Константин Ефанов

Расчет на прочность центробежных насосов

Введение в расчеты

В настоящее время корпус насоса (улитка), рабочее колесо (импеллер), крышка рассчитываются в программных пакетах методом конечных элементов (МКЭ).

В программном пакете перед построением расчетной сетки, необходимо выбрать форму конечных элементов. Выбор форму конечных элементов сильно влияет на корректность результатов расчета.

Выбор формы конечных элементов зависит от применяемой теории, на основе которой построены эти элементы. Получается, что также необходимо выбирать теорию, по которой будет выполняться прочностной расчет улитки, импеллера и крышки.

В качестве теорий используется теория упругости в ее трехмерной или осесимметричной задаче. Осесимметричная задача больше подходит для оболочек вращения с примитивной конфигурацией, например, цилиндра или сферы. Улитка насоса, лопасти импеллера имеют изменяющуюся геометрию.

Трехмерная задача теории упругости рассматривает оболочку в виде твердого тела, к которому прикладываются нагрузки и затем рассчитываются напряжения и деформации. Трехмерная задача наиболее подходит для расчета оболочки улитки, импеллера и крышки насоса.

Теория оболочек типа Кирхгофа-Лява, используемая для расчета оболочек сосудов под давлением, не подходит для расчета сложной геометрии улитки и импеллера. Оболочки сосудов имеют примитивную форму, краевая задача за счет изменения кривизны геометрии возникает в основном в местах пересечения оболочек (врезки штуцеров) и приварки днищ. Для расчета по теории оболочек применяются плоские конечные элементы. Но для моделирования сварного шва в местах изменения геометрии могут использоваться трехмерные элементы. Для расчета краевой задачи уже необходима моментная теория оболочек. Теория оболочек получена из теории упругости сведением задачи к двухмерной за счет упрощений. Академик Новожилов указывает о восприятии теории оболочек «надстройкой» над теорией упругости [1]. Теория оболочек является менее обоснованной по сравнению с трехмерной задачей теории упругости и поэтому на взгляд автора использовать первоначальную теорию упругости. И для моделирования оболочки с изменяющейся кривизной необходимо выбрать трехмерные конечные элементы.

Таким образом, для расчета улитки, импеллера и крышки центробежных насосов и компрессоров необходимо использовать трехмерную задачу теории упругости, решаемую в пакете МКЭ с использованием трехмерных конечных элементов.

Выбор теории расчета

В работе Сахарова [2,с.206] детально рассмотрен выбор теории расчета улитки, импеллера и крышки центробежного насоса. На тот момент времени (1982 г.) решение в трехмерной постановке занимало много вычислительных мощностей, и авторы указывают о возможности решения осесимметричной задачи. Кроме того, Сахаров указывает об учете экспериментальных данных.

Импеллер расчленялся на лопатки и наружный с несущим дисками. Координаты для расчетной сетки использовались после выполнения гидродинамического расчета проточной части [2]. Для импеллера граничные условия в плоскости сечения соблюдаются приближенно, условия по перемещениям точно. Точка твердого тела фиксировалась в осевые и тангенциальные направления для устранения перемещений.

Для осесимметричной задачи расчетная модель представляла собой два диска (несущий и наружный), связанных кольцами – для имитации упругого соединения дисков лопатками [2]. По такой модели лопатки не рассчитывались. Конечные элементы плоские.

Как видно по данным работы [2] расчетная модель для трехмерной задачи является физически более корректной по сравнению с моделью для осесимметричной задачи.

По экспериментальным данным [2 ] на дисках наибольшими напряжениями являются окружные. В месте сопряжения лопаток с дисками напряжения завися от окружной координаты (максимальные напряжения в зоне наибольшей кривизны), в месте сопряжения со ступицей напряженное состояние близко к осесимметричному. Расчет по трехмерной и осесимметричной задаче дают близкие результаты, согласующиеся с экспериментальными данными. Однако трехмерная задача более точная.

Крышка насоса имеет осевую симметрию, напряжения увеличиваются в местах натяжных болтов [2]. Проушина натяжного болта передает усилия в осевом и радиальном направлении в отличии от основной части крышки. В осесимметричной постановке область натяжных болтов рассчитывается только приближенно, поэтому необходимо использовать трехмерную задачу.

Трехмерная задача для оболочек цилиндра (задача Ламе) и сферы подробно решена в работе член.-корр. Лурье А.И. [3,с.387].

Осесимметричная задача теории упругости рассмотрена в работе Безухова [4].

Расчет методом конечных элементов

Расчет МКЭ выполняется в программных пакетах, например, ANSYS.

Первоначально строится твердотельная трехмерная модель, выполняется ее корректировка по результатам гидродинамического расчета численным методом (методом конечных объемов) в программной пакете МКЭ. Программный пакет выполняет междисциплинарные расчеты, при проектировании насосы осуществляется сквозное проектирование от расчета течения жидкости в проточной части и оптимизации по энергетическому параметру до прочностных расчетов с учетом влияния температуры.

Под расчетом по методу конечных элементов понимается вычислительный процесс на компьютере, состоящий из [5,с.6]:

– описания конечных элементов, численного интегрирования для вычисления элементов матриц,

– объединение матриц отдельных конечных элементов в общую матрицу ансамбля элементов,

– численное решение системы уравнений равновесия.

Решение уравнений равновесия для статических и динамических задач занимает основные затраты машинного времени на вычисления. Инженер-расчетчик может контролировать ход вычисления.

При расчете МКЭ оболочек (т.е. корпусов аппаратов) предполагается [5,с.73], связь конечных элементов в узловых точек (которых конечное число), перемещения узловых точек определяют перемещения конечных элементов (поля конечных элементов). За счет этого используя принцип возможных перемещений можно составить уравнения равновесия для совокупности всех конечных элементов.

Расчет трехмерной задачи

Пример формы трехмерного конечного элемента:

Перемещения тетраэдрического элемента определяется перемещением 12 компонентами перемещений его узлов [6,с.107]:

Компонентами u, v, w определяется вектор перемещений точки.

Матрица деформаций [6,с.108]:

Матрица тепловых деформаций [14,с.109] (θε – средняя температура элемента):

Матрица упругости [14,с.109]:

Матрица напряжений [14,с.109] ({σ0 – аддитивный член}):

Объединяя тетраэдрические элементы, можно разбивать пространство на «кирпичики». В этом случае повышается наглядность разбиения.

Зенкевич указывает [6,с.115] о расчете сосуда высокого давления МКЭ с использованием конечных элементов в виде «кирпичиков». В приводимом примере расчета выполнялся для 10000 степеней свободы. И Зенкевич указывает на то, что при применении более сложных конечных элементов расчет упрощается за счет уменьшения степеней свободы. Но использование сложных элементов не даст преимуществ в сокращении времени подготовки расчета, если процесс разбиения автоматизирован [6,с.169]. В настоящее время в программных пакетах МКЭ используется автоматизированное построение расчетной сетки. При этом при применении сложных элементов сокращается время вычислений, однако ширина матрицы увеличивается и сокращение времени может не происходить. Увеличение размеров конечных элементов приводит к ухудшению аппроксимации конструкции.

Расчет осесимметричной задачи

По данным [6,с.89] , [7,с.229] для решения осесимметричной задачи может быть использован подход плоской задачи. В этом случае треугольный симплекс-элемент вращением образует треугольный тор [7,с.229]. Такой тор показан на рисунке в работе О. Зенкевича [6,с.87]

Объемное тело 3D-модели представляет собой объем, по которому берется интеграл таких треугольных элементов. Отличие осесимметричной задачи от плоской состоит в том, что при деформации оболочки в радиальном направлении вызывает деформацию в окружном направлении. И в рассмотрение должна быть введена четвертая компонента деформации и напряжения по сравнению со случаем плоской задачи [6,с.88]. В плоской задаче компоненты напряжения в направлении, перпендикулярном к координатной плоскости, равны нулю. Трехмерный симплекс-элемент рассматривается аналогично двумерному конечному элементу [7,с.226].

Векторы напряжений и деформаций и матрица упругости по данным [7,с.229]:

Вектор начальной деформации от теплового воздействия [7,с.230]:

Напряжения вычисляются по закону Гука [7,с.233]:

или через узловые перемещения после подстановки

([В] – матрица градиента, {U} – перемещение узлов.

В работе [6,с.259] отмечено о применении одномерных элементов для осесимметричных оболочек к осесимметричной нагрузкой. В этом случае используется метод перемещений и поверхность оболочки разбивается на ряд усеченных конусов:

Изгибные и мембранные напряжения в оболочке корпуса аппарата однозначно определяются величинами обобщенными деформациями (искривления и растяжения срединной поверхности) [6,с.259]. Перемещения каждой точки срединной поверхности известны. Так, перемещения срединной поверхности оболочки под действием осесимметричной нагрузки однозначно определяются компонентами u и w по касательной к нормали поверхности.

Зенковичем [6,с.259] приводится следующая запись матриц перемещений {ε}, напряжений {σ} и упругости [D] в соответствии с четырьмя результирующими напряжениями на рисунке при φ = const (верхняя часть матриц соответствует мембранным усилиям, нижняя часть матриц соответствует изгибным жесткостям, сдвиговые части матриц не показаны):

Ручные методики расчета

Ручные методики расчета являются устаревшими.

Вариант ручной методике приведен в работе [8,с.187]. В этой работе указывается о некорректных результатах применения ручных формул по нормам сосудов и аппаратов под давлением. Формулы для сосудов получены по безмоментной теории тонких оболочек для сосудов до 21МПа и по теории упругости для сосудов высокого давления до 130МПа. Формулы выведены для оболочек вращения примитивной конфигурации (цилиндры, сферы) и для оболочек улитки, импеллера, крышки насоса со сложной геометрией не подходят. Применение этих формул в целом является технической ошибкой. Вместе с тем, для расчета фланцевых соединений отдельные формулы могут быть применены по нормам для сосудов и аппаратов.

Также в работе [8,с.188] приведен метод ручного расчета Рудиса М.А. для спиральной отводящей камеры. Расчетным сечением является меридиональное сечение с наибольшими размерами, при этом указывается о максимуме напряжений на торообразном участке.

В этой же работе приведен расчет секций многоступенчатых насосов [8,с.193] и расчет двойного корпуса [8,с.196].

Приведенные ручные расчеты в работе [8] менее обоснованы по сравнению с расчетом в программных пакетах по методу МКЭ.

Заключение

1. Для расчета улиток, импеллеров и крышек насосов необходимо использовать трехмерные конечные элементы в программном пакете МКЭ.

2. Расчет улиток, импеллеров и крышек насосов должен выполняться (по мнению автора) на основе трехмерной задачи теории упругости.

Список литературы

1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теория упругости. – М.: ОГИЗ, 1948.

2. Сахаров А.С., Альтенбах И. Метод конечных элементов в механике твердых тел. – Киев: Вища шк., 1982.

3. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Госиздат технико-теорет. л-ры, М.: Наука, 1955.

4. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности. М.: ГИТТЛ, 1953.

5. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.– М.: Мир, 1981.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1971.

7. Сегерлинд Л Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979.

Content

Константин Ефанов
Расчет на прочность центробежных насосов

Введение в расчеты

Выбор теории расчета

Расчет методом конечных элементов

Расчет трехмерной задачи

Расчет осесимметричной задачи

Ручные методики расчета

Заключение

Список литературы