспоминал:

«До начала 1928 года у меня было впечатление, что в квантовой теории мы твердо стоим на якоре в порту. Но уравнение Дирака снова выбросило нас в открытое море».

Трудности, связанные с уравнением Дирака, косвенно вытекали из его структуры. Если для описания спина достаточно двух составляющих, то в чем смысл двух дополнительных значений, появляющихся в уравнении? Должно было пройти несколько лет, чтобы стал очевидным физический смысл решений уравнения Дирака. Однако ясная и прозрачная математическая структура уравнения не оставляла никаких сомнений: его решения соответствовали одновременно и обычным электронам с положительным значением энергии, и электронам с отрицательным значением энергии.

Дирак с самого начала осознавал возникшую сложность. Он заметил, что возможность двух типов решения (положительные и отрицательные энергии) неизбежно появляется в любой релятивистской квантовой теории. В своих первых работах об электроне Дирак обозначил две главные трудности, которые подрывали предыдущую теорию Клейна — Гордона.

1. Их уравнение не было линейным по энергии или, что возвращает к тому же, по временной производной.

2. Уравнение действует одновременно и для электронов с зарядом +е, и для электронов с зарядом -е.

Дирак писал в своей статье:

«Некоторые из решений волнового уравнения представляют собой волновую группу, описывающую частицу с зарядом -е, тогда как другие соответствуют частице с зарядом +е. Для второго типа решений энергия В имеет отрицательное значение.

Заметим, что Дирак разобрался с первой трудностью, но не смог разрешить вторую. Поэтому в первое время он считал, что его теория является только приближением к решению проблемы, и писал:

«Истинное релятивистское волновое уравнение должно быть таким, чтобы его решения делились на две независимые группы, каждая из которых соответствовала бы частицам с зарядом -е и +е».

Кроме того, в своей статье Дирак обращал внимание на то, что все решения, относящиеся к электронам с зарядом +е, должны исключаться; однако он осознавал главные различия, которые существовали между классической теорией и квантовой, а также возможные последствия нового типа решений:

«В классической теории выходом в подобной ситуации является произвольное исключение всех решений, соответствующих отрицательной энергии. Подобного нельзя сделать в квантовой теории, потому что по общему правилу любое воздействие может привести к преобразованию состояния с положительной энергией в состояние с отрицательной энергией. В экспериментальном плане данный тип преобразования соответствуют процессу, в котором электрон вдруг меняет заряд с -е на +е. Такое явление еще не наблюдалось».

Приведенная выше цитата ясно свидетельствует о том, какую огромную концептуальную трудность породили уравнение Дирака и физическая интерпретация его решений. Сам Дирак, впрочем, представлял в своей статье противоречащие друг другу аргументы. В последующие после публикации уравнения месяцы проблемы решений уравнения с положительными и отрицательными значениями энергии стали настоящей головоломкой для сообщества физиков, занимавшихся квантовой теорией. Гейзенберг даже писал в письме Паули: «Самый мучительный раздел современной физики — это теория Дирака».

ГОДЫ ПУТЕШЕСТВИЙ И СМЯТЕНИЯ

Через месяц после открытия релятивистского уравнения электрона Дирак опубликовал вторую статью. В ней он применял свою теорию к некоторым конкретным проблемам: правилам отбора атомных переходов и эффекту Зеемана. Но уравнение Дирака и интерпретация решений с отрицательными значениями энергии продолжали сеять путаницу. Параллельно Дирак осуществил серию поездок в разные центры, где проводил семинары по своей новой теории. Весной и летом 1928 года он побывал в Копенгагене, Лейдене, Лейпциге и Геттингене. В Лейпциге Дирак встретил Гейзенберга, которого только что назначили университетским профессором, и они много обсуждали новую теорию. Гейзенберг тоже испытывал неудовлетворение, вызванное уравнением Дирака. В письме к Йордану он отметил:

«Приехал Дирак и провел много семинаров по новой теории, однако не смог разрешить существующие трудности».

В следующие месяцы замешательство и неудовлетворенность Гейзенберга только росли. В письме к Бору он даже утверждал:

«Теперь, после более глубокого изучения теории Дирака, трудности мне кажутся еще более значительными, нежели мне виделось вначале. [...] Нынешняя ситуация достаточно абсурдна и безнадежна. [...] Я решил поменять область исследования, и следующие месяцы посвящу ферромагнетизму».

Похожее чувство владело Дираком, пусть он никогда и не выказывал его так явно, как Гейзенберг. В июле 1928 года он признавался Клейну:

«До настоящего времени все мои попытки разрешить трудности положительных и отрицательных значений энергии провалились».

Когда пребывание в Геттингене подходило к концу, ученый решил поехать в СССР. В последующие годы, которые оказались очень непростым временем, Дирак регулярно осуществлял туда поездки.

ПАРАДОКС КЛЕЙНА

Одной из типичных проблем, которую ставят перед студентами на занятиях по квантовой физике, является проблема электрона, приближающегося к потенциальному барьеру определенной высоты (см. рисунок). Она возникла при описании электрона в уравнении Шрёдингера: анализируется поведение волновой функции в присутствии потенциального барьера. Также можно рассчитать коэффициент прохождения и отражения, то есть вероятность того, что электрон пройдет через барьер и количество отраженного потока. Полученные результаты ясно свидетельствуют о некоторых исключительно квантовых свойствах. Кроме того, можно наблюдать, что даже если выпущенный электрон обладает энергией немного меньшей, нежели высота потенциально барьера, есть ненулевая вероятность прохождения его через барьер. В классической физике такого произойти не может.

Как появился парадокс

«Парадокс Клейна» появился во время одного исследования с использованием уравнения Дирака. Клейн анализировал эту проблему и убедился в том, что результаты, получаемые им в определенных ситуациях, полностью отличаются оттого, что дает уравнение Шрёдингера: эти результаты очень трудно понять, они кажутся абсурдными. Так, он убедился, что для достаточно интенсивного потенциала, который превосходит общую энергию (кинетическую энергию плюс собственную энергию) электрона, передаваемая волновая функция не становится показательной убывающей функцией, как в случае уравнения Шрёдингера, но данная функция сохраняет колебание при отрицательных энергиях. Также изучение вероятностей прохождения и отражения электрона через барьер показывает, что отраженный поток больше, чем изначальный. Этот результат, который невозможно понять, напрямую связан с существованием потока от частицы с противоположным зарядом, нежели заряд выпускаемого электрона; иначе говоря, передаваемая волна связана с решениями с отрицательной энергией. Результаты парадокса Клейна проявлялись и при анализе с использованием уравнения Клейна — Гордона; таким образом, они — естественное следствие использования квантового релятивистского уравнения. Парадокс Клейна делает очевидной невозможность сохранения квантового релятивистского описания только одной субатомной частицы при взаимодействиях; другими словами, при взаимодействии могут рождаться частицы в соответствии с принципом эквивалентности массы и энергии Эйнштейна. Парадокс Клейна показывает нам, что при взаимодействии неизбежно происходит рождение пар или переход между двумя типами решений уравнения Дирака: с положительной и отрицательной энергией. Вспомним, что число частиц не сохраняется в квантовой релятивистской теории; в этом заключается ее главное отличие от нерелятивистской теории и уравнения Шрёдингера.

Среди западных физиков он более других поддерживал прямые контакты с советскими коллегами. С некоторыми из них, например с Капицей и Таммом, он на всю жизнь сохранил тесные дружеские отношения.

Осенью 1928 года Дирак вернулся в Кембридж, где провел шесть месяцев, начав работу над книгой о квантовой теории. В это время смятение, порожденное уравнением Дирака, стало еще больше. Клейн проанализировал проблему релятивистского электрона при туннелировании потенциального барьера.

Результаты в некоторых случаях казались абсурдными. Эта проблема получила название «парадокса Клейна».

Через несколько месяцев сам Клейн и японский физик Ёсио Нисина (1890-1951) развили, используя уравнение Дирака, теорию, которая позволила описать рассеяние фотонов свободными электронами. Полученные результаты согласовывались с экспериментальными данными только в той части, где были учтены решения с отрицательной энергией. Как теория, приводящая в некоторых ситуациях к, казалось, столь абсурдным результатам, могла одновременно так прекрасно описывать природные процессы, когда все ее составляющие учтены?

В течение почти всего 1929 года Дирак сохранял выжидательную позицию по отношению к трудностям, которые, казалось, чуть ли не ежедневно возникали из его уравнения. Он верил в последовательность и точность своей теории, но не знал, как найти ответы на вопросы, которые каждый день ставили перед ним его коллеги. В итоге Дирак решил сделать перерыв и провести несколько месяцев в Висконсинском университете в Мадисоне (США). Это была его первая поездка на американский континент. Там он снова встретился с Гейзенбергом, которого пригласил университет Чикаго.

В истории осталось много знаменитых анекдотов о первом американском путешествии Дирака. Один из них очень показателен и прекрасно характеризует странную личность физика. Однажды, после семинара Дирака, один человек встал и сказал: «Профессор Дирак, я не понимаю уравнение, которое Вы написали на доске». Дирак смотрел на него и молчал, а когда ситуация стала неловкой, модератор был вынужден вмешаться и попросить физика ответить на вопрос. Тогда Дирак заявил: «Это был не вопрос, а просто комментарий». Очевидно, ученый был неспособен читать между строк, что иногда казалось бестактным по отношению к другим.

Гейзенберг и Дирак решили поехать вместе из Штатов в Японию, куда их пригласили читать лекции в университетах Токио и Киото. Точно неизвестно, говорили ли они во время этой поездки о проблемах уравнения. Дирак вспоминал следующее:

«В 1929 году мы с Гейзенбергом пересекли Тихий океан и провели некоторое время в Японии. Мы не говорили о технических проблемах. Мы оба хотели наслаждаться каникулами и отстраниться от физики. Единственные наши разговоры о физике состоялись во время семинаров, которые мы оба проводили в Японии».

Дирак вернулся в Кембридж в октябре 1929 года и сразу же начал работать над новой идеей, способной, по его мнению, разрешить все трудности, связанные с положительными и отрицательными решениями. Точкой отсчета его изысканий было предположение Вейля, сделанное весной 1929 года:

«Кажется вероятным, что из двух решений уравнения Дирака одно соответствует электрону, а другое — протону».

Снова, спустя два года после публикации релятивистского уравнения электрона, Дирак поразил своих коллег идеей, которая не была принята с восторгом большинством физиков. Среди них сначала доминировали скепсис и даже некоторое неприятие. Но для решения концептуальной проблемы Дирак был вынужден сделать еще более смелое предположение, снова породившее множество вопросов. Эта идея содержала решение трудностей уравнения и заключала в себе невозможное по тем временам: открытие античастиц.

ТЕОРИЯ ДЫРОК. ЭЛЕКТРОН И ПРОТОН

Частицы с отрицательной энергией являлись прямым следствием релятивистского уравнения, которое нельзя было не принимать во внимание. Однако Дирак указал, что эти состояния невозможно прямо установить для физических частиц, как предполагал Вейль, избежав парадоксов и абсурдных ситуаций. Новая интерпретация Дирака состояний с отрицательной энергией излагалась в статье «Теория электронов и протонов.

Она была отправлена в журнал в начале декабря 1929 года. В отличие от большинства предыдущих статей физика, которые многие понимали с трудом, данная статья содержала мало уравнений, и чтение ее было гораздо более доступным.

Еще до публикации статьи Дирак начал переписываться с Бором, затрагивая во многих письмах главные идеи собственной теории. Бор был настроен скептически по отношению к интерпретации Дирака, а некоторые аспекты теории считал и вовсе абсурдными. И он не один придерживался такого мнения. В декабре 1929 года Гейзенберг написал Бору:

«Дирак написал новую статью о проблеме ±е [...]. Я настроен очень скептично, потому что в этом случае массы протона и электрона должны быть равными».

Гейзенберг также послал свои возражения и самому Дираку:

«Я думаю, что Ваша новая теория уводит слишком далеко от соответствия классическим законам, также как и от экспериментальной очевидности».

В чем же состояла новая теория, разработанная Дираком и вызвавшая столь суровую критику? Почему Дирак не мог просто принять изначальное предложение Вейля? Ученый заметил, что прямое отождествление решений с отрицательной энергией с протоном вело к недопустимым парадоксам. Например, он показал, что в рамках подобного отождествления переход электрона из состояния положительной энергии в состояние отрицательной энергии интерпретируется как переход электрона в протон, а это противоречит закону сохранения электрического заряда. Также вышесказанное означало, что чем больше электрон с отрицательной энергией перемещался, тем меньше у него энергии, а это было совершенно непонятно. Дирак указал в своей статье, что единственный способ обойти подобные трудности — пересмотр решений, соответствующих электронам с отрицательной энергией, и их отношений с физическими частицами.

У Дирака была следующая гипотеза: «Все состояния с отрицательной энергией заняты электронами». Его предположение означало, что никакой электрон с положительной энергией не может перейти в состояние с отрицательной энергией, поскольку данное состояние уже занято, — а принцип запрета Паули не позволяет электронам занимать одно и то же квантовое состояние. Таким образом, Дирак решил проблему перехода, введя бесконечное число электронов с состоянием отрицательной энергии. Несмотря на возражения Бора (электроны создавали бесконечную плотность отрицательного заряда), Дирак указал: плотность электронов с отрицательной энергией везде одинакова, и значит, эту однородную плотность наблюдать невозможно. Только небольшие изменения этой однородности, например через уменьшение числа незанятых состояний отрицательной энергии, производят эффекты, которые можно наблюдать.

Так Дирак использовал — впервые в квантовой физике — понятие квантового вакуума, включающего в себя бесконечное число электронов, занимающих состояния с отрицательной энергией. Такая ситуация соответствует ситуации максимальной стабильности, известной сегодня под названием «море Дирака». Эта изобретательная идея позволила ему «решить» возникшие раньше парадоксы. Однако большинство физиков высказывались скептически, если не отвергали полностью новую теорию. На самом деле трудно было принять, что состояние квантового вакуума может быть описано через бесконечное число электронов.

Как бы там ни было, Дирак заявил, что только незанятые электронами состояния отрицательной энергии производят физические эффекты. «Дырка» в море Дирака — то есть отсутствие электрона — вела себя во всех отношениях подобно частице с положительным зарядом. Из этого Дирак заключил:

«Мы приходим к выводу, что дырки в распределении состояний являются протонами».

Прямое отождествление пустот с протонами позволило Дираку заявить:

«Так мы можем решить трудности и парадоксальные ситуации, упомянутые раньше; достаточно представить один тип основополагающей частицы вместо двух, электрона и протона, как было необходимо раньше».

Иначе говоря, новая теория Дирака предоставляла единое объяснение двух частиц, электрона и протона, которые могут рассматриваться как два разных и дополняющих друг друга проявления одного основного состояния.

Теория дырок Дирака, в которой дырки отождествлялись с протонами, вела к двум дополнительным трудностям. Прежде всего, наличие дырки — то есть существования протона — означало, что электрон с положительной энергией может упасть в такую дырку. Это эквивалентно процессу аннигиляции электрона и протона. Также электрон в море Дирака мог поглощать излучение и таким образом переходить в состояние с положительной энергией. Другими словами, электрон и протон можно создать. Процессы рождения и аннигиляции частиц соблюдают принцип эквивалентности массы и энергии. Однако ни один из данных процессов никогда не был зафиксирован.

Другая трудность теории Дирака была связана с огромной разницей в массе электрона и протона. На самом деле протон примерно в 2000 раз тяжелее электрона. Дирак полностью осознавал эту проблему, которую он так описал в своей статье:

«Может ли настоящая теория объяснить огромную асимметрию, существующую между электроном и протоном? [...] Очевидно, что теория дырок имеет смысл только при симметричном обращении с двумя частицами. [...] Однако эта симметрия математически неидеальна, когда мы рассматриваем взаимодействие электронов и протонов. [...] Последствия этой асимметрии трудно представить в рамках релятивистской теории, но мы надеемся найти объяснение разнице в массе между протоном и электроном».

Четыре лауреата Нобелевской премии 1933 года. Слева направо: писатель Иван Бунин и физики Шрёдингер, Дирак и Гейзенберг.

Один из самых знаменитых снимков в истории физики: участники Сольвеевского конгресса 1927 года. Дирак сидит в центре.

Почему Дирак настаивал на отождествлении дырок с протонами, хотя понимал огромные трудности, вытекающие из такой интерпретации? Сам физик предоставил объяснение этому факту на заседании британской Ассоциации содействия развитию науки, которое состоялось в Бристоле в 1930 году.

РОЖДЕНИЕ И АННИГИЛЯЦИЯ ПАР В ТЕОРИИ ДИРАКА

Энергетический спектр, вытекающий из уравнения Дирака, представлен на рисунке 1. Мы можем видеть бесконечное количество состояний с положительной энергией, которая больше собственной энергии электрона, mс^2. Данные состояния соответствуют физическим электронам, обладающим разной кинетической энергией. Впрочем, уравнение Дирака косвенно содержит также бесконечную группу решений с отрицательной энергией -mс^2. Это бесконечное число состояний называется «морем Дирака». Понятие «квантового вакуума» соответствует всем состояниям, занятым электронами. Так Дирак объясняет стабильность вещества, используя принцип запрета Паули: никакой переход из физического состояния с положительной энергией в состояние с отрицательной энергией невозможен, поскольку эти состояния уже заняты.

РИС. 1

РИС. 2

Море Дирака соответствует полностью однородной ситуации, которую никоим образом нельзя наблюдать, если только в ней не происходят изменения, например когда одному из электронов «моря» не хватает (см. рисунок 2). Модель Дирака предполагает возможность рождения и аннигиляции частиц. Как интерпретировать эти процессы в рамках теории дырок Дирака? Наличие незанятого состояния в море Дирака допускает, что электрон с положительной энергией может упасть в дырку: в таком случае высвобождается разница в энергиях и испускается электромагнитное излучение. При рассмотрении дырки в море Дирака в качестве частицы это явление интерпретируется как аннигиляция электрона и положительной частицы, порождающая излучение (см. рисунок 3, справа). Когда Дирак определил дырки как антиэлектроны, то речь пошла об аннигиляции пары электрон/антиэлектрон. Впрочем, возможно нарушить состояние квантового вакуума. Так, электромагнитное излучение может выбить электрон из моря Дирака и заставить его перейти в состояние с положительной энергией (см. рисунок 3, слева). Для этого энергия излучения должна быть равной или больше 2mс^2, минимальной широты запретной зоны, которую электрон должен перейти. В таком случае процесс сопровождается рождением электрона и дыркой в море Дирака, то есть положительной частицы: антиэлектрона Дирака. Упомянутый процесс называется «рождение пары частица/античастица».

РИС.З

«Мечтой философов всегда была возможность выстроить любое вещество из основополагающей частицы; наша теория, правда, оперирует двумя частицами (электроном и протоном). Однако есть серьезные причины полагать, что электроны и протоны являются разными проявлениями одного типа частиц. Эта связь вытекает из симметричности электрического заряда».

АНТИЭЛЕКТРОН: МИР АНТИЧАСТИЦ

В 1930 году Дирак считал главной разработку единой физической теории для электрона и протона (то, что он называл «мечтой философов»). Именно поэтому он продолжал верить в свою теорию, несмотря на очевидные проблемы и результаты (часть которых была получена им самим), доказывающие непоследовательность его интерпретации протонов. В феврале 1930 года американский физик Роберт Оппенгеймер (1904-1967) опубликовал короткую статью, в которой показал, что средняя жизнь атомного электрона, согласно теории Дирака, должна длиться всего примерно 10-9. Это было очевидным абсурдом, поскольку означало, что материя невероятно нестабильна. Оппенгеймер из вышесказанного заключил, что теорию Дирака следует изменить: протоны и электроны обязательно должны быть разными частицами.

В следующем месяце Дирак послал для публикации новую статью под названием «Об аннигиляции электронов и протонов». Он снова признавал, что большая разница в массе электронов и протонов представляет серьезное затруднение. Ученый нашел выражение вероятности аннигиляции электрона-протона:

«Невозможно представить точное численное выражение нашего результата, поскольку мы не знаем, относится ли появляющаяся в нем масса к электрону или протону. Как бы там ни было, полученная цифра слишком велика, чтобы объяснить стабильность электронов и протонов».

Однако Дирак не смирился и завершил статью следующими словами:

«Мы должны предположить, что взаимодействие между электронами и протонами должно значительно сокращать зону столкновения. [...] Возможно, для очень высоких энергий результат этой работы будет точным, когда массе будет присвоено значение».

Советский физик Игорь Тамм со своей стороны пришел к такому же выводу: средняя жизнь электронов и протонов в уравнении Дирака полностью противоречит действительности. Как Дирак и Оппенгеймер, Тамм полагал, что включение эффекта взаимодействия между электронами и протонами значительно улучшит результаты. Оппенгеймер и Тамм были среди немногих физиков, которые приняли теорию дырок Дирака. Поэтому они пытались найти ее подтверждение, несмотря на абсурдность результатов, к которым она приводила.

Дирак еще несколько месяцев продолжал верить в свою интерпретацию протонов как дырок в море с отрицательной энергией. Но он прекрасно знал, что очень небольшое число физиков разделяют его точку зрения. Со свойственной ему критичностью Паули сформулировал то, что впоследствии в узких кругах квантовой физики получит название «второго принципа Паули»:

«С того момента, как физик предлагает теорию, она должна быть сразу приложена к своему автору: так, Дирак должен быть аннигилирован».

Осенью 1930 года были опубликованы другие статьи, которые снова ставили под вопрос теорию Дирака. Тамм сообщил Дираку:

«Паули заметил: он точно проверил, что в рамках теории дырок взаимодействие электронов и протонов не может исключить одинаковость их массы».

Спустя немного времени, в ноябре 1930 года, Вейль в свою очередь доказал, что дырка в теории Дирака должна обязательно иметь ту же массу, что и электрон. Результат Вейля начал понемногу расшатывать веру Дирака в собственную модель протона и в идею единой теории для протона и электрона. Он особенно оценил возражения Вейля, поскольку способ этого ученого представлять физику через математику совпадал с его собственным. Кстати, по поводу Вейля Дирак писал:

«Вейль был больше математиком, чем физиком. Он анализировал математические последствия идеи, развивая то, что вытекало из разных симметрий. Так, Вейль пришел к выводу, что дырки должны иметь точно такую же массу, что и электроны. Он никак не прокомментировал физические последствия этого вывода; возможно, они его даже не интересовали».

Теоретики должны обращать больше внимания на математические основы их предмета исследования и гораздо меньше — на лабораторные результаты.

Поль Дирак

В начале 1931 года Дирак согласился с идеей Вейля и решил отказаться от своей теории, тем не менее сохранив уверенность в существовании моря Дирака. В мае 1931 года он опубликовал новую статью, в которой представлял иную версию своей теории дырок и предлагал еще более смелую гипотезу: дырки в море электронов с отрицательной энергией соответствуют новым частицам, еще не открытым. В данной статье под названием «Квантовые сингулярности в электромагнитном поле» Дирак писал:

«Мы можем предположить, что в мире, который мы знаем, все состояния с отрицательной энергией заняты электронами. Дырка, если она существует, будет новой частицей, неизвестной экспериментальной физике; у нее будет такая же масса, как у электрона, но противоположный заряд. Мы можем назвать такую частицу антиэлектроном. Мы не ждем обнаружения ее в природе — из-за ее быстрого взаимодействия с электроном; однако, если бы она была получена через опыт в вакууме, она была бы тоже стабильной, и ее можно было бы наблюдать. Столкновение двух высокоэнергетических гамма-лучей способно привести к рождению пары электрон/антиэлектрон. Вероятность этого процесса, с нынешней интенсивностью гамма-излучения, ничтожна».

ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Летом 1930 года появилось первое издание «Принципов квантовой механики»Дирака, вышедшее, как ни странно, в издательстве Oxford University Press.

Книгу ждал успех, особенно популярным стал перевод на русский. В 1930-е годы«Принципы...»стали обязательной книгой для всего сообщества квантовой физики. Стиль и способ изложения соответствовали обычной манере Дирака, которую он сам называл «символическим методом». Общая теория представлена ясным и лаконичным языком и через абстрактную математическую формулировку, которая практически никак не соотносится с эмпирическими наблюдениями или с физической интерпретацией. В книге не упоминается никакая историческая эволюция, в ней нет иллюстраций, почти никаких ссылок и библиографии. С педагогической точки зрения «Принципы...»с самого появления считались слишком абстрактным и сложным учебником. Большинство студентов полагают, что книга не приспособлена для начала изучения физики и понимания главных аспектов квантовой теории. И это не только их мнение. Сам Эренфест оценил ее как «слишком сложную для понимания... ужасную книгу». А для Эйнштейна, напротив, она была «логическим и самым прекрасным представлением квантовой механики на сегодняшний день». Паули рассматривал данное сочинение как большой успех и советовал старательно его изучать, однако и он критиковал символический метод Дирака, заметив: «...есть риск, что теория оказывается без видимой связи с реальностью». «Принципы...» были много раз переизданы, и в варианте 1947 года Дирак ввел свои знаменитые обозначения бра и кет, сегодня используемые в каждом тексте по квантовой механике.

В этой статье Дирак не только выдвинул гипотезу существования антиэлектронов, но и пошел дальше, поскольку применил свое предположение к любому виду частиц:

«Похоже, что протоны тоже обладают состояниями с отрицательной энергией, которые все заняты. Дырки в этих состояниях должны вести к появлению антипротонов».

В нескольких абзацах Дирак представлял гипотезу существования античастиц. Но была ли эта гипотеза лишь отчаянной попыткой сохранить теорию дырок или же она хоть немного опиралась на реальность?

ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА

Космические лучи (заряженные частицы) из внешнего пространства стали интересной областью исследования. Этот предмет стал даже одним из главных исследовательских проектов Роберта Э. Милликена и его коллег в Калифорнийском технологическом институте (Калтехе). В ноябре 1931 года Милликен дал несколько семинаров в Кавендишской лаборатории в Кембридже, во время которых показывал фотографии, сделанные его бывшим аспирантом Карлом Д. Андерсоном (1905-1991). На них были видны оставляемые электронами и некоторыми положительными частицами траектории в камере Вильсона.

Физик Патрик М.С. Блэкетт (1897-1974) был сразу же очарован результатами Андерсона и начал исследовательский проект по изучению космических лучей в Кавендишской лаборатории. Но вся слава в Кембридже в следующие месяцы досталась Джеймсу Чедвику (1891-1974) и его открытию нейтрона. В феврале 1932 года, через 12 лет после того, как Резерфорд предположил существование этой частицы, нейтрон был наконец обнаружен.

Летом 1932 года Андерсону удалось сфотографировать траекторию частиц, которые, казалось, соответствовали, с одной стороны, электронам, а с другой — положительным частицам, также отклонявшимся, как и электроны. Андерсон опубликовал результаты в журнале Science и в своей статье очень осторожно интерпретировал эти частицы. Закончил он ее следующими словами: «Представляется необходимым рассмотреть вопрос о существовании частицы с положительным зарядом, которая имеет массу, сопоставимую с массой электрона». Однако работа Андерсона осталась практически незамеченной. Кроме того, в его статье не устанавливалось никакой связи с гипотезой антиэлектрона Дирака.

В Кембридже Блэкетт и Джузеппе Окьялини (1907-1993) получили результаты, которые подтверждали результаты Андерсона, но они прямо соотнесли их с антиэлектронами Дирака. В опубликованной ими статье содержался следующий вывод:

«Кажется, не существует доказательств, опровергающих теорию Дирака; напротив, в этой теории предсказано достаточно долгое время жизни положительного электрона для наблюдения его в камере Вильсона и в то же время достаточно короткое для того, чтобы объяснить, почему он не был обнаружен другими способами».

Название «позитрон» появилось впервые во второй статье Андерсона, опубликованной в 1933 году. Эмпирическое открытие позитрона стало триумфом теории Дирака. Однако значительное число физиков продолжали сохранять критическое отношение к морю Дирака и интерпретации частицы как дырки в этом море. Бор писал: «Даже когда вопрос о позитроне установлен, я остаюсь при своем убеждении в том, что это не имеет никакого отношения к морю Дирака». Паули также писал Дираку: «Я не верю в вашу теорию дырок несмотря на то, что существование антиэлектрона доказано».

Фотография позитрона, сделанная Карлом Д. Андерсоном благодаря камере Вильсона — устройству, заполненному насыщенными парами и помещенному в магнитное поле; в нем заряженные частицы оставляют след своей траектории.

Скептицизм Паули и многих других физиков по поводу теории дырок еще некоторое время сохранялся. Нелегко было принять идею вакуума, образованного из бесконечного числа электронов с отрицательной энергией. Однако в то же время оставалось неоспоримым, что некоторые следствия данной теории (например, существование антиэлектрона и его отождествление с положительным электроном, обнаруженным Андерсоном) являются очевидными фактами. Должно было пройти еще много времени, прежде чем существование античастиц и процесс рождения и аннигиляции пар частица/античастица получили объяснение без использования моря Дирака.

ЗАСЛУЖЕННАЯ СЛАВА

Публикация релятивистской теории электрона сделала Дирака одним из самых уважаемых физиков в мире. Он все чаще участвовал в конгрессах и конференциях, поскольку его теория вызывала огромный интерес. Этот интерес к теории дырок и взаимодействию протонов и электронов с годами только рос. Дирак много ездил по разным научным центрам. Помимо главных европейских исследовательских центров (Копенгаген, Геттинген, Лейпциг, Лейден и так далее) он часто посещал США и Советский Союз. В феврале 1931 года Дирак был избран иностранным членом Академии наук СССР и официально считался большим другом Советского Союза. Он стал одним из немногих физиков, которые еще могли ездить в СССР после 1934-1935 годов.

Дираку открылась возможность работать на кафедрах в самых престижных университетах. В 1928 году, спустя несколько месяцев после появления его теории электрона, университет Манчестера предложил ему должность профессора. Чуть позже американский физик Артур Комптон пригласил его занять кафедру в университете Чикаго. В последующие годы выбор стал еще шире: Торонто, Принстон, Мадисон... Несмотря на более выгодные в экономическом смысле предложения, Дирак решил остаться в университете Кембриджа. В феврале 1930 года он был избран членом Лондонского королевского общества, что является самым престижным знаком признания научных заслуг в Великобритании. Эта процедура предполагает много предварительных голосований, однако Дирака избрали с первого раза. Кроме того, на тот момент ему было только 27 лет — гораздо меньше среднего возраста, подходящего для того, чтобы стать членом Общества.

В июле 1932 года руководство Кембриджского университета решило, что Дирак примет у Джозефа Лармора Лукасовскую кафедру. Такое назначение ни для кого не стало сюрпризом. Дирак считался одним из самых блестящих физиков того времени и, несомненно, самым блестящим физиком Великобритании. Казалось естественным, что именно он займет самую важную кафедру страны и одну из самых престижных кафедр мира. В XVII веке Лукасовскую кафедру более 30 лет занимал Исаак Ньютон. Дирак занимал ее в течение 37 лет. Кстати, оба ученых получили назначение в одном возрасте: у Дирака оно состоялось, когда ему только исполнилось 30 лет — всего на несколько месяцев больше, чем Ньютону, когда тот возглавил кафедру.

В 1933 году Дирак получил высшую научную награду — Нобелевскую премию. Когда в ноябре 1933 года были названы имена трех лауреатов, ученый был удивлен, в отличие от двух других претендентов — Гейзенберга, один раз уже получившего Нобелевскую премию в 1932 году, и Шрёдингера, который разделил с Дираком премию 1933 года. Дирак получил Нобелевскую премию в возрасте 31 года и стал самым молодым из всех нобелевских лауреатов, награжденных за исследования в области теоретической физики. Когда имена всех лауреатов были оглашены, стало возможным оценить исключительность присуждения премии Дираку в 1933 году: за свою карьеру он получил всего две награды, что резко контрастировало, например, со Шрёдингером, у которого их было одиннадцать. Нобелевская премия была присуждена ему «за открытие новых продуктивных форм атомной теории».

Физик Карл Вильгельм Озеен, личный друг Нильса Бора, произнес речь о Дираке перед Нобелевским комитетом. Озеен продемонстрировал критическое отношение к работе Дирака: он признавал ее ценность и оригинальность, но считал менее основополагающей, нежели работы других физиков, таких как Гейзенберг, Эйнштейн, Планк или Бор. В то время Озеен, вероятно, был неспособен оценить революционный характер теорий Дирака. Никакой другой исследователь не оказал такого влияния на развитие физики в последующие десятилетия.

Речь Дирака во время церемонии вручения Нобелевской премии была посвящена «теории электронов и позитронов». Он упомянул об антиэлектронах и антипротонах и заключил свое выступление следующими словами:

«Мы должны рассматривать тот факт, что Земля (и, возможно, вся Солнечная система) образована, главным образом, из отрицательных электронов и положительных протонов как случайность. Очень вероятно, что для некоторых звезд ситуация является обратной, то есть они состоят из позитронов и антипротонов. На самом деле половина звезд должна принадлежать к первому типу, а другая половина — ко второму. Две категории звезд имеют совершенно одинаковый спектр, и их нельзя различить при помощи методов современной астрономии».

Дирак представил нам Вселенную, в которой вещество и антивещество равным образом являются главными элементами. Вымысел это или реальность?

ГЛАВА 4

Квантовая электродинамика

С самого рождения квантовой механики многие ученые, в том числе и Дирак, пытались описать электромагнитное поле и взаимодействие частиц в рамках новой теории. С годами квантовая электродинамика, одним из создателей которой считается Дирак, стала необычайно точной физической теорией. Для героя этой книги она была, кроме того, источником самого большого разочарования за всю его научную карьеру: он так и не принял способ, которым она избавилась от бесконечных величин, полученных с его же помощью.

На знаменитой фотографии (см. страницу 123), где запечатлены беседующие Дирак и американский физик Ричард Фейнман (1918-1988), особенно заметен жестикулирующий Фейнман. Содержание их беседы нам неизвестно; возможно, собеседник Дирака рассказывал ему о только что состоявшемся новом открытии в субатомном мире. Как бы то ни было, фотография прекрасно передает характер двух ученых — открытого и разговорчивого Фейнмана и, напротив, замкнутого и лаконичного Дирака. Можно предположить контекст этого снимка: Фейнман использует свои знания и способность убеждать, стремясь уверить Дирака в целесообразности квантовой электродинамики, которую он считает жемчужиной физики. Зато Дирак сохраняет внешнее отсутствие интереса, пребывая в уверенности: для физики было бы лучше, если бы квантовая электродинамика в том виде, в котором она существует, вообще исчезла. Несколькими годами ранее он писал:

«Единственной важной ветвью квантовой физики, о которой нам следует забыть, является квантовая электродинамика. [...] Мы должны покончить с ней без всяких возражений. [...] Впрочем, учитывая чрезвычайную сложность этой теории, многие физики будут рады ее исчезновению».

Как Дирак, считающийся основателем квантовой электродинамики и, несомненно, оказавший самое большое влияние на ее последнюю формулировку — ту, что известна сегодня, — мог прийти к такому выводу?

ПЕРВОПРОХОДЧЕСКИЕ РАБОТЫ

До 1925 года значительное число физиков осознали необходимость квантового описания электромагнитного излучения и объяснения взаимодействия излучения с веществом в рамках квантовой теории. Было известно, что атомы испускают и поглощают излучение, то есть фотоны постоянно появляются и исчезают. Вопрос состоял в том, как описать данное явление. Эйнштейн ввел в 1917 году коэффициенты вероятности, связанные с процессом испускания и поглощения излучения. Он открыл простое соотношение этих процессов, но оказался неспособен рассчитать их, исходя из существующей квантовой теории. По его собственным словам, «для этого нужна точная теория электродинамики и механики», которой тогда еще не было. Ее развитие в будущем потребовало многих усилий.

Появление квантовой механики вместе с основополагающими работами Гейзенберга ознаменовало начало попыток решения проблем, которые поставил Эйнштейн. Паскуаль Йордан стал первым, кто пытался разработать квантовую теорию электромагнитного поля. Ему удалось объяснить некоторые результаты, полученные ранее Эйнштейном. Но он не смог описать коэффициенты испускания и поглощения излучения. Для этого нужно было иметь возможность опираться на теорию взаимодействия излучения и вещества. Она была разработана Дираком в феврале 1927 года — с тех пор считается, что именно он в своей статье заложил основы квантовой электродинамики (известной под английской аббревиатурой QED: Quantum ElectroDynamics). Квантовая электродинамика — это квантовая теория, описывающая поведение и взаимодействие электронов и/или позитронов друг с другом и с фотонами.

Статья Дирака, законченная в 1927 году во время его первой поездки в Копенгаген, называлась «Квантовая теория испускания и поглощения излучения». Годы спустя Дирак объяснил:

«Эта статья родилась из простой игры с уравнениями. В то время я думал разработать теорию излучения и начал играть с уравнением Шрёдингера. Мне пришла в голову идея приложить правила квантования к самой волновой функции, поскольку речь шла о квантовом q-числе. Так я открыл связь со статистикой Бозе — Эйнштейна».

Во вступлении к статье Дирак четко поставил проблему:

«Новая квантовая теория позволяет исследовать математическими методами любую динамическую систему, состоящую из определенного количества частиц и действующих между ними единовременных сил. [...] Зато мы еще ничего не знаем ни о правильном обращении с системой, в которой силы распространяются со скоростью света, ни об электромагнитном поле, производимом движущимся электроном, ни о том действии, которое это поле оказывает на электрон. [...] Однако представляется возможным выстроить удовлетворительную теорию испускания излучения и действия, которое это излучение оказывает на саму систему».

Какими путями собирался идти Дирак, чтобы выстроить эту теорию? Его путь был следующим: он применил метод вторичного квантования к электромагнитному полю и изучил его взаимодействие (или взаимодействие фотонов) с электронами. Он представил проблему в двух ракурсах: корпускулярном и волновом. В первом случае излучение описывалось как общность частиц, перемещающихся со скоростью света, которые не взаимодействуют между собой и согласуются со статистикой Бозе — Эйнштейна. Во втором случае электромагнитное излучение описывалось через потенциал векторного поля и составляющие волновой функции, к которым применимо преобразование Фурье. Оба подхода давали одинаковые результаты. Работы Дирака оказали существенное влияние на физиков того времени. Впервые было разработано последовательное описание «квантов» света через основополагающие принципы только что появившейся квантовой механики. В статье Дирака была представлена первая квантовая теория электромагнитного поля; кроме того, в ней объяснялся процесс испускания и поглощения света веществом. Дирак выработал ряд точных математических формул для описания этих процессов, введя такие понятия, как «вторичное квантование» и «операторы рождения и уничтожения». Сегодня без них нельзя выстроить квантовую теорию излучения.

НУЛЕВОЕ СОСТОЯНИЕ

В первоначальном варианте своей статьи «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» Дирак вводил понятие «нулевого состояния» вакуума, которое подразумевало бесконечное множество фотонов, обладающих нулевыми энергией и моментом (без какого-либо наблюдаемого эффекта). Так, операторы рождения и уничтожения характеризуют рожде- ' ние или аннигиляцию настоящих фотонов: в одном случае их можно было наблюдать, в другом случае они исчезали, переходя в нулевое состояние. С помощью такого подхода Дирак выстроил гамильтониан, описывающий взаимодействие между фотоном и атомом, и смог рассчитать вероятность испускания и поглощения излучения: «Когда поглощается квант света, мы можем считать, что этот квант совершил скачок к нулевому состоянию. Когда же испускается квант света, мы можем интерпретировать данное явление как переход из нулевого состояния в физическое, как если бы в некотором смысле этот квант был рожден. Нет никакого ограничения количества квантов, которые могут быть рождены или уничтожены, поскольку мы можем предположить, что существует бесконечное число фотонов в нулевом состоянии». Интересно заметить, что такая интерпретация нулевого состояния похожа, по сути, на теорию дырок, которую Дирак разработает несколькими годами позже вместе с релятивистским уравнением электрона (см. главу 3).

«РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ*

Благодаря своей теории Дирак смог описать процесс испускания и поглощения электромагнитного излучения веществом. Однако он заметил:

«Теория не распространяется на процессы излучения самого общего типа, в которых множество квантов света действует одновременно».

На самом деле теория Дирака распространялась на эти процессы, но в расчеты надо было включить члены высшего порядка. Важно заметить, что в большинстве случаев, особенно в случае взаимодействия излучения и вещества, уравнение Шрёдингера точно решить невозможно; необходимо использовать такие приближенные методы, как «метод возмущений». Согласно последнему интенсивность взаимодействий между излучением и атомом гораздо меньше энергий рассматриваемой системы (атома); таким образом, взаимодействие излучения и вещества может рассматриваться как небольшое возмущение рассматриваемой системы.

Метод возмущений похож на математическую операцию, с помощью которой функция записывается в виде формального степенного ряда по степеням малого параметра и позволяет найти решение для бесконечного числа проблем; однако результат носит лишь приближенный характер. Чем больше членов решения, тем меньше будет ценность параметра, взятого за основу. В случае электромагнитного взаимодействия параметром, определяющим расчет возмущения (то есть дальнейших членов, появляющихся в разном порядке по мере создания степенного ряда), является постоянная тонкой структуры

α = е2/4π ≈ 1/137.

Дирак включил члены второго порядка в свою теорию взаимодействия излучения и вещества. В Геттингене он закончил свою статью «Квантовая теория дисперсии», в которой ввел понятия, имевшие большое значение для далекого будущего квантовой теории излучения. В статье он писал:

«Рассеянное излучение появляется благодаря двойному процессу, в котором возникает третье состояние (назовем его n) с собственной энергией, отличное от изначального состояния m'і и конечного состояния m. [...] Эти процессы идут следующим образом: m' → n и n → m. Один из них соответствует процессу поглощения, а другой — процессу излучения. Собственная общая энергия в них не сохраняется».

Приведенный выше параграф перекликается с тем, что позднее будет названо «виртуальными частицами» — главным понятием для объяснения взаимодействия между частицами. Кроме того, Дирак не ожидал появления расходящихся интегралов, дающих результат с бесконечным пределом.

Дирак не изменил своей прагматичной позиции и заявил, что подобная «трудность возникает не из-за основополагающей ошибки теории, а из-за приближений, принятых в расчет». Результаты с бесконечными величинами появлялись только в расчете членов высшего порядка (и не появлялись у членов первого порядка), и это означало, что принятые в расчет приближения в описании физической системы не были обоснованными. Дирак был убежден, что более точная теория даст безупречные результаты. Однако, как мы увидим в дальнейшем, проблема бесконечных пределов решений сохранялась еще многие годы и стала самым большим разочарованием его научной карьеры.

«НЕМЕЦКОЕ» ВИДЕНИЕ И КРИТИКА ДИРАКА

Дирак считал частицы главным объектом квантовой теории. Зато Йордан и его немецкие коллеги первичным понятием называли поле. Таким образом, известные частицы проявлялись в процессе квантования соответствующих классических полей.

Участники Сольвеевского конгресса 1933 года. Дирак девятый слева.

Дирак (в центре) с физиками Робертом Оппенгеймером (слева) и Абрахамом Пайсом.

Йордан и его коллеги расширили метод «вторичного квантования» и распространили его не только на электромагнитное поле (как это сделал Дирак), но также на любой вид частиц и поля.

Эти работы о поле, которые Йордан считал своим самым важным открытием в области теоретической физики, заложили основы того, что через несколько лет получило название «квантовой теории поля».

Йордан, Клейн и Вигнер опубликовали множество статей, в которых применяли метод вторичного квантования к частицам с полуцелым спином, таким как электроны и протоны. Дирак критиковал эти статьи:

«Теория Йордана является достаточно искусственной. Для получения предполагаемого результата в ней используется слишком специфический метод квантования поля».

Следующий этап квантовой теории излучения относится к 1929-1930 годам, когда были опубликованы две статьи, написанные Гейзенбергом и Паули. Ученые исходили из теории, разработанной Йорданом, и ставили перед собой более чем амбициозную цель: найти «общую релятивистскую инвариантную формулировку электродинамического взаимодействия частиц». Теория Гейзенберга и Паули вводила единое описание электромагнитного поля и полей, соответствующих электрону и протону, используя только что появившееся уравнение Дирака.

Однако по поводу новой теории было много споров: они возникали из-за расхождений, появляющихся в расчетах собственной энергии заряженных частиц (энергии, приобретенной частицами при взаимодействии с электрическим полем, которое они сами производят). Йордан критиковал статью Гейзенберга и Паули, утверждая, что она не вносит почти ничего нового по сравнению с их предыдущими работами, и выказывал пессимистичное отношение по поводу результатов с бесконечными пределами, возникающих при использовании этой теории:

«Собственная энергия электрона является беспредельной, и, следовательно, она представляет такую трудность, что дальнейшая работа с ней невозможна».

РИЧАРД ФЕЙНМАН И ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ ДИРАКА

В 1933 году Дирак применил «лагранжев формализм», широко используемый в классической механике, к квантовому миру. Он объяснил свой подход тем, что метод Лагранжа в некоторых аспектах оказывается более фундаментальным, нежели анализ, основанный на использовании гамильтониана.

Уравнения движения можно получить напрямую из принципа наименьшего действия.

Впрочем, лагранжиан может быть легко выражен в релятивистской форме. Статья Дирака «Лагранжиан в квантовой механике»была опубликована в советском журнале и осталась без внимания, пока Ричард Фейнман не открыл ее заново в 1941 году, во время работы над диссертацией. Работы Дирака стали откровением для американского физика. На их основе он развил новую формулировку квантовой механики — «формулировку через интеграл по траекториям». Фейнман считал Дирака одним из самых проницательных и блестящих физиков и искренне восхищался им (даже когда Дирак стал крайне отрицательно относиться к квантовой электродинамике). Вигнер говорил, что Фейнмана можно считать «вторым Дираком, но на этот раз человеком».

Ричард Фейнман (справа) в разгар беседы с Дираком.

Йордан не смог справиться с чувством неудовлетворенности и скоро оставил изучение взаимодействия излучения и вещества. Через несколько лет он оставил и физику. Дирак тоже критиковал работы Гейзенберга и Паули, замечая:

«В теории наличествует столько приближений, что все аспекты, вытекающие из специальной теории относительности, исчезают. Результаты, указанные в статье, могли быть получены с помощью гораздо более простой нерелятивистской теории».

В 1932 году Дирак опубликовал две статьи, в которых более ясно излагал свои возражения против теории Гейзенберга и Паули. Первая статья, которую он написал один, называлась «Релятивистская квантовая механика». В ней ученый критиковал использованный Гейзенбергом и Паули метод и замечал:

«Если мы хотим пронаблюдать систему взаимодействующих частиц, единственным действенным методом будет подвергнуть эти частицы воздействию электромагнитного поля и посмотреть, как они себя поведут. То есть поле является только средством для осуществления наблюдений. Истинная природа наблюдения предполагает тесную связь между полем и частицами. Таким образом, мы не можем рассматривать поле как динамическую систему, сходную с системой частиц, как это происходит в статье Гейзенберга и Паули».

Вторая статья 1932 года, написанная в соавторстве с Владимиром Фоком (1898-1974) и Борисом Подольским (1896— 1966), называлась «О квантовой электродинамике». Три физика расширили предыдущую теорию и представили релятивистскую инвариантную формулировку основополагающих уравнений квантовой электродинамики. Они также показали эквивалентность этой теории и теории, разработанной Гейзенбергом и Паули.

Немецкие физики очень критично восприняли первую статью Дирака. Комментарии Паули были крайне резкими:

«Я не желаю злопыхательствовать, но его новая статья далека от того, чтобы быть шедевром. После крайне путаного и беспорядочного введения, полного едва понятных фраз, он заканчивает одномерным, весьма упрощенным примером, результаты которого совпадают с результатами, полученными с помощью теории Гейзенберга и моей несколькими годами ранее».

Зато вторая статья (написанная вместе с Фоком и Подольским) была положительно принята Паули, отметившим «математическую элегантность, использованную авторами для релятивистской инвариантной формулировки теории».

Настоящее значение двух статей Дирака было осознано гораздо позднее, в 1940-х годах, когда именно этими работами вдохновились два основателя современной квантовой электродинамики: японский физик Синъитиро Томонага (1906-1979), который отзывался о первой статье Дирака следующими словами: «Она привлекла мое внимание новизной своей философии и красотой своей формы», и американский физик Джулиан Швингер (1918-1994), с юных лет интересовавшийся результатами и формулировкой статьи Дирака, Фока и Подольского. Дирак также оказал заметное влияние на третьего основателя современной квантовой электродинамики, американского физика Ричарда Фейнмана.

ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНА

Теория дырок Дирака, утверждавшая существование антиэлектрона, и последующее открытие позитрона стали знаковыми этапами в развитии квантовой электродинамики. Процесс рождения и аннигиляции пары частица/античастица стал естественным объяснением взаимодействия фотона с веществом. В рамках принципа эквивалентности массы и энергии и принципа неопределенности Гейзенберга корректно объяснялось, как энергия электромагнитного поля может превращаться в вещество, и наоборот. Естественно, что с этого момента физик, который заявил о существовании антивещества, сделал вторую попытку сформулировать квантовую теорию излучения. Дирак представил свою новую статью на Сольвеевском конгрессе, состоявшемся в Брюсселе в октябре 1933 года. Она называлась «Теория позитрона». Спустя короткое время после конференции он углубил свою теорию с помощью детальной математической формулировки. Его новая статья была опубликована в начале 1934 года под названием «Обсуждение бесконечного распределения электронов в теории позитронов».

Дирак осознавал, насколько серьезные проблемы (связанные с бесконечными величинами при расчетах энергии электрона) существуют в квантовой электродинамике. Введение позитрона в квантовую теорию излучения не решило проблемы бесконечности для собственной энергии. Кроме того, появились неожиданные эффекты, такие как поляризация вакуума, которые добавили новых трудностей. Дирак закончил доклад на Сольвеевском конгрессе следующим утверждением:

«Согласно результатам, полученным из расчетов, похоже, что электрические заряды, наблюдаемые обычно у электронов, протонов и других частиц, не являются настоящими зарядами этих частиц (теми, которые появляются в основополагающих уравнениях), но эти заряды немного меньше».

Смысл заявления физика лучше понятен из письма Дирака Бору, которое он послал за несколько недель до начала конгресса:

«В последние месяцы мы с Пайерлсом работали над возможным изменением, которое производит статичное электромагнитное поле в распределении электронов с отрицательной энергией. Мы смогли наблюдать, что это распределение производит частичную нейтрализацию изначального заряда поля. [...] Если не учитывать возмущения, производимые полем в море электронов с энергиями меньше -137^2, нейтрализация заряда является слабой — порядка 1/137. Из этого мы заключили, что все физические заряженные частицы — электроны, протоны и другие — имеют меньший эффективный заряд, нежели их настоящий заряд. [...] Эффективный заряд — это заряд, измеряемый реально в любом опыте с низкой энергией. [...] Настоящее значение немного выше. [...] Мы также должны быть готовы к небольшим изменениям в формуле рассеяния Резерфорда, в формуле Клейна — Нишины, в выражении постоянной тонкой структуры Зоммерфельда и так далее».

В приведенном выше тексте Дирак вводит понятия, ставшие современным языком квантовых теорий поля. «Эффективный заряд» Дирака является тем, что сегодня называют физическим зарядом. «Настоящий заряд» соответствует голому заряду. А возмущения, производимые полем в море электронов с отрицательной энергией, представляют собой то, что известно в наши дни как процесс поляризации вакуума.

Единственной целью теоретической физики является расчет результатов, которые могут быть сопоставлены с результатами опытов. [...] Совершенно излишне искать удовлетворительное описание всего хода явлений.

Поль Дирак

Физик осуществил первый расчет изменения заряда, связанного с наличием моря Дирака. Снова появились расходящиеся интегралы. Дирак решил проблему с помощью разных математических приемов, позволивших ему избежать расходящихся интегралов. Его способ лег в основу того, что позднее, в конце 1940-х годов, будет названо методом перенормировки (он подробно объяснен в следующем разделе данной главы).

Эти техники дали возможность переформулировать теорию квантовой электродинамики, превратив ее в самую точную физическую теорию.

Новая теория Дирака была принята довольно сдержанно и вызвала резкую критику со стороны его коллег. Паули находил идеи Дирака «искусственными, математически слишком сложными и лишенными физического смысла». Обычно сдержанный Гейзенберг высказался еще резче, расценив теорию как абсурдную. Понятие поляризации вакуума, введенное Дираком, однако закрепилось, и очень скоро другие ученые начали изучать этот эффект.

Сообщество физиков было озадачено и в основном испытывало чувство неудовлетворения. Сам Дирак становился все более скептичным, и по сути его мнение не отличалось от мнения Гейзенберга и Паули. Он попытался решить проблему бесконечных величин, используя сложные и «искусственные» математические техники, вопреки «математической красоте физики» (а следование ей было самым дорогим ему принципом). В последующие годы разочарование Дирака достигло такой степени, что он пошел еще дальше своих коллег в критике квантовой электродинамики.

ПРОБЛЕМА БЕСКОНЕЧНЫХ ВЕЛИЧИН И ПЕРЕНОРМИРОВКА

Проблема результатов с бесконечными пределами и расходящихся интегралов уже появлялась в XIX веке в связи с электромагнитной теорией Максвелла. Электрически заряженная частица порождает вокруг себя поле, которое в свою очередь производит электромагнитную энергию, меняющую массу частицы («собственная энергия»). Эта энергия обратно пропорциональна расстоянию между положением заряженной частицы и положением, в котором вычисляется энергия поля. Трудность заключается в следующем: какую энергию производит электромагнитное поле, образованное частицей в ее собственном положении? Логически расстояние равно нулю, что влечет за собой результат в виде бесконечной величины. С классической точки зрения проблема решена, так как частица имеет определенную структуру и конечное расширение, поскольку заряд распределен по ее поверхности. Поэтому энергия, произведенная полем, обратно пропорциональна радиусу, определяющему расширение частицы.

В квантовой физике не допускается представление об электроне с пространственным расширением; напротив, электрон является элементарной частицей, без внутренней структуры. Квантовое описание электрического поля, образованного электроном, задано через испускание или поглощение виртуальных фотонов, существование которых вытекает из принципа неопределенности Гейзенберга. Этот процесс изображен на рисунке 1. Такие графики называются «диаграммами Фейнмана». В определенный момент электрон, представленный непрерывной линией, испускает фотон, который затем вновь поглощается самим электроном (траектория фотона соответствует волнистой линии). Расчет данного процесса (вычисление собственной энергии электрона) ведет к появлению расходящихся интегралов. Описанный процесс соответствует самому простому случаю, когда испускается и поглощается только один фотон. Но можно представить гораздо более сложные процессы, увеличивая количество вовлеченных виртуальных фотонов.

РИС. 1

РИС. 2

РИС. 3

Сочетание принципа неопределенности и принципа эквивалентности массы и энергии является главным для понимания квантового вакуума. В квантовом вакууме непрерывно происходят квантовые колебания, которые могут привести к рождению виртуальных пар частица/античастица. Введенное Дираком понятие поляризации вакуума напрямую связано с этими виртуальными парами. Рассмотрим электрон, непрерывно испускающий и поглощающий виртуальные фотоны, которые в свою очередь могут приводить к рождению виртуальных пар электрон/позитрон. Позитроны стремятся приблизиться к физическому электрону, тогда как виртуальные электроны стремятся удалиться от них (см. рисунок 2).

Этот процесс тоже может быть показан через диаграммы. В результате видно, что заряд электрона частично нейтрализуется «облаком» окружающих его виртуальных позитронов (см. рисунок 3).

Процесс, представленный на предыдущих рисунках, может быть рассчитан; результат с бесконечным пределом появляется, когда расстояние стремится к нулю. Важно заметить, что анализ все более коротких расстояний приводит к рассмотрению все больших энергий, и поэтому бесконечное количество все более сложных процессов может значительно влиять как на энергию, так и на массу электрона.

Решение проблемы бесконечных величин появилось в конце 1930-х годов вместе с работами Хендрика А. Крамерса (1894-1952). Главная идея заключалась в следующем: в квантовой теории имеют смысл только те величины, которые можно измерить; иначе говоря, величины, которые невозможно измерить, определять не имеет смысла, они могут быть неопределенными. Так, масса и заряд электрона, наблюдаемые в лаборатории, соответствуют действительному электрону, то есть электрону, испускающему и поглощающему виртуальные фотоны, непрерывно поляризуя вакуум. Зато величины, появляющиеся в уравнениях квантовой электродинамики, соответствуют массе и заряду электронов, которые не подвергаются взаимодействию (обычно называемые идеальными или голыми электронами). Между тем эти величины «голых» электронов (m_0,е_0) могут быть неопределенными (бесконечными), поскольку они соответствуют не физической ситуации. В реальности действительный электрон всегда является объектом взаимодействия: даже если он изолирован, он взаимодействует сам с собой, испуская и поглощая фотоны.

В конце 1940-х годов Фейнман, Швингер и Томонага разработали математический метод, позволяющий получить однозначные результаты. Он называется «методом перенормировки» и устанавливает отношение между измеренными в лаборатории значениями массы и заряда электрона и «возможными» значениями, соответствующими «голому» электрону. Данное отношение задано через постоянные перенормировки.

Как определить эти постоянные для физических результатов таким образом, чтобы они не были двусмысленными? Процедура, разработанная Ричардом Фейнманом, заключалась во введении числа минимального вычитания в решениях различных интегралов так, чтобы их результат и, соответственно, значения «голого» электрона имели конечный предел. Однако проблема состоит в том, что эти значения во многом зависят от выбранного числа вычитания. Иначе говоря, свойства «голого» электрона по-прежнему не определены.

Особенно интересно, что полученные в результате этого процесса «голые» значения, полностью зависящие от числа вычитания, всегда соответствуют физическим результатам — при условии, что исчисление физических свойств электрона включает все то, что предварительно было учтено при определении «голых» значений. Другими словами, число вычитания влияет только на определение «голых» значений — теоретических чисел, которые прямо наблюдать нельзя. Как бы там ни было, несмотря на неоспоримый шаг вперед в развитии квантовой электродинамики, сам Фейнман считал операцию перенормировки «слегка безумной».

ГОДЫ РАЗОЧАРОВАНИЙ И УТРАТЫ ИЛЛЮЗИЙ

В 1934 году, когда Дирак опубликовал свою статью о теории позитрона, Оппенгеймер и другие физики разработали новую версию теории электронов и позитронов, которая позволяла не прибегать к понятию моря Дирака. В том же году Паули (возможно, самый яростный противник теории дырок Дирака) и его ученик Виктор Вайскопф (1908-2002) осуществили квантование поля, описанного уравнением Клейна — Гордона. Из их работы стало очевидно, что пары частица/античастица также возникают и в случае бозонов (частицы с целым спином). Паули назвал данную работу «антидираковской теорией».

Однако во всех теориях присутствовали бесконечные величины. Зайдя в тупик, многие физики решили сменить область исследования; некоторые даже оставили эту науку. Дирака волна уныния тоже не миновала. Как и некоторые из его коллег, он был убежден, что существующая теория нуждается в радикальном изменении. До конца своих дней ученый искал решение этой проблемы, но напрасно. Без сомнения, один из основателей квантовой электродинамики испытывал еще большее чувство неудовлетворенности, нежели другие его коллеги. Йордан, бывший в числе основателей квантовой теории излучения, вообще перестал заниматься физикой.

Отношение Дирака к квантовой электродинамике изменилось в рекордное время. В начале 1935-го, через год после создания теории позитрона, он еще придерживался неопределенной позиции и верил в теорию:

«Квантовая электродинамика не может считаться действительно удовлетворительной теорией, однако она еще сохраняет некоторые свойства, достойные интереса: это релятивистская инвариантная теория, что может показаться весьма удивительным».

Меньше чем через год Дирак потерял свою веру и стал одним из самых суровых критиков квантовой электродинамики. В порыве развенчания теории он противоречил самому себе во многих аспектах, благодаря которым он стал столь блестящим физиком.

В 1936 году Дирак написал слова, приведенные в начале этой главы, которыми без особых эмоций подтверждал отказ от квантовой электродинамики. Они были вызваны опытом, реализованным в конце 1935 года американским физиком Робертом Шенкландом (1908-1982). Результаты его опыта, ставившего, казалось, под вопрос принцип сохранения энергии в атомных процессах, Дирак использовал для резкой критики квантовой теории излучения. По словам физика, результаты опыта Шенкланда означали «отказ от квантовой электродинамики и нейтрино». Также и его видение нейтрино — гипотетической частицы, о существовании которой заявил Паули в 1930 году для объяснения бета-распада, — радикально изменилось за два года.

Опыт Шенкланда послужил причиной радикального изменения не только идей Дирака, но также и его подхода к физике. Впервые он безоговорочно принял неподтвержденные результаты одного опыта, поскольку тот позволял оправдать его предвзятые рассуждения и заключения. Дирак избрал путь, которому не последовал никто из физиков. Он прекрасно знал, что если результаты опыта Шенкланда подтвердятся, это будет означать одновременно нерелевантность квантовой электродинамики и принципа неопределенности Гейзенберга и, соответственно, нерелятивистской квантовой механики. Но Дирак продолжал следовать данному пути и решил опубликовать свои идеи в новой статье, которую назвал «Сохраняется ли энергия в атомных процессах?».

Значительное число его коллег раскритиковали работу Дирака, особенно за ее несоответствие предыдущим работам ученого. Гейзенберг расценил статью Дирака как «невероятную глупость», а Бор указал на ужасные последствия нарушения принципа сохранения энергии. Интересно заметить, что позиции Бора и Дирака в 1936 году были прямо противоположными тем, какие они занимали пять лет назад, когда в порыве отчаяния Бор поставил под сомнение принцип сохранения энергии для объяснения бета-распада, тогда как Дирак предпочел отказаться от представления о непрерывности материи, нежели от сохранения энергии.

В последующие годы Дирак рассматривал проблему бесконечных величин под разными углами. Он попытался найти новую формулировку классической теории излучения, которую можно было бы распространить на квантовый мир; физик развивал новые математические методы, позволяющие устранить расходящиеся интегралы, и даже выстроил новую теорию, введя идею «гипотетического мира». Паули, будучи противником теорий Дирака, ясно сформулировал свои возражения во время конференции по случаю получения им Нобелевской премии:

«Правильная теория не должна вести к бесконечным значениям энергии или заряда, она не должна использовать математические хитрости для того, чтобы избежать бесконечностей или сингулярностей, и ей не следует придумывать гипотетический мир, который является всего лишь математическим вымыслом, пока не будет правильно интерпретирован мир физики».

Это была резкая критика состояния квантовой электродинамики, принятая Дираком безоговорочно, а также и того пути, на который он ступил.

ДИРАК И «НОВАЯ» КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

В конце 1940-х годов труды Фейнмана, Швингера и Томонаги серьезно изменили квантовую электродинамику. Они разработали метод перенормировки, позволяющий избежать бесконечных величин и предоставляющий однозначные ответы, соотносимые с результатами опытов. Новая квантовая электродинамика была независимо разработана тремя физиками достаточно консервативным способом: релятивистская квантовая теория оставалась общей основой новой теории, а нужные результаты получались при помощи метода возмущений. Это не было именно революционным изменением, на чем настаивал Дирак и другие физики. В 1948 году Фримен Дайсон (р. 1923) доказал, что три формулировки квантовой электродинамики на самом деле являются эквивалентными.

Удивительным образом философия новой квантовой электродинамики следовала идеям Дирака, сформулированным несколькими годами ранее. Швингер даже сказал впоследствии:

«Взаимодействие между веществом и излучением производит перенормировку заряда и массы электрона, сохраняя все расходимости в факторах перенормировки».

Фейнман со своей стороны утверждал:

«Метод перенормировки заряда и массы электрона позволяет нам получить последовательную электродинамику; с ее помощью мы можем рассчитать все возможные процессы, в которых задействованы фотоны, электроны и позитроны».

В конце 1940-х годов Вайскопф смог с большим удовлетворением заявить: «Война с бесконечными величинами наконец закончена». Победное чувство, за редким исключением, испытывали большинство его коллег.

Несмотря на невероятный прогресс, достигнутый с помощью новой теории, Дирак так и не принял тот способ, которым было покончено с бесконечными пределами решений. Ученый придерживался этой позиции всю жизнь. В 1950-е годы он заметил, что новая теория перенормировки не смогла решить проблемы квантовой электродинамики. Дирак считал, что на самом деле требовалось «изменение основополагающих понятий, сравнимое с появлением квантовой механики в 1925 году».

В середине 1970-х годов он писал:

«Многих физиков прекрасно удовлетворяет квантовая электродинамика. Я считаю, что ситуация совсем не является удовлетворительной. Новая теория совершенно произвольно убирает решения с бесконечными величинами. Математика учит нас, что мы можем убирать значение, которое является слишком маленьким, а не когда оно бесконечно большое и мы не хотим его сохранять».

Когда Дирака спросили, почему он так сильно возражает против новой теории несмотря на то, что она столь точно описывает главные свойства электрона, он ответил:

«НЕЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ» ТОЧНОСТЬ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

«Нечеловеческая точность» — такое выражение использовал Джон Хорган в своем произведении «Конец науки»(The End of Science) для сравнения некоторых опытных результатов и теоретических расчетов, полученных квантовой электродинамикой (КЭД). Соответствие достигает в некоторых случаях соотношения порядка 10^9 или даже 10^12. Рассмотрим некоторые физические величины, которые можно измерить экспериментально крайне точно, и сравним их с результатами квантовой электродинамики. Обратимся, например, к магнитному моменту электрона (величина, напрямую связанная со спином). Результат опыта равен μexp(e)= 1, 0011596521884. Результат уравнения Дирака равен μDirac(e)=1. Таким образом, этот результат воспроизводит результат экспериментальный с точностью до 1% (соотношение 10^2). Однако электрон испускает виртуальные фотоны, которые затем поглощаются или поляризуют вакуум. Данный процесс, называемый «радиационной поправкой», не входит в уравнение Дирака, но может быть рассчитан через КЭД. В этом случае теоретическое значение будет μQΕD(e)= 1, 001159652140. Разница между экспериментальным измерением и теоретическим значением появляется только после 11-го знака! Такое же соответствие мы обнаруживаем и для других элементарных частиц, например для мюона. Возьмем, например, свойство, связанное с атомом водорода, — разницу энергии между двумя стационарными состояниями. Согласно уравнению Дирака, эти состояния имеют одинаковую энергию. Однако в экспериментальных измерениях проявляется небольшая разница, вызванная лэмбовским сдвигом, и равна она ΔΕexp=1057851.

Результат, полученный с помощью КЭД, равен ΔΕQED = 1057 862. Разница появляется в шестой цифре, но надо держать в уме, что касательно энергетической разницы между уровнями значения имеют точность около единицы к миллиону по отношению к энергиям действительных энергетических уровней. Так, для сравнения, точность КЭД была бы 1 на 10^12. Чтобы по-настоящему оценить подобную степень точности, будет интересно соотнести ее с примерами, связанными с нашей повседневной жизнью. Возьмем, скажем, расстояние между Мадридом и Нью-Йорком, которое равно примерно 6000 км. С точностью, сравнимой с точностью КЭД, это расстояние можно было бы измерить до сотой или даже миллионной миллиметра. Это меньше, чем толщина человеческого волоса.

«Ценой, которую пришлось заплатить за этот успех, был отказ от логического заключения и замена его серией эффективных правил. Слишком высокая цена, ни один физик не хотел бы заплатить ее».

Последняя написанная Дираком статья появилась в книге, опубликованной как дань его памяти в 1987 году, через три года после смерти ученого. Название статьи является настоящим кредо Дирака: «Недостатки квантовой теории полей». Его последнее суждение о квантовой электродинамике было таким:

«Эти правила перенормировки слишком прекрасно согласуются с экспериментальными результатами. Вот почему многие физики считают, что эти правила корректны. То, что результаты соответствуют опыту, не является доказательством правильности теории. [...] Я хочу подчеркнуть еще раз, что многие из этих современных квантовых теорий полей ненадежны, даже если физики работают с ними и получают порой точные результаты».

Но вернемся к фотографии, упомянутой в начале данной главы, на которой изображен Дирак, с кажущимся безразличием слушающий своего коллегу. Фейнман разделял некоторые беспокойства Дирака по поводу результатов с бесконечными пределами и говорил о них так:

«У меня есть ощущение, что перенормировка не является правомерной математической техникой. Мы еще не располагаем удовлетворительными математическими методами, чтобы описать теорию квантовой электродинамики».

Однако на этом взаимопонимание двух физиков по поводу новой теории заканчивалось. Для Фейнмана она была «драгоценным завоеванием». Американский физик замечал:

«Вопрос не в том, является теория приятной в философском плане, или простой для понимания, или разумной с точки зрения «здравого смысла». На самом деле важно, чтобы предположения теории соответствовали опыту. [...] Описание природы, представленное в квантовой электродинамике, кажется абсурдным, но оно прекрасно соответствует опыту. Поэтому я надеюсь, что мы сможем принять природу такой, какая она есть, — абсурдной».

Дирак так никогда и не согласился с этими выводами и без устали пытался найти новую формулировку. Несмотря на взаимные расхождения, восхищение ученых друг другом было взаимным, и в 1986 году на конференции, которую Фейнман организовал в честь Дирака, он сказал, что всегда считал Дирака самым значительным «героем» физики.

ГЛАВА 5

После великих открытий

Дирак отрыл магнитный монополь в 1931 году. Однако это открытие было сочтено наименее важным из его научных заслуг. Значение работ ученого со временем уменьшилось, впрочем, подобное произошло со многими физиками его поколения. Тем не менее Дирак продолжал исследовательскую деятельность и регулярно публиковал статьи — до самой своей смерти.

Ни одна из статей Дирака, опубликованных после 1934 года, не была столь же оригинальной и важной, как его предыдущие работы. Однако он продолжал регулярно публиковать свои исследования. Помимо бесконечных попыток найти новую формулировку квантовой электродинамики, Дирак работал и в других областях, таких как космология. Он эпизодически участвовал в некоторых экспериментальных исследованиях (вместе со своим другом Капицей), а во время войны включался в военные проекты. В этой главе мы кратко рассмотрим его теорию магнитного монополя и идеи ученого в области космологии.

В личном плане большие перемены в жизни Дирака наступили, когда ему уже было более 30 лет: смерть отца в 1936 году, которая стала для него освобождением, его женитьба в 1937 году, рождение детей и переезд во Флориду. Дирак продолжал научную работу, но был вынужден сочетать ее с новыми семейными обязанностями. На его отношения с коллегами, особенно с русскими и немецкими, повлияли страшные годы Второй мировой войны и темный период холодной войны. Именно тогда Дирак стал говорить о том, что в основе всех научных открытий должен лежать «принцип математической красоты». Этот принцип стал самым дорогим его кредо. В чем же он заключался?

Дирак является одним из самых блестящих физиков в истории этой науки, однако его имя остается малоизвестным. Работы ученого стали фундаментом современной физики, а об открытом им антивеществе сегодня знают все — по крайней мере по книгам и фильмам в жанре научной фантастики. Впрочем, кто бы мог представить, что античастицы позволят усовершенствовать медицинские технологии, столь полезные для общества?

МАГНИТНЫЙ МОНОПОЛЬ

В школе нас учат, что у магнита есть два разных полюса. Если его разделить на две части или больше, каждая из этих частей также будет иметь два полюса — как уменьшенное подобие первого магнита. Но обосновано ли данное утверждение? Наряду с существованием электрона, частицы — носительницы элементарного электрического заряда, можно ввести и понятие магнитного монополя как частицы — носительницы изолированного магнитного заряда и представить существование магнита с одним полюсом. В статье 1931 года (в которой формулировалась идея антиэлектрона) Дирак выдвинул и гипотезу магнитного монополя.

Он не первым озвучил подобную идею: гораздо раньше, в XIX веке, физики уже выдвигали гипотезу о существовании такой частицы, осознавая, что оно противоречит основополагающим уравнениям классического электромагнетизма. Уравнения Максвелла содержат заметную асимметрию между электрическим полем, связанным с плотностью электрического заряда и электрического тока, и магнитным полем, для которого подобные величины не определены. Кроме того, это согласуется с введением векторного потенциала для описания магнитного поля — метода, использованного для квантовой теории в работах Йордана, Гейзенберга и Паули. Это объясняет, почему магнитные заряды никогда не изучались в рамках квантовой теории до работ Дирака в 1931 году.

Изображение магнита с двумя полюсами и силовых магнитных линий, создающих магнитное поле.

Целью Дирака было не доказательство существования монополя, но нахождение объяснения «квантованию» электрического заряда и обоснование значения постоянной тонкой структуры.

Он писал: «Эта работа главным образом опирается на существование минимального электрического заряда». Дирак ввел плотность магнитного заряда и плотность магнитного тока по образцу соответствующих электрических величин и показал, что квантовая теория «не исключает существование изолированных магнитных полей».

Кроме того, он получил простое соотношение между значениями электрического и магнитного зарядов. Это соотношение включало постоянную Планка и делало очевидным тот факт, что существование магнитного монополя возможно при условии квантования электрического заряда. Несмотря на открытие подобного соотношения, Дирак счел результат «недостаточно оправдавшим надежды». Он искал квантовое условие, которое позволило бы ему прямо определить элементарный заряд. Ученый писал:

«Невозможно изменить теорию, поскольку в ней нет ни одного произвольного элемента. Объяснение значения элементарного электрического заряда требует совершенно новаторской идеи».

Дирак закончил свою статью вопросом о том, почему изолированные магнитные поля никогда не наблюдались. Выведенное им соотношение между электрическим и магнитным зарядами позволило ему определить минимальное значение магнитного заряда через заряд электрона. Он получил следующий результат:

Mmin = 137e/2.

Иначе говоря, магнитный заряд был примерно в 70 раз больше элементарного электрического заряда. Дирак интерпретировал это значение как результат присутствия большой силы притяжения между магнитными полями с противоположными знаками, что объясняло, почему их трудно разделить и почему, таким образом, они не были установлены.

ЭВОЛЮЦИЯ МАГНИТНОГО МОНОПОЛЯ

Несмотря на интерес прессы к исследованиям Дирака, связанным с магнитным монополем, научное сообщество физиков, как правило, игнорировало его результаты. По правде говоря, сам Дирак вернулся к данной теме лишь много времени спустя, в 1948 году. Но и впоследствии он продолжал держаться в стороне от этих исследований, даже после начала разговоров о том, что монополи были обнаружены экспериментально. Его отношение не изменилось и в 1970-1980-е годы, когда теория Большого взрыва снова ввела в обиход идею изолированного магнитного поля. Большинство экспериментов по его обнаружению провалились. Но в 1982 году испанский физик Блас Кабрера, профессор Стэнфордского университета (Калифорния), удивил научное сообщество, заявив, что обнаружил доказательства существования магнитного монополя. Его утверждение не могло быть ни подтверждено, ни опровергнуто. Гипотетическое существование новой частицы, таким образом, не было принято, и даже сегодня нет никаких серьезных экспериментальных доказательств существования магнитного монополя.

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Дирак, несомненно, имел представление об исследованиях в области космологии, но он не выказывал никакого интереса к ним до 1937 года, когда в журнале Nature была опубликована его короткая статья под названием «Космологические постоянные». Он взял в качестве отправной точки гипотезу Леметра: «Вселенная родилась в далеком прошлом и находится на пике расширения». Его интересовало, являются основные физические постоянные действительно постоянными или же они меняются со временем, в космологическом масштабе. Дирак ввел некоторые астрономические «расширения», соответствующие разным величинам, связанным с описанием Вселенной в крупном масштабе, и предположил, что между ними должно быть простое отношение. Вот числа, с которыми работал ученый.

1. Возраст Вселенной в атомных единицах времени (время, которое необходимо свету для прохождения диаметра электрона): ~2 х 10^39.

2. Отношение между электрической силой и гравитационной силой, существующей между электроном и протоном: ~10^39.

3. Общее число протонов и нейтронов во Вселенной: ~10^78.

Дирак был убежден, что отношения между приведенными выше астрономическими числами не являются случайными. Он считал, что эти величины зависят от развития Вселенной:

«Упомянутые большие числа должны быть представлены не в виде постоянных, а как простые функции нашей настоящей эпохи. Согласно общему принципу, эти большие числа, которые описывают физическую теорию, должны зависеть от времени, выраженного в атомных единицах».

Дирак назвал данный тезис «гипотезой больших чисел». В ее основе лежала идея о том, что два любых больших числа в природе всегда связаны математическим отношением, в котором их коэффициенты составляют порядка единицы.

Дирак развил свою гипотезу до предела и завершил статью замечанием, что гравитационная постоянная обратно зависит от времени. Кроме того, общее количество нуклонов (протонов и нейтронов) во Вселенной увеличивается пропорционально квадрату времени. И наконец, возраст Вселенной и постоянную Хаббла связывает следующее отношение:

t = 1/3H.

Работа Дирака, противоречащая теории Эйнштейна (согласно которой космологическая постоянная не зависит от времени), не вызвала никакого интереса в научном сообществе. Для значительного числа физиков в области космологии речь шла просто о нумерологии. А коллеги по квантовой физике полностью проигнорировали выводы ученого.

ПИОНЕРЫ ФИЗИЧЕСКОЙ КОСМОЛОГИИ

В 1930-е годы в космологии произошла настоящая революция. В 1929 году, после тщательного анализа огромного количества данных наблюдений, американский физик Эдвин Хаббл (1889-1953) пришел к выводу, что Вселенная расширяется. Чем больше расстояние между какими-либо двумя галактиками, тем выше скорость их взаимного удаления. Хаббл установил отношение между скоростью и расстоянием: v=H∙d. Сегодня этот коэффициент пропорциональности Н называется постоянной Хаббла. Экспериментальные доказательства Хаббла согласуются с исследованиями, осуществленными ранее Александром Фридманом (1888-1925) и Жоржем Леметром (1894-1966), которые подтвердили, что общая теория относительности допускает расширение Вселенной. Забавно, что Леметр и Дирак посещали Кембриджский университет в одно время — в середине 1920-х годов.

Российский и советский физик Александр Фридман.

В 1938 году Дирак посвятил упомянутой проблеме вторую статью, более содержательную, а потом сделал большой перерыв и вернулся к ней только в 1972 году. Во всех дальнейших работах ученый развивал свою гипотезу больших чисел; кроме того, он пытался согласовать свои предположения с новыми опытными результатами, такими как реликтовое излучение, доказывающее теорию Большого взрыва.

Математика увлекла меня на неожиданные пути, открывающие новые перспективы и ведущие к новым территориям, на которых мы можем создать оперативную базу для изучения окружающего мира и прогресса в будущем.

Поль Дирак

Исследования, проведенные Дираком в 1950-х годах касательно возможности использования гамильтониана в общей теории относительности, заслуживают особого внимания.

Главной целью данных работ было построение квантовой теории гравитации. И хотя Дирак не преуспел в своих попытках (и сегодня физики еще решают эту проблему), «гравитон», представленный им на заседании Американского физического общества в 1959 году в Нью-Йорке, все-таки заслуживает упоминания: квант гравитационного взаимодействия является эквивалентом фотона для электромагнитного взаимодействия.

РАБОТА И ПОЕЗДКИ

Жизнь Дирака после 1934 года была организована практически так же, как и всегда, и включала в себя постоянную работу и поездки. До начала Второй мировой войны ученый неоднократно посещал США и Советский Союз. Дирак несколько раз побывал в Институте перспективных исследований Принстона, где познакомился с Маргит Вигнер (сестрой венгерского физика Юджина П. Вигнера), на которой женился в 1937 году.

Интересно, что в научной среде особые отношения у Дирака сложились с некоторыми физиками из СССР: он тесно сотрудничал с Таммом, Фоком и Капицей и трижды приезжал к ним в период между 1934 и 1937 годами (второй приезд совпал со смертью его отца в 1936 году). В дальнейшем Дирак не мог вернуться в Советский Союз до 1955 года.

Во время войны физик участвовал во многих военных проектах, однако в гораздо меньшей степени, нежели его коллеги. Он осуществил множество расчетов и исследований распада радиоактивных изотопов и, тем не менее, отказался прямо участвовать в Манхэттенском проекте. В Кембридже Дирак продолжал исследования в области теоретической физики, тогда как многие его коллеги-ученые полностью посвятили себя военным исследованиям. Большинство из них (родом из разных стран Европы) остались в США после окончания войны.

Следующие годы ознаменовались началом холодной войны (с 1948 года) и периодом «маккартизма» (1950-1956) в Штатах. В течение нескольких лет отношения Дирака с его советскими коллегами практически сошли на нет; частые поездки в СССР в 1930-е годы обернулись неприятностями с американскими властями. В 1954 году ученому было отказано во въездной визе в США. Однако для некоторых его европейских коллег (и даже для американских) последствия были гораздо более серьезными: Роберт Оппенгеймер, например, подвергся судебному преследованию.

Начиная с 1955 года Дирак снова стал ездить по миру, при этом надолго останавливаясь в Штатах. В этот период он активно участвовал в научных конгрессах, заседаниях и конференциях, по-прежнему держась подальше от света прожекторов. В 1969 году, после 37 лет работы руководителем Лукасовской кафедры в Кембридже, Дирак решил оставить свою должность. В тот же год он уехал в США, где сотрудничал со многими университетами. В 1971 году ученый принял, наконец, кафедру во Флоридском университете в Таллахасси, которую потом занимал до самой смерти (в 1984 году).

Во Флориде Дирак также продолжал свою исследовательскую деятельность и регулярно публиковал научные статьи. Он участвовал и в общественной деятельности, причем гораздо активнее, чем в Кембридже, где его университетская жизнь ограничивалась лекциями и семинарами. И хотя большую часть времени Дирак по-прежнему проводил в своем рабочем кабинете, его общение с другими профессорами и коллегами приняло более регулярный характер, нежели в прошлом.

КАПИЦА И СЕМЬЯ ДИРАКА

Среди физиков самые близкие дружеские отношения Дирак поддерживал, несомненно, с Петром Капицей. С самой их встречи в Кембридже в 1920-е годы они настолько хорошо понимали друг друга, что Дирак согласился сотрудничать с Капицей в его экспериментальных работах. В 1934 году Капице запретили покидать страну, и поездки Дирака в СССР значили для него очень много. Слова супруги ученого, наверное, лучше всего описывают особые отношения, связывавшие двух физиков: «В 1937 году Дирак привез меня в Россию, где мы побывали у его дорогого друга Петра Капицы. Он стал моим героем, [...] незабываемый друг, которого мы оба бесконечно любили и ценили». Капица получил Нобелевскую премию по физике в 1978-м и умер в 1984 году.

ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КРАСОТЫ

В 1956 году, во время пребывания Дирака в МГУ им. М.В. Ломоносова, его попросили (как и других выдающихся гостей) написать на доске одну, символизирующую его работу фразу, которую он завещал бы потомкам. Дирак написал: «Закон физики должен обладать математической красотой». Это предложение характеризует мышление Дирака с середины 1930-х годов. Девиз, которому он следовал всю жизнь, сегодня известен как «принцип математической красоты в физике». Именно из-за данного принципа Дирак так и не признал квантовую электродинамику, несмотря на то что она описывала экспериментальные результаты с исключительной точностью. Именно из-за него он защищал свою теорию космологических постоянных, хотя она очевидным образом противоречила экспериментальным данным.

Принцип математической красоты превратился в кредо любой научной идеи Дирака и не дал ему развить более оригинальные теории. Главным недостатком такого подхода был присущий ему субъективный характер (свойственный любому эстетическому принципу), не позволявший использовать его в качестве основного принципа в развитии науки. Дирак так никогда по-настоящему и не определил понятие математической красоты.

Когда ученого спросили, можно ли рассматривать красоту и простоту как равнозначные понятия, он ответил, что отношения между математикой и физикой гораздо более глубокие, нежели принцип простоты; в качестве примера он привел теории Ньютона и Эйнштейна:

«Теория Ньютона гораздо проще, нежели теория гравитации Эйнштейна. Однако теория Эйнштейна лучше и глубже, она более общая. Теорию относительности характеризует именно математическая красота, а не простота: это понятие лежит в основе отношений между физикой и математикой».

Принцип математической красоты иногда представлялся как «двигатель» научных работ Дирака, как «творческая сила» его нововведений и удивительных открытий в физике. На самом деле все было не так. Дирак не мог представить физику иначе как через математику. Она была языком физики, а значит, дорогой, которой должен идти каждый ученый, чтобы раскрыть тайны природы. Дирак решал проблемы, играя с уравнениями, что не переставало изумлять его коллег, не привыкших к такому способу работы. Не будем забывать, что ученый всегда критиковал метод Бора (среди других) в физике, поскольку у него не было серьезной математической основы. Все работы Дирака следовали одной и той же модели: концептуальная ясность и точность, емкие термины и сильная математическая база.

Поль Дирак во время лекции в Иешива- университете Нью-Йорка, 1962 год.

Два великих физика. Вернер Гейзенберг (справа) беседует с Полем Дираком во время 18-й ежегодной встречи нобелевских лауреатов в городе Линдау (Германия), 1968 год.

Математическая красота — это качество, которое невозможно определить, как нельзя определить красоту и в искусстве, однако изучающие математику без труда узнают его.

Поль Дирак

В свой самый плодотворный период деятельности Дирак ни разу не упомянул о принципе математической красоты. В течение многих лет для него самым важным было точно описать физические проблемы, что означало найти последовательную математическую формулировку, не входящую в противоречие с методом приближений. Возможно, из-за своего инженерного образования Дирак ценил этот подход, который считал совершенно релевантным для решения конкретных проблем.

Первые упоминания понятия математической красоты датируются 1934 годом, они появились как ответ на чувство неудовлетворенности и глубокого разочарования, вызванное квантовой электродинамикой. В последующие годы данный принцип превратился в наваждение, стал почти религиозной верой; по словам самого Дирака, он не позволил ему принять другие открытия в физике и стал настоящим препятствием для его творческой деятельности.

Идея математической красоты в итоге полностью завладела мыслями ученого и изменила его подход к анализу физических проблем. Любой метод имел смысл, только если отвечал критериям «красоты», а результаты считались релевантными, только если были получены в соответствии с этим «религиозным» принципом. Этот тупиковый подход все дальше уводил его от научного метода. Неслучайно работы Дирака начали терять влияние и оригинальность с того момента, как он принял принцип математической красоты в качестве критерия своей научной мысли.

НАСЛЕДИЕ ДИРАКА

Из всех великих физиков Дирак, наверное, меньше всех опирался на философию. Ни в одной из статей он не раскрыл своих мыслей по поводу философии науки, научного метода или отношений между наукой и обществом. Он всегда тщательно оберегал свою частную жизнь, всячески избегал социальных контактов и лучей славы. Поэтому Дирак был так мало известен. Его имя и сегодня не на слуху — он всегда этого желал. Но если сам Дирак и не известен широкой публике, то его труды перевернули физику. Самые актуальные сегодня теории опираются на его работы, и можно без преувеличений утверждать, что мало кто из исследователей так сильно повлиял на современную фундаментальную физику.

Дирак показал себя как «теоретик теоретиков», некоторые его открытия просто ошеломили других ученых. Со временем его труды стали столь знамениты, что затмили имя своего создателя. Так, открытие антивещества было, по словам Гейзенберга, «наверное, самым большим прорывом из всех больших прорывов физики нашего века». Понятие антивещества громко заявило о себе в научно-популярной литературе — возможно, потому что последствия этого открытия трудно было предвидеть.

Вы, конечно, слышали о Вселенной и Антивселенной, о частицах и античастицах, которые взаимоуничтожаются, выделяя огромное количество энергии; вы, несомненно, читали об антиатомах и о создании сектой иллюминатов самого смертельного оружия из всех когда-либо придуманных человеком; вы наверняка видели по телевизору или в кино межгалактические космические корабли, перемещающиеся со скоростью света благодаря антивеществу; может быть, вы также знаете по собственному опыту о существовании некоторых медицинских технологий, таких как позитронно-эмиссионная томография. Когда вы будете думать об этих изобретениях, настоящих или придуманных, вспомните о «неизвестном» английском физике по имени Поль Дирак. Потому что все они существуют благодаря ему.

Список рекомендуемой литературы

Baselga, S., Dirac. La belleza matemdtica, Madrid, Nivola, 2008. Gamow, G., Biograf ία de laftsica, Madrid, Alianza, 2007.

Gribbin J., En busca del goto de Schrödinger, Barcelona, Salvat, 1994. —: Historia de la ciencia, 1543-2001, Barcelona, Critica, 2003. Hooft, G., Particulas elementales, Barcelona, Drakontos, 2008. Kragh, H.S., Generaciones cudnticas: una historia de laftsica en el siglo XX, Madrid, Akal, 2007.

Penrose, R., El camino a la realidad, Madrid, Debate, 2006. Rosenblum B. y Kuttner E, El enigma cudntico, Barcelona, Tusquets, 2012.

Sanchez, J.L. y Cassinello A., La realidad cudntica, Barcelona, Critica, 2012.

Sanchez, J.M., Historia de la ftsica cudntica, Barcelona, Critica, 2001.

Teresi D. y Lederman L, Laparticula divina, Barcelona, Drakontos, 2007.

Ynduräin, EJ., Electrones, neutrinos у quarks, Barcelona, Critica, 2011. —: Teonas unificadas у constituyentes fundamentales de la materia, Madrid, Espasa Calpe, 1988.

Указатель

абсолютно черное тело 8, 9, 20, 28

алгебра

с-чисел 50, 65

q-чисел 50, 51, 54, 63, 117

Андерсон, Карл 108-110

аннигиляция частиц 100, 102, 103, 104, 110, 118, 125

антивещество 13, 71, 112, 126, 142, 53, 154

античастицы 12, 97, 102-108, 125, 130, 132, 142, 153

антиэлектрон 12, 14, 103-110, 112, 125, 142

Беккерель, Анри 28, 30

бесконечные величины 113, 120, 122, 123, 126, 128, 130, 132, 134-136, 138

Блэкетт, Патрик 35, 108, 109

Бор, Нильс 30, 35, 37, 41, 42, 44-48, 59-62, 73, 74, 93, 98, 99, 109, 111, 112, 126, 134, 137, 152

модель Бора 31, 37, 48

принцип соответствия Бора 41, 46, 75

Борн, Макс 10, 42, 44, 45, 48-51, 54, 63, 64, 68, 70, 77, 82, 90

вероятностная интерпретация 49, 54, 62

Бройль, Луи де 38, 52, 57, 76

Вейль, Герман 68, 97, 98, 105, 106

Вигнер, Юджин 14, 49, 68, 89, 122, 123, 147

виртуальные пары 130

волновая функция 11, 49, 52-55, 56, 58, 62-64, 75-77, 81, 84, 87, 94, 117, 118

вторичное квантование 118, 122

Гамильтон, сэр Уильям Роуэн 33, 34, 45, 46

гамильтониан 34, 47, 52, 53, 64, 81, 83-87, 118, 123, 147

Гаудсмит, Сэмюэл А. 79

Гейзенберг, Вернер 10, 11, 14, 33, 43-46, 48-51, 53, 54, 58, 60, 63-66, 68, 70, 73, 74, 82, 90-94, 96-98, 101, 111, 116, 120, 122, 124, 125, 127, 128, 129, 133, 142, 151, 153

голый заряд 12, 127

Дайсон, Фримен 135

замедление времени 24, 26

Зоммерфельд, Арнольд 31, 37, 42, 52, 74, 82, 83, 127

интеграл по траекториям 123

Йордан, Паскуаль 42, 44, 48-51, 54, 62, 63, 65-66, 68, 70, 90, 93, 120.122.124.132.142

Капица, Петр 35, 95, 141, 148, 149

кватернион 33

Кельвин, лорд 8, 20

Комптон, Артур X. 57, 110

корпускулярно-волновой дуализм 38

космологическая постоянная 144-147, 150

лагранжиан 33, 123

Лоренц, Хендрик А. 69

преобразования Лоренца 75, 77, 89

фактор Лоренца 26, 75

Лукасовская кафедра 14, 111, 148

лучи космические 26, 27, 108

Х-лучи 28

лэмбовский сдвиг 136, 137

магнитный момент электрона 71, 80, 90, 136

магнитный монополь 14, 139, 141-144

Максвелл, Джеймс Клерк 8, 17, 20.22.34.128.142

матрицы Дирака 85, 88

механика

волновая 43, 52-58, 62, 74, 77

квантовая 10, 11, 14, 33, 39-70, 73, 74, 76, 82, 83, 107, 113, 116, 118, 123, 124, 133, 135

классическая 34, 45, 46, 123

матричная 42, 50, 51, 62, 63, 68, 74

статистическая 20

Милликен, Роберт Э. 29, 108

море Дирака 99, 100, 102, 103, 105, 109, 110, 127

нейтрино 82, 133

Ньютон, Исаак 8, 17, 20, 22-24, 26, 33.34.76.111.150

одновременность 24

Окьялини, Джузеппе 109

Оппенгеймер, Роберт 49, 104, 105, 121, 132, 148

опыт

Майкельсона — Морли 23

Шенкланда 133

Штерна — Герлаха 78, 80, 83

относительность 8, 9, 15, 17, 18, 20, 22, 23-27, 31, 32, 34-37, 43, 53, 70, 71, 74, 77-80, 88, 90, 100, 124, 146.147.150

парадокс Клейна 94, 95

Паули, Вольфганг Эрнст 43, 48, 54, 55, 56, 59, 61, 78-83, 87, 99, 105, 107, 109, 110, 122-125, 128, 132-134, 142

матрицы Паули 81, 85, 87, 88

принцип запрета Паули 55, 56, 58, 79, 82, 98, 102

теория Паули 81, 83

уравнение Паули 80, 81, 83, 91

перенормировка 12, 127, 128, 131, 134, 135, 137, 138

Планк, Макс 9, 28-30, 46, 88, 112, 143

позитрон 108-109, 112, 117, 125— 128, 130, 132, 135, 154

поляризация вакуума 126-128

постоянная тонкой структуры 74, 90, 119, 127, 143

преобразования Галилея 22, 23

канонические 63

Лоренца 75, 77, 89

теория преобразований 11, 62-65, 74, 77, 83, 84

принцип запрета Паули см. Паули математической красоты 128, 141, 149-153

неопределенности Гейзенберга 11, 44, 65, 66, 73, 120, 125, 129, 133

относительности 22, 23, 43, 83, 84, 89

эквивалентности массы и энергии 11, 20, 24, 76, 95, 100, 125, 129

Пуассон, Симеон Дени 47

скобки Пуассона 45-48

радиационная поправка 119, 120, 136

Резерфорд, Эрнест 7, 30, 35, 108, 127

Рентген, Вильгельм 28

рождение частиц 100, 102, 103, 110, 118, 125

самосопряженный оператор 84-86

собственная энергия 122, 123, 126, 128, 129

сокращение длины 24, 26

спин 55, 58, 71, 78-83, 87, 89, 90, 91, 122, 132, 136

статистика

Бозе — Эйнштейна 56, 59, 117

Ферми — Дирака 58, 59

теория

дырок Дирака 97-103, 105, 106, 108-110, 118, 125, 132

преобразований Дирака 11, 62-68, 74, 77, 83, 84

Томонага, Синъитиро 125, 131, 134

Томсон, Джозеф Джон 28, 30, 35, 49

Уленбек, Джордж 79

уравнение

Дирака 7, 11-14, 33, 70, 71, 73, 80, 81, 83-97, 102, 118, 122, 136

Клейна — Гордона 74-78, 86, 91, 95, 132

Шрёдингера 52-54, 64, 76, 77, 79, 80, 84, 86, 94, 95, 117, 119

Фаулер, Ральф 9, 14, 34, 35, 36, 42, 46, 59, 83

Фейнман, Ричард 115, 123, 125, 129, 131, 132, 134, 135, 138

диаграммы Фейнмана 129

фотоэлектрический эффект 9, 18, 29, 30, 38

функция Дирака 11, 65-67

Швингер, Джулиан 125, 131, 134, 135

Шрёдингер, Эрвин 14, 42, 51-54, 59, 62-64, 70, 74, 76-81, 83, 84, 86, 90, 94, 95, 101, 111, 117, 119

Эддингтон, Артур С. 31, 32, 35, 36

Эйнштейн, Альберт 8, 9, 11-13, 18, 20, 23, 24, 26, 29, 32, 34, 44, 56-59, 62, 73, 76, 82, 89, 95, 107, 112, 116, 117, 146, 150

электродинамика 12, 68, 69, 113—138, 141, 150, 152

Эренфест, Пауль 69, 69, 79, 90, 107

эффект

Зеемана 78, 79, 83, 93

Комптона 57, 74

Поль Дирак, как и Ричард Фейнман, - один из главных представителей «второго поколения» ученых, обратившихся к квантовой механике после первопроходческих работ Планка и Эйнштейна. Знаменитое уравнение, носящее имя Дирака и детально описывающее поведение некоторых частиц, в том числе электрона, впервые объединило теорию относительности и квантовую теорию. Уравнение Дирака доказало возможность существования «антиподов» известных на тот момент частиц - электрона, протона и других. Открытые новые частицы известны нам как антивещество. Молчаливый и замкнутый, скромный и всецело увлеченный своей работой, этот английский инженер стал ученым, который разработал одну из самых передовых теорий современной физики.

Content

Кабальеро Карретеро Хуан Антонио Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

Juan Antonio Caballero Carretero Наука. Величайшие теории: выпуск 32: Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

Введение

ГЛАВА 1 Первые годы

ГЛАВА 2 Квантовая механика

ГЛАВА З Релятивистская теория электрона. Антивещество

ГЛАВА 4 Квантовая электродинамика

ГЛАВА 5 После великих открытий

Список рекомендуемой литературы

Указатель